光纤模式理论
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光纤单模多模是什么意思
光纤单模多模是什么意思
在光纤通信理论中，光纤有单模、多模之分，区别在于：
1、单模光纤芯径小，仅允许一个模式传输，色散小，工作在长波长，与光器件的耦合相对困难。
2、多模光纤芯径大，允许上百个模式传输，色散大。
与光器件的耦合相对容易而对于光端模块来讲，严格的说并没有单模、多模之分。
所谓单模、多模模块，指的是光端模块采用的光器件与何种光纤配合能获得最佳传输特性。
光纤光缆等许多工程布线喜爱使用菲尼特的，主要是因为达标。
光纤技术基础(光纤模式理论)
1/29/2019
m2 R0 2 x m2 R0 2 x
18
m阶Bessel方程 m阶虚宗量Bessel方程
光纤技术基础
Bessel方程的解
m阶Bessel方程
d 2 R 1 dR m2 1 2 R 0 2 dx x dx x
两个线性独立解是m阶的Bessel函数Jm(x)和m阶的Neumann函数 Nm(x)，方程的通解为：
2 E k 2 E 0, 2 H k 2 H 0 2f 2 k k0 n, k0 c c
2E 1 E 1 2E 2E 2 2 k n 0 j E0 2 2 2 2 r r r r z 2 H 1 H 1 2 H 2 H 2 2 k n 0 j H0 2 2 2 2 r r r r z
r d dR (r ) r 2 k0 2 n j 2 c2 R dr dr
1/29/2019
14
光纤技术基础
Bessel方程的得出
r d dR (r ) r 2 k0 2 n j 2 c2 R dr dr
r d dR (r ) r 2 k0 2 n j 2 c2 R dr dr r dR r 2 d 2 R 2 2 2 r k0 n j c2 R dr R dr 2 c2 d 2 R 1 dR 2 2 k n R0 0 j 2 2 dr r dr r
Et
j t Ez 0e z t H z 2 2 2 k0 n
j t H z e z t Ez Ht 2 2 2 k0 n 1/29/2019
10
e z e z At At
m2 R0 2 x m2 R0 2 x
18
m阶Bessel方程 m阶虚宗量Bessel方程
光纤技术基础
Bessel方程的解
m阶Bessel方程
d 2 R 1 dR m2 1 2 R 0 2 dx x dx x
两个线性独立解是m阶的Bessel函数Jm(x)和m阶的Neumann函数 Nm(x)，方程的通解为：
2 E k 2 E 0, 2 H k 2 H 0 2f 2 k k0 n, k0 c c
2E 1 E 1 2E 2E 2 2 k n 0 j E0 2 2 2 2 r r r r z 2 H 1 H 1 2 H 2 H 2 2 k n 0 j H0 2 2 2 2 r r r r z
r d dR (r ) r 2 k0 2 n j 2 c2 R dr dr
1/29/2019
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光纤技术基础
Bessel方程的得出
r d dR (r ) r 2 k0 2 n j 2 c2 R dr dr
r d dR (r ) r 2 k0 2 n j 2 c2 R dr dr r dR r 2 d 2 R 2 2 2 r k0 n j c2 R dr R dr 2 c2 d 2 R 1 dR 2 2 k n R0 0 j 2 2 dr r dr r
Et
j t Ez 0e z t H z 2 2 2 k0 n
j t H z e z t Ez Ht 2 2 2 k0 n 1/29/2019
10
e z e z At At
光纤模式理论讲义
功率流密度
ey (x, y) C1Jm (U)e jm 0 1 ey (x, y) C 2Km (W)e jm 1
2
a
Pcore 0 d 0 Szrdr
Pclad
2
0 d a Szrdr
Ht
0
ez
Et
hx An 0 0 ey
功率限制因子
Pcore
Pcore Pclad
或者
UJ J
m1 U mU
WKm1 W KmW
0
UJ J
m1 U m U
WK K
m1 W m W
0
四、LPy截止条件 W 0
UJm1 U JmU
WKm1 W KmW
0
WKm1W KmW
0
当m 0时
因为： J0 U 1 所以： UJ1 U 0
J
即, U 0 和J1 U 0
截特征 止方程
远离截 止方程 简并关
系
单模条 件
J1U K1W
UJ0 (U ) WK0 (W )
