信道编码

第6章信道编码

教学内容：

信道编码的概念、信道编码定理、线性分组码、循环码

6.1信道编码的概念

教学内容：

1、信道编码的意义

2、信道编码的分类

3、信道编码的基本原理

4、检错和纠错能力

1、信道编码的意义

由于实际信道存在噪声和干扰，使发送的码字与信道传输后所接收的码字之间存在差异，称这种差异为差错。信道编码的目的是为了改善通信系统的传输质量。

基本思路是根据一定的规律在待发送的信息码中加入一些多余的码元，以保证传输过程的可靠性。信道编码的任务就是构造出以最小冗余度代价换取最大抗干扰性能的“好码”。

2、信道编码的分类

纠错编码的目的是引入冗余度，即在传输的信息码元后增加一些多余的码元（称为校验元，也叫监督元），以使受损或出错的信息仍能在接收端恢复。

一般来说，针对随机错误的编码方法与设备比较简单，成本较低，而效果较显著；而纠正突发错误的编码方法和设备较复杂，成本较高，效果不如前者显著。因此，要根据错误的性质设计编码方案和选择差错控制的方式。

3、信道编码的基本原理

可见，用纠（检）错控制差错的方法来提高通信系统的可靠性是以牺牲有效性的代价来换取的。在通信系统中，差错控制方式一般可以分为检错重发、前向纠错、混合纠错检错和信息反馈等四种类型。

香农理论为通信差错控制奠定了理论基础。

香农的信道编码定理指出：对于一个给定的有干扰信道，如信道容量为C，只要发送端以低于C的速率R发送信息(R为编码器输入的二元码元速率)，则一定存在一种编码方法，使编码错误概率p随着码长n的增加，按指数下降到任意小的值。这就是说，可以通过编码使通信过程实际上不发生错误，或者使错误控制在允许的数值之下。

4、检错和纠错能力举例：A、B两个消息

a、没有检错和纠错能力：0、1

b、检出一位错码的能力：00、11

c、判决传输有错：000、111（大数法则）

一般来说，引入监督码元越多，码的检错、纠错能力越强，但信道的传输效率下降也越多。人们研究的目标是寻找一种编码方法使所加的监督码元最少，而检错、纠错能力又高且又便于实现。

6.2信道编码定理

教学内容：

1、译码规则及错误概率

2、信道编码定理

3、检错与纠错原理

1、译码规则及错误概率

信宿如何译码使发生错误概率最小。

信源共有M个消息，假设已用M个码元X1，…，X K，…，X M对它进行了最佳编码。信源通过信源编码器编码后发送码元X k，其发送概率为q（X k），通过信道转移慨率为

的信道传输，接收到码元Y，信道译码器输出，而是对Y的一个估值，通信过程可用图6.2.1所示框图表示。

约定时，认为误码，则发送X k收到Y估错的概率为：

(6.2.1)

通信总希望错误概率最小，由式(6.2.1) 可看出最小等同于后验概率最大，这就是最大后验概率准则。，若Y已收到，则=1，所以，最大等同于最大。在输入码元先验概率q（X）相等的条

件下就等同于最大，这就是最大似然译码准则，也称似然函数。

2、依据【例6.2.1】来在两大准则下译码。

3、信道编码定理

对于任何离散无记忆信道(DMC)，存在信息传输率为R，长为N的码C，当时，

差错概率，式中E(R)为可靠性函数，E(R)在0

上述定理也称有噪信道编码定理，即香农第二定理。

定理说明：信道容量C是保证无差错传输时信息传输率R的极限值。对于固定信道，C 值是一定的，它是衡量信道质量的一个重要物理量。

E(R)在信道编码中具有重要意义，它表示了在N一定的条件下，最佳编码误码率的一个上界，同时也告知了随而趋于0的速率，在规定了值后，E(R)可帮助你选择合适的N和R。

4、检错与纠错原理

编码效率：R=k／n

1、偶（或奇）校验方法：

确定校验位P的编码方程为

校验方程为1表明一定有奇数个差错，校验方程为0表明可能有偶数个差错。

当编码可以产生多个奇偶校验位时，一个校验位可以由消息位的部分或全部按校验方程产生。例如，下式的C是一个对阵列消息进行垂直与水平校验以及总校验的码字，其码率为

编码效率，

，

2、重复消息位：

一个n重复码是一个码率为l／n的码，仅有两个码字C0和C1，传送1 bit(k=1)消息。

C0＝（00…0），C1＝（11…1）（6.2.4）

对于一个无记忆二进制对称信道总有转移概率，n bit传输中发生差错数目越少，概率越大，即

从而总认为发生差错的图案是差错数目较少的图案，因此当接收到重复码的接收序列r中“l”的个数少于一半时，认为发送的是C0，否则认为是C1。这样重复码可以纠正传输中可能出现的不多于[n/2]个差错。

3、设计码字中的非0符号个数：

实现检纠错的第三个方法是设计码字中的非0符号个数（二进制码则为“1”的个数），又称为码字重量w(c)，恒为常数，即C由全体重量恒等于m的n长向量组成，称这种码为等重码或定比码。

。

例如，一种用于表示0至9数字的5中取3等重码如表6.1.1所示，其码率（每个码字平均传送的消息 bit数）R为

，

其中表示n中取m的组合数。

表6.2.15中取3等重码

显然5中取3等重码可以检测出全部奇数位差错（只变奇数个0或1，改变码重），对某些码字的传输则可以检测出部分偶数位差错（只变偶数个0或1，改变码重）。而对（1变为0的同时0变为1，无能为力）。

4、检错与纠错方式和能力

a、前向纠错方式

用于纠错的纠错码在译码器输出端总要输出一个码字或是否出错的标志，这种纠错码的应用方式称为前向纠错方式（FEC）。

b、自动请求重发

用于检错的纠错码在译码器输出端只给出当前码字传输是否可能出错的指示，当有错时按某种协议通过一个反向信道请求发送端重传已发送的码字全部或部分，这种纠错码的应用方式称为自动请求重发（ARQ）方式。

比较纠错码检纠错能力的最直接指标是检纠差错数目，常用汉明（Hamming）距离来描述这一特性。

码距：把两个码字中对应码位上具有不同的二元码元的位数定义为两码字的汉明距离。码距的最小值定义为最小汉明距离。

汉明距离具有以下性质：

（1）对称性：d(c1,c2)=d(c2,c1)

（2）非负性：d(c1,c2)>=0

（3）满足距离三角不等式：d(c1,c2)<=d(c1,c3)+d(c3,c2)

纠错码的基本任务就是构造出R一定且d min尽可能大的码。

若纠错码的最小距离为d min，那么有如下三个结论的任何一个结论独立成立。

(1)可以检测出任意小于等于l＝d min-1个差错。

(2)可以纠正任意小于等于个差错。

(3)可以检测出任意小于等于l同时纠正小于等于t个差错，其中l和t满足