苏科版八年级上学期第三次月考学情检测数学试题(含答案)

苏科版八年级上学期第三次月考学情检测数学试题（含答案）
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A ．（3，1） B ．（3，-1） C ．（-3，1） D ．（-3，-1）
2．若一次函数(2)1y k x =-+的函数值y 随x 的增大而增大，则（ ） A ．2k <
B ．2k >
C ．0k >
D ．k 0<
3．将直角三角形的三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（ ）
A ．仍是直角三角形
B ．一定是锐角三角形
C ．可能是钝角三角形
D ．一定是钝角三角形
4．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为( )
A ．31︒
B ．62︒
C ．87︒
D ．93︒
5．下列四个实数中，属于无理数的是（ ） A ．0
B ．9
C ．
23
D ．12
6．下列运算正确的是（ ） A ．236a a a ⋅= B ．235()a a -=-
C ．109(0)a a a a ÷=≠
D ．4222()()bc bc b c -÷-=-
7．在3π-，3127
-，7，227-，中，无理数的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若76BEC ∠=，则ABC ∠=（ ）
A ．70
B ．71
C ．74
D ．76
9．下列交通标识中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，已知O 为ABC ∆三边垂直平分线的交点，且50A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）
A ．80︒
B ．100︒
C ．105︒
D ．120︒
11．如图， Rt ABC 中，90,B ED ∠=︒垂直平分,AC ED 交AC 于点D ，交BC 于点E .已知ABC 的周长为24,ABE 的周长为14，则AC 的长（ ）
A ．10
B ．14
C ．24
D ．15 12．4 的算术平方根是( )
A ．16
B ．2
C ．-2
D ．2±
13．已知一次函数y=kx+b ，函数值y 随自变置x 的增大而减小，且kb ＜0，则函数y=kx+b
的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14．如图，已知AB AD =，下列条件中，不能作为判定ABC ≌ADC 条件的是
A ．BC DC =
B ．BA
C DAC ∠=∠ C ．90B
D ︒∠=∠=
D ．ACB ACD ∠=∠
15．到ABC ∆的三顶点距离相等的点是ABC ∆的是( ) A ．三条中线的交点 B ．三条角平分线的交点 C ．三条高线的交点
D ．三条边的垂直平分线的交点
二、填空题
16．下表给出的是关于某个一次函数的自变量x 及其对应的函数值y 的部分对应值， x … ﹣2 ﹣1 0 … y
…
m
2
n
…
则m +n 的值为_____． 17．9的平方根是_________．
18．点()2,3A 关于y 轴对称点的坐标是______.
19．一个等腰三角形的两边分别是4和9，则这个等腰三角形的周长是_________. 20．若直线y x m =+与直线24y x =-+的交点在y 轴上，则m =_______． 21．如图①，四边形ABCD 中，//,90BC AD A ∠=︒，点P 从A 点出发，沿折线
AB BC CD →→运动，到点D 时停止，已知PAD △的面积s 与点P 运动的路程x 的函数图象如图②所示，则点P 从开始到停止运动的总路程为________.
22．若函数(y x a a =-为常数)与函数2(y x b b =-+为常数)的图像的交点坐标是(2, 1)，
则关于x 、y 的二元一次方程组2x y a
x y b -=⎧⎨+=⎩
的解是________.
23．如图①，四边形ABCD 中，//,90BC AD A ∠=︒，点P 从A 点出发，沿折线
AB BC CD →→运动，到点D 时停止，已知PAD △的面积s 与点P 运动的路程x 的函数图象如图②所示，则点P 从开始到停止运动的总路程为________.
24．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，点点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E。

若BD=3，DE=5，则线段EC的长为______．
25．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝9，∠BAC的角平分线AP交BC于点P，则CP的长为_____．
三、解答题
26．已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在线段BC上（不与点B，C重合），过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD．
（1）如图1，若BP＝4，判断△ADP的形状，并加以证明．
（2）如图2，若BP＝1，作点C关于直线DP的对称点C′，连接AC′．
①依题意补全图2；
②请直接写出线段AC′的长度．
27．计算：
2
20193
1
12527
2
-
⎛⎫
-+-+-
⎪
⎝⎭
.
28．在每个小正方形的边长为1的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）在网格中画出△111
A B C，使它与△ABC关于y轴对称；
（2）点A 的对称点1A 的坐标为 ； （3）求△111A B C 的面积．
29．（1）计算：3
2216-(3)(3)8+--
（2）化简：22
x 9x 3
1-69x 4
x x -+÷-++ 30．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 是ABC ∆的一条角平分线.点O 、E 、F 分别在BD 、BC 、AC 上，且四边形OECF 是正方形.