J0 (U) 0
J1U 0
J m1U Km1W
UJm (U ) WKm (W )
Jm (U) 0
J m1U 0
J m1U Km1W
UJm (U ) WKm (W )
m 1
标量模 LP01 LP11
矢量, 模 HE 11
模式总数 2
TE 01, TM 01 HE 21
6
LP02, LP21
HE 12 EH 11 HE 31
12
LP02 , LP31
EH 21 HE 41
16
LP21 , LP31
光模式理论简介
2）一个模式，实际上是正规光波导的光场沿横截面 分布的一种场图。
Harbin Engineering University
3）模式是有序的。因为模式是微分方程的一系列特 征解，所以是离散的、可以排序的。排序方法： 一种是以特征方程中分离变量的根的序号排列； 另一种是以之大小排序， 越大序号越小。 4）许多个模式的线性组合构成了光波导中总的场分 布。因此，一系列模式可以看成一个光波导的场 分布的空间谱。 5）一个模式在波导中传播最基本的物理量是它的传 输常数。
E er Er e E ez Ez H er H r e H ez H z
Ez k02 n 2 2 H z
2 t
Ez 0 H z
1 E z 1 2 E z k02 n 2 2 E z 0 r 2 r r r r 2
Harbin Engineering University
图 4 几种低阶模的场分布
Harbin Engineering University
主要内容
1、光纤结构 2、模式概念 3、光纤内模式传输的理论分析 4、结论
Harbin Engineering University
3、光纤内模式传输的理论分析
1、光纤结构
涂覆层
包层
纤芯
图 1 光纤横截面结构
图2 不同芯径的光纤
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b 多模光纤
a 单模光纤
图 3 光纤中的光线传输
光纤五要素：纤芯/包层折射率、阶跃型/渐变型、 纤芯/包层直径、数值孔径以及材料
光线在包层和外界环境交界面处有一定的穿透深 度，因此，这样的光线可以感知外界环境的变化，从 而可以进行传感。
光纤光学重要知识点
《 光纤光学》复习提纲
光线理论 模式理论 光纤性能 光纤器件 光纤连接
1
孙琪真：光纤光学 华中科技大学· 光电子工程系
光线理论
重要概念
– 光波导、光纤分类、子午光线、数值孔径、传输 容量、传光传像特性、散焦面、广义折射率定理、 光线轨迹及特点、光线分类
重要公式
– 射线方程、散焦面半径、折射率分布、数值孔径
重要公式
– 准直透镜输出光束半径和发散角、耦合器分支 功率计算、不同耦合比对应的最小耦合长度、 光纤光栅中心波长。
5
孙琪真：光纤光学 华中科技大学· 光电子工程系
光纤连接与耦合
重要概念
– 光纤连接损耗来源、光纤连接损耗特点、透镜 耦合系统、光束变换特性、有源对准（局部损 耗法）。
重要公式
– 端面反射损耗计算、模场失配损耗计算、朗伯 光源耦合损耗计算、半导体激光器耦合效率计 算。
孙琪真：光纤光学 华中科技大学· 光电子工程系
8
3
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 说明从波动方程到波导场方程两次分离变量的依据。 波导场方程具有什么样的数学特征？ 说明光线在SIOF和GIOF中的轨迹曲线是什么样的。 传播常数的的物理意义是什么。 说明V、U、W参数的物理意义及其相互关系。 说明光波导数值孔径的物理意义 子午光线的主要特征是什么? 光线时延差影响光通信的什么性能？ 在什么条件下才可以唯一确定光波导中的模式？ 在纤芯和包层中选取的贝赛尔函数分别具有什么数学 特征？
选择题10
下列光纤的色散，由小到大的排列次序为：
– A、多模的GIOF、多模SIOF、单模光纤； – B、多模SIOF、多模的GIOF、单模光纤； – C、单模光纤、多模的GIOF、多模SIOF； – D、多模SIOF、单模光纤、多模的GIOF
光线理论 模式理论 光纤性能 光纤器件 光纤连接
1
孙琪真：光纤光学 华中科技大学· 光电子工程系
光线理论
重要概念
– 光波导、光纤分类、子午光线、数值孔径、传输 容量、传光传像特性、散焦面、广义折射率定理、 光线轨迹及特点、光线分类
重要公式
– 射线方程、散焦面半径、折射率分布、数值孔径
重要公式
– 准直透镜输出光束半径和发散角、耦合器分支 功率计算、不同耦合比对应的最小耦合长度、 光纤光栅中心波长。
5
孙琪真：光纤光学 华中科技大学· 光电子工程系
光纤连接与耦合
重要概念