（1）求证：点O 在BAC ∠的平分线上；
（2）若5AC =，12BC =，且正方形OECF 的面积为4，求ABO ∆的面积. 31．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，CD ＝13，AD ＝12，求四边形ABCD 的面积．
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
由第二象限中坐标特点为，横坐标为负，纵坐标为正，由此即可判断. 【详解】
A. （3，1）位于第一象限；
B. （3，-1）位于第四象限；
C. （-3，1）位于第二象限；
D. （-3，-1）位于第三象限；
故选C.
【点睛】
此题主要考察直角坐标系的各象限坐标特点.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k的取值范围．
【详解】∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y随x的增大而增大，
∴k-2＞0，
∴k＞2，
故选B.
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y 随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
由于三角形是直角三角形，所以三边满足勾股定理，当各边扩大或者缩小k倍时，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】
设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．
则满足a2＋b2＝c2．
若各边都扩大k倍（k＞0），则三边分别为ak、bk、ck
（ak）2＋（bk）2＝k2（a2＋b2）＝（ck）2
∴三角形仍为直角三角形．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质，可以得到∠C=∠ABC，再根据角平分线的性质，得到∠ABC的度数，最后利用三角形内角和即可解决.
【详解】
∵DE 垂直平分BC ，
DB DC ∴=，
31C DBC ︒∴∠=∠=，
∵BD 平分ABC ∠，
262ABC DBC ︒∴∠=∠=， 180A ABC C ︒∴∠+∠+∠=，
180180623187A ABC C ︒︒︒︒︒∴∠=-∠-∠=--=
故选C 【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质和三角形内角和，解决本题的关键是熟练掌握三者性质，正确理清各角之间的关系.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据无理数的定义，即可得到答案. 【详解】
=D 正确；
03=，2
3
是有理数，故ABC 错误； 故选择：D. 【点睛】
本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟记定义.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方进行计算即可． 【详解】
A. a 2⋅a 3=a 5，故A 错误；
B. (−a 2)3=−a 6，故B 错误；
C. a 10÷a 9=a(a≠0)，故C 正确；
D. (−bc)4÷(−bc)2=b 2c 2，故D 错误； 故答案选C. 【点睛】
本题考查了同底数幂的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法与除法的运算.
7．B
【解析】 【分析】
根据无理数的定义判断即可. 【详解】
解：3π-
1-3
，227-可以化成分数，不是无理数. 故选 B 【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，熟记带根号的开不尽方的是无理数，无限不循环的小数是无理数.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
由垂直平分线的性质可得AE=BE ，进而可得∠EAB=∠ABE ，根据三角形外角性质可求出∠A 的度数，利用等腰三角形性质求出∠ABC 的度数. 【详解】
∵DE 是AC 的垂直平分线， ∴AE=BE ， ∴∠A=∠ABE ，
∵76BEC ∠=，∠BEC=∠EAB+∠ABE ， ∴∠A=76°÷2=38°， ∵AB=AC ，
∴∠C=∠ABC=（180°-38°）÷2=71°， 故选B. 【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及外角性质.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等腰三角形的两个底角相等；三角形的外角定义和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握相关性质是解题关键.
9．B
解析：B 【解析】
某个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，以上图形中，B 是轴对称图形，故选B
10．B
解析：B 【解析】
延长AO交BC于D，根据垂直平分线的性质可得到AO=BO=CO，再根据等边对等角的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，再由三角形的外角性质可求得∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠COD=∠OAC+∠OCA，从而不难求得∠BOC的度数．
【详解】
延长AO交BC于D．
∵点O在AB的垂直平分线上．
∴AO=BO．
同理：AO=CO．
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA．
∵∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠COD=∠OAC+∠OCA．
∴∠BOD=2∠OAB，∠COD=2∠OAC．
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2（∠OAB+∠OAC）=2∠BAC．
∵∠A=50°．
∴∠BOC=100°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查：（1）线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．（2）三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．11．A
解析：A
【解析】
【分析】
首先依据线段垂直平分线的性质得到AE=CE；接下来，依据AE=CE可将△ABE的周长为:14转化为AB+BC=14，求解即可.
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ABE的周长为:AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC
∵ABC的周长为24,ABE的周长为14
∴AB+BC=14
∴AC=24-14=10
故选：A
【点睛】
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键. 12．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义直接求解即可.
【详解】
解：42
，
故选B.
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，正确把握定义是解题关键.
13．A
解析：A
【解析】
试题分析：根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＜0，则b＞0，所以一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴是方．
解：∵一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限；
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限．
故选A．
考点：一次函数的图象．
14．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．
【详解】
解：A、AB=AD，BC=DC，再加上公共边AC=AC可利用SSS判定△ABC≌△ADC，故此选项不符合题意；
B、AB=AD，∠BAC=∠DAC再加上公共边AC=AC可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；
C、AB=AD，∠B=∠D=90°再加上公共边AC=AC可利用HL判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；
D、AB=AD，∠ACB=∠ACD再加上公共边AC=AC不能判定△ABC≌△ADC，故此选项合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质进行判断即可；
【详解】
∵到△ABC的三个顶点的距离相等，
∴这个点在这个三角形三条边的垂直平分线上，
即这点是三条垂直平分线的交点．
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质，准确理解性质是解题的关键．
二、填空题
16．【解析】
【分析】
设y＝kx+b，将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入即可得出答案．
【详解】
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入y＝kx+
解析：【解析】
【分析】
设y＝kx+b，将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入即可得出答案．
【详解】
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入y＝kx+b，得：﹣2k+b＝m；﹣k+b＝2；b＝n；
∴m+n＝﹣2k+b+b＝﹣2k+2b＝2（﹣k+b）＝2×2＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查一次函数的待定系数法，把m+n看作一个整体，进行计算，是解题的关键．17．±3
【解析】
分析：根据平方根的定义解答即可．
详解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是
解析：±3
【解析】
分析：根据平方根的定义解答即可．
详解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
18．（−2，3）
【解析】
【分析】
平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（−x，y），即关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【详解】
解：点（2，3）关于y轴对
解析：（−2，3）
【解析】
【分析】
平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（−x，y），即关于y 轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【详解】
解：点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（−2，3），
故答案为（−2，3）．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
19．22
【解析】
【分析】
等腰三角形两边的长为4cm和9cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说
明，因此要分两种情况讨论．
【详解】
①当腰是4，底边是9时：不满足三角形的三边关系，因此舍去.
②当
解析：22
【解析】
【分析】
等腰三角形两边的长为4cm 和9cm ，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】
①当腰是4，底边是9时：不满足三角形的三边关系，因此舍去.
②当底边是4，腰长是9时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22.
故答案为22.
【点睛】
考查等腰三角形的性质以及三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键. 20．4
【解析】
【分析】
先求出直线与y 轴的交点坐标为（0，4），然后根据两直线相交的问题，把（0，4）代入即可求出m 的值．
【详解】
解：当x=0时，=4，则直线与y 轴的交点坐标为（0，4），
把（
解析：4
【解析】
【分析】
先求出直线24y x =-+与y 轴的交点坐标为（0，4），然后根据两直线相交的问题，把（0，4）代入y x m =+即可求出m 的值．
【详解】
解：当x=0时，24y x =-+=4，则直线24y x =-+与y 轴的交点坐标为（0，4）， 把（0，4）代入y x m =+得m=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．
21．11
【解析】
【分析】
根据函数图象可以直接得到AB、BC和三角形ADB的面积，从而可以求得AD的长，作辅助线CE⊥AD,从而可得CD的长，进而求得点P从开始到停止运动的总路程，本题得以解决.
【
解析：11
【解析】
【分析】
根据函数图象可以直接得到AB、BC和三角形ADB的面积，从而可以求得AD的长，作辅助线CE⊥AD,从而可得CD的长，进而求得点P从开始到停止运动的总路程，本题得以解决.
【详解】
解:作CE⊥AD于点E,如下图所示，
由图象可知，点P从A到B运动的路程是3，当点P与点B重合时，△PAD的面积是
21
2
，由B到C运动的路程为3,
∴
321 222 AD AB AD
⨯⨯
==
解得，AD=7,
又∵BC//AD,∠A=90°，CE⊥AD,
∴∠B=90°，∠CEA=90°，
∴四边形ABCE是矩形,
∴AE=BC=3,
∴DE=AD-AE=7-3=4,
∴2222
345,
CD CE DE
=+=+=
∴点P从开始到停止运动的总路程为: AB+BC+CD=3+3+5=11.