– 光纤连接损耗来源、光纤连接损耗特点、透镜 耦合系统、光束变换特性、有源对准（局部损 耗法）。
重要公式
– 端面反射损耗计算、模场失配损耗计算、朗伯 光源耦合损耗计算、半导体激光器耦合效率计 算。
孙琪真：光纤光学 华中科技大学· 光电子工程系
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3
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 说明从波动方程到波导场方程两次分离变量的依据。 波导场方程具有什么样的数学特征？ 说明光线在SIOF和GIOF中的轨迹曲线是什么样的。 传播常数的的物理意义是什么。 说明V、U、W参数的物理意义及其相互关系。 说明光波导数值孔径的物理意义 子午光线的主要特征是什么? 光线时延差影响光通信的什么性能？ 在什么条件下才可以唯一确定光波导中的模式？ 在纤芯和包层中选取的贝赛尔函数分别具有什么数学 特征？
选择题10
下列光纤的色散，由小到大的排列次序为：
– A、多模的GIOF、多模SIOF、单模光纤； – B、多模SIOF、多模的GIOF、单模光纤； – C、单模光纤、多模的GIOF、多模SIOF； – D、多模SIOF、单模光纤、多模的GIOF
光纤的基本理论
3. 按光纤构成的原材料分类
石英系光纤 多组分玻璃光纤 塑料包层光纤 全塑光纤 目前光纤通信中主要使用石英系光纤
4. 按光纤的套塑层分类
紧套光纤 松套光纤
1.1.2 多模阶跃折射率光纤的射
线光学理论分析
图示为阶跃光纤的子午光线。
在多模阶跃光纤的纤芯中，光按直线传输， 在纤芯和包层的界面上光发生反射。由于 光纤中纤芯的折射率n1大于包层的折射率 n2，所以在芯包界面存在着临界角φc 。
射线轨迹法
在光纤半径和波长之比很大时，可得到很 好的近似结果，所谓“短波长极限”。
光射线与模式的联系
沿光纤轴方向传播的导波模可以分解 为一系列平面波的叠加，即在光纤轴的横 方向形成驻波分布。
任一平面波都与其相前垂直的射线联 系。
根据射线描述，只要入射角大于临界 角的任何射线都可以在光纤中传播，加上 驻波条件后，允许的角度就只有有限个。
围表示，也可用 频率范围 f来表示
它们的关系为
f
f
、f分别是光源的
中心波长和中心频
率
1.5.2 光纤色散的种类
模式色散 材料色散 波导色散 偏振模色散
1.5.3 光纤色散的表示法
特定模式传输群速度
vg
d d
单位长度光纤的群时延
g
1 vg
d d
1 d
c dk
2 d 2 c d
最大时延差
传导模 对于e j(t z) 中 n2k n1k时 截止模 当 n2k时，模式截止。 泄露模 n2k 时出现，仍被约束在纤
芯内传播一段距离。
归一化频率V
V
2 a
(n12
1
n22 )2
2 a
NA
12-3-阶跃光纤的模式理论
=Z H n k
横向分量以
为变量，即
H
E z=0）和TM模式（即Hz=0）都属于子午光线
非子午（斜）光线光线传播路径不在一个平面内，也不与光纤轴相交；
入射方向单位矢量
i N i M i L 0000s ++=m —第m 次反射时入射方向单位矢量m+1—第m 次反射时出射方向单位矢量a m —第m 次反射点法线矢量（径向矢量）
入射线，反射线，法线共面—（S m -S m+1入射角等于反射角—（S m +S m+1）•a m = 0
模式和EH 模式都属于螺旋或非子午光线，它们的都不为零；
HE——表示横向磁场较大的模式, Hz < Ez ；(5)式左边为：0
)()())((2
2
2
=−+r R m r k dr
r dR r dr d r C
2
4
πX
特点：
z两类贝塞尔函数都是振荡函数，有无穷多
个零点或根；
z在直径方向按照1/√k c r衰减的驻波场。
LP01LP21
2
4
πX
m
(k c r) , I m(k c r) —修正的贝塞尔函数；
r) 随着r的增大而发散，物理上不满足要求；
LP 11
LP 02
LP 01LP 21
LP 12
LP 31。
光纤通信第一章3-阶跃光纤中的模式理论剖析
北京邮电大学顾畹仪
4
所以，R（r）的解应取贝塞尔函数( J 函数)
令 u2 (k02n12 2 )a2
得
Ez1 H z1
A B
Jv
(
ur a
)ei
b. 在包层中（r a, k k2 k0n2 ）
概念：传导模应沿径向迅速衰减，即 2 k02n22 0
所以，R（r）的解应取第二类变形的贝塞尔函数( K函数 )
和HE21模都还没有出现，实现单模传输。
北京邮电大学顾畹仪
13
几个低次模的归一化传输常数随V的变化
北京邮电大学顾畹仪
14
（4）几个低次模的场型图
北京邮电大学顾畹仪
15
北京邮电大学顾畹仪
16
5、近似解——LP模
思路： 为了简化分析，不考虑各种模式的具体区别，只注意各 模式的传输系数，将弱导近似下传输系数相等的模式用 LP模概括起来。
可以证明，若将 HE 1，m和EH 1，m 模线性叠加，得
到的是直角坐标系下的线偏振模，这就是LP（Linearly Polarized Mode）模的来源。
LPom模是由HE1m模得到；LP1m模是由TEom、TMom和 HE2m模线性组合得到；LP2m模是由EH1m模和HE3m模线 性组合得到，…
3
2、用分离变量发求解阶跃折射率光纤中的波动方程 1）变量分离
令 (r,) R(r)()
() ei , 0,1, 2, 场的圆周对称性
得
d
2R(r) dr 2
1 r
dR(r) dr
(k 2
2
2
r2
)R(r)
0
2）解的形式
a. 在纤芯中 （ r a, k k1 k0n1)
光纤模式理论
J 0 U 1
1/ 2
a
0
Vc＝U 模式截止时对应的特征方程
J1 U K W 1 UJ0 (U ) WK 0 (W )
1 U J m0 U m! 2
U 0
m
1 2 W 2 ln W
所以
UJ0 (U ) 0
同理，如果设 e y 0 就可以得到一组 (ex,0,ez,hx,hy,hz)模式 模式（0,ey,ez,hx,hy,hz)和(ex,0,ez,hx,hy,hz)分别用
LP 和LP 表示
考虑到光纤是弱导结构，所以光场二阶以上 的变化率可以忽略不计，此时两个模式就表 示成 (0,ey,ez,hx，0,hz) 和(ex,0,ez,0,hy,hz)
y
x
二 标量模式的场分布
e y x, y e y r , e y r e jm
X e y (r ) 1 e y (r ) m 2 X X X 1 X 2 e y (r ) 0
e y ( x, y ) C 1J m (U )e jm e y ( x, y ) C 2 K m (W )e jm
WK m1 W K m W
J m x 1 J m x
m
K m x K m x
2 K 0 ln W
1 ey hx ey 0 x x
j e y ez y
（ 9）
e y e y 2 n 2 k0 2 ey 0 y y x x
（10） 可见分量满足波动方程
2 2 0 n 2 k0
所以可以分为一组模式（0,ey,ez,hx,hy,hz)
光纤通信专业知识讲座
阶跃型光纤(Step-Index Fiber，SIF) 渐变型光纤(Graded-Index Fiber，GIF)， 其折射率分布如图2.3所示。
图 2.3 光纤旳折射率分布
②按传播模式旳数量分类，能够将光纤分为: 多模光纤(Multi-Mode Fiber，MMF)，
在一定旳工作波上，能够有多种模式在 光纤中传播。
（纵向）方向传播，纵向传播常数为 ，
场相对于时间旳变化是 e jt 。
x
2d
z y
图 2.7光波导旳构造及坐标选用
波导中旳场能够写为：
E
E0
x,
yexp
jt
z
H
H0 x,
yexp jt
z
Ex
j K2
H z y
E z x
Ey
j K2
H z x
E z y
Hx
K
j
2
H z x
E z y
Hy
j K2
J
m
J
m
U
a
U
r
cos m sin m
e
jz
H r1
j
a
2
UH 0
U a
Jm J
' Ur a
m U
j 1 E0 m r
J
m
J
m
U
a
U
r
sin m cos m
e
jz
E1
j
a U
2
0UH a
0
J
m
'
Ur a
J m U
jE0 m r
J
m
J
m
U
a
图 2.3 光纤旳折射率分布
②按传播模式旳数量分类，能够将光纤分为: 多模光纤(Multi-Mode Fiber，MMF)，
在一定旳工作波上，能够有多种模式在 光纤中传播。
（纵向）方向传播，纵向传播常数为 ，
场相对于时间旳变化是 e jt 。
x
2d
z y
图 2.7光波导旳构造及坐标选用
波导中旳场能够写为：
E
E0
x,
yexp
jt
z
H
H0 x,
yexp jt
z
Ex
j K2
H z y
E z x
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H z x
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Hx
K
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E z y
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J