故答案为:11
【点睛】
本题考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是明确题意，能从函数图象中找到准确的信息,利用数形结合的思想解答问题.
22．【解析】
【分析】
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可解答.
【详解】
解：因为函数y=x-a(a 为常数)与函数y=-2x+b(b 为常数)的图像的交点坐标是(2, 1)，
所以
解析：21x y =⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可解答.
【详解】
解：因为函数y=x-a(a 为常数)与函数y=-2x+b(b 为常数)的图像的交点坐标是(2, 1)，
所以方程组2x y a x y b -=⎧⎨+=⎩ 的解为21x y =⎧⎨=⎩
. 故答案为21x y =⎧⎨
=⎩
. 【点睛】
本题考查一次函数与二元一次方程（组）：满足函数解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 23．11
【解析】
【分析】
根据函数图象可以直接得到AB 、BC 和三角形ADB 的面积，从而可以求得AD 的长，作辅助线CE⊥AD,从而可得CD 的长，进而求得点P 从开始到停止运动的总路程，本题得以解决.
【
解析：11
【解析】
【分析】
根据函数图象可以直接得到AB 、BC 和三角形ADB 的面积，从而可以求得AD 的长，作辅助线CE ⊥AD,从而可得CD 的长，进而求得点P 从开始到停止运动的总路程，本题得以解决.
【详解】
解:作CE ⊥AD 于点E,如下图所示，
由图象可知，点P从A到B运动的路程是3，当点P与点B重合时，△PAD的面积是21
2
，由B到C运动的路程为3,
∴
321 222 AD AB AD
⨯⨯
==
解得，AD=7,
又∵BC//AD,∠A=90°，CE⊥AD,
∴∠B=90°，∠CEA=90°，
∴四边形ABCE是矩形,
∴AE=BC=3,
∴DE=AD-AE=7-3=4,
∴2222
345,
CD CE DE
=+=+=
∴点P从开始到停止运动的总路程为: AB+BC+CD=3+3+5=11.
故答案为:11
【点睛】
本题考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是明确题意，能从函数图象中找到准确的信息,利用数形结合的思想解答问题.
24．2
【解析】
【分析】
根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．求证∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DFB＝∠DBF，
∠CFE＝∠BCF，即
解析：2
【解析】
【分析】
根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．求证∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝
∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，即BD＝DF，FE＝CE，然后利用等量代换即可求出线段CE的长．
【详解】
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠BCF，
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠ECF，
∴BD＝DF＝3，FE＝CE，
∴CE＝DE−DF＝5−3＝2．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题难度不大，是一道基础题．
25．．
【解析】
【分析】
作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，根据角平分线的性质得出PM＝PN，由三角形面积公式得出，从而得到，即可求得CP的值．
【详解】
作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，
∵AP是
解析：45 11
．
【解析】
【分析】
作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，根据角平分线的性质得出PM＝PN，由三角形面积公式得
出
1
6
2
15
2
APB
APC
AB PM
S AB
S AC
AC PN
⋅
===
⋅
，从而得到
1
6
2
15
2
APB
APC
PB h
S PB
S PC
PC h
⋅
===
⋅
，即可求得CP
的值．
【详解】
作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∵AP是∠BAC的角平分线，
∴PM＝PN，
∴
1
6
2
15
2
APB
APC
AB PM
S AB
S AC
AC PN
⋅
===
⋅
，
设A到BC距离为h，则
1
6
2
15
2
APB
APC
PB h
S PB
S PC
PC h
⋅
===
⋅
，
∵PB+PC＝BC＝9，
∴
CP＝9×5
11
＝
45
11
，
故答案为：45 11
．
【点睛】
本题主要考查三角形的角平分线的性质，结合面积法，推出AB
AC
PB
PC
=，是解题的关键．
三、解答题
26．（1）△ADP是等腰直角三角形．证明见解析；（2）①补图见解析；10
【解析】
【分析】
（1）先判断出PC=AB，再用同角的余角相等判断出∠APB=∠PDC，得出△ABP≌△PCD （AAS），即可得出结论；
（2）①利用对称的性质画出图形；
②过点C'作C'Q⊥BA交BA的延长线于Q，先求出CP=4，AB=AP，∠CPD=45°，进而得出C'P=CP=4，∠C'PD=∠CPD=45°，再判断出四边形BQC'P是矩形，进而求出AQ=BQ﹣
AB=3，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
（1）△ADP是等腰直角三角形．证明如下：
∵BC=5，BP=4，∴PC=1．
∵AB=1，∴PC=AB．
∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，∴∠B=∠C=90°，∠APB+∠DPC=90°，
∠PDC+∠DPC=90°，∴∠APB=∠PDC．
在△ABP和△PCD中，∵
B C
APB PDC
AB PC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP=PD．
∵∠APD=90°，∴△ADP是等腰直角三角形．（2）①依题意补全图2；
②过点C'作C'Q⊥BA交BA的延长线于Q．
∵BP=1，AB=1，BC=5，∴CP=4，AB=AP．
∵∠ABP=90°，∴∠APB=45°．
∵∠APD=90°，∴∠CPD=45°，连接C'P．
∵点C与C'关于DP对称，∴C'P=CP=4，∠C'PD=∠CPD=45°，∴∠CPC'=90°，
∴∠BPC'=90°，∴∠Q=∠ABP=∠BPC'=90°，∴四边形BQC'P是矩形，∴C'Q=BP=1，BQ=C'P=4，∴AQ=BQ﹣AB=3．在Rt△AC'Q中，AC′10
．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，构造出直角三角形是解答本题的关键．
27．－5
【解析】
【分析】
根据实数的运算法则进行计算.
【详解】
解：原式=-1+4-5-3=-5.
【点睛】
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握立方根、算术平方根等考点的运算．
28．（1）见解析；（2）（-3，5）；（3）7．
【解析】
【分析】
（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）根据所作图形可得A1点的坐标；
A B C的面积等于矩形的面积减去三个三角形的面积．（3）根据割补法求解可得△111
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图知A 1的坐标为（-3，5）；
故答案是：（-3，5）；
（3）△111A B C 的面积为4×4-
12×2×3-12×1×4-12×2×4=7． 【点睛】
此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
29．(1) 2 ； (2) 73
x -
- 【解析】
【分析】
（1）首先计算平方根和立方根，然后进行加减运算即可；
（2）根据分式的除法和减法进行计算．
【详解】
解：（1）原式=4332-+-=2； （2）原式=()()()
2334133x x x x x +-+-⨯+- =413
x x +-
- =343
x x x ---- =73
x -- 【点睛】 本题考查分式的混合运算和二次根式的混合运算，解题的关键是明确它们各自的计算方法．
30．（1）证明见解析；（2）13.
【解析】
【分析】
（1）过点O 作OM ⊥AB ，由正方形的性质可得OE=OF ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，根据角平分线上的点到角两边距离相等可得OM=OG ，所以OM=OF ，于是根据角平分线的判定定理可得
点O 在∠BAC 的平分线上；
（2）由勾股定理得AB 的长，根据正方形的面积可求OE 的长，于是可得OM 的长，根据三角形的面积计算公式可求.
【详解】
解：（1）证明：过点O 作OM ⊥AB ，
∵四边形OECF 是正方形，
∴OE=OF ，∠OEC=∠OFC =90°，
∴OE ⊥BC ，OF ⊥AC,
∵BD 是∠ABC 的一条角平分线，OM ⊥AB,
∴OE=OM ，
∴OF=OM ， ∴点O 在∠BAC 的平分线上；
（2）∵5AC =，12BC =，90C ∠=︒，
∴在Rt △ABC 中，根据勾股定理222251213AB AC BC +=+=, ∵正方形OECF 的面积为4，
∴OM=OE=2，
∴1113213.22
ABO S AB OM ∆=
⋅⋅=⨯⨯= 【点睛】
本题考查角平分线的性质和判定，正方形的性质，勾股定理.熟记角平分线的性质定理和判定定理是解决此题的关键.
31．36
【解析】
【分析】
连接AC ，根据勾股定理求出AC ，根据勾股定理的逆定理求出△CAD 是直角三角形，分别求出△ABC 和△CAD 的面积，即可得出答案．
【详解】
连接AC ，如图所示：
在△ABC 中，
∵∠B =90°，AB =4，BC =3， ∴2222AC AB BC 435=++=，
1143622
ABC S AB BC =
⋅=⨯⨯=， 在△ACD 中，
∵AD =12，AC =5，CD =13，
∴AD 2+AC 2=CD 2，
∴△ACD 是直角三角形， ∴115123022
ACD S AC AD =⋅=⨯⨯=． ∴四边形ABCD 的面积=S △ABC +S △ACD =6+30=36．
【点睛】
此题主要考查勾股定理的运用，解题关键是将四边形分成两个直角三角形来解.。