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j
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E1
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2
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0
J
m
'
Ur a
J m U
jE0 m r
J
m
J
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U
a
光纤耦合器的理论 设计及进展
3、光纤耦合器的设计方法
光纤耦合器的设计主要涉及光波导理论、干涉光学和计算机模拟等方法。设 计过程中需要考虑到光纤的几何形状、折射率分布、模式特征等因素，以实现所 需的光信号耦合效果。
1、光纤耦合器的商业产品
目前，市面上已有多种商业化的光纤耦合器产品，如直通型、分束型、星型 等。这些产品具有较高的耦合效率和稳定的性能表现，被广泛应用于各类光纤通 信和光学传感系统中。
光纤耦合器的理论 设计及进展
01 引言
03 参考内容
目录
02 理论分析
引言
光纤耦合器是一种关键的光学元件，它在光纤通信、光学传感、光束控制等 领域有着广泛的应用。光纤耦合器的主要作用是将两根或多根光纤的信号有效地 耦合在一起，从而实现光能量的传递、分配和控制。本次演示将详细介绍光纤耦 合器的理论、设计及发展现状，以期为相关领域的研究和应用提数是描述光波在光纤中传播特性的重要参数。它包括了光波的振幅、 相位和群速度等参数。通过求解传输常数，可以得到光波在光纤中的传输特性， 如传输带宽、色散等。这些特性对于设计高效的光纤通信系统具有重要意义。
四、总结
本次演示详细解析了光纤模式理论，包括单模和多模光纤的分类、光的波动 方程、光纤的折射率分布以及传输常数等概念。这些理论对于理解光纤的传输特 性和设计高效的光纤通信系统具有重要意义。在实际应用中，我们需要根据具体 需求选择合适的光纤类型和参数，以实现高效、稳定的光纤通信系统。
二、光纤模式分类
1、单模光纤
单模光纤只支持一个模式的光波传播。这意味着在单模光纤中，光波的传播 路径是唯一的。这种模式使得单模光纤具有较高的传输带宽和较低的色散。因此， 单模光纤在长距离通信中得到了广泛应用。
2、多模光纤
多模光纤支持多个模式的光波传播。这意味着在多模光纤中，光波可以沿着 多个路径传播。这种模式使得多模光纤具有较低的传输带宽和较高的色散。因此， 多模光纤通常用于短距离通信和局域网等应用。
光纤的模式理论2010-10-26
Fx
x
30
圆柱坐标系中的波动方程
j E z H z Er 2 ( r r ) t j E z H z E 2 ( r ) t H j ( H z E z ) r t2 r r H j ( H z E z ) t2 r
此时本征方程可简化为59阶跃光纤中的模式分析本征方程的统一形式heehhetmtelplplp60lmlp模截止值和远离截止值u值lp模截止条件远离截止条件截止远离截止值38317701561017313322404855201865371179149324048552018653711791493383177015610173133238317701561017313325135684171162147901lp02lp03lp04lp05lp11lp12lp13lp14lp15lp21lp22lp23lp24lp25lp61几种低阶模横截面上的光斑图62几种低阶模横截面上的光斑图63几种低阶模横截面上的光斑图64几种低阶模横截面上的光斑图65几种低阶模横截面上的光斑图66几种低阶模横截面上的光斑图6701lp几种低阶模横截面上的光斑图68几种低阶模横截面上的光斑图69模横截面上的光斑图1617lp70几种低阶模的归一化光功率分布01lp21lp11lp左边b09右边b0171he电场磁场四个低阶模式的电磁场矢量结构图横截面上72几个低阶模式的电磁场矢量结构图73多模渐变型光纤的模式特性传输常数传输常数多模渐变型光纤多模渐变型光纤传输常数的普遍公式为g和k前面已经定义了m是模式总数模式总数m是传输常数大于的模式数模式数
根据麦克斯韦方程组和物质方程（无源、各向同性介质中） D H D E ：介电常数 t B H B/ ：磁导率 E t j E H z 可得出 E ( z )
光模式理论简介课件
光模式理论的发展和应用促进了光学与其他学科的交叉融合，如物理 学、化学、生物学等，推动了多学科的共同进步。
对未来研究和应用的展望
新理论体系的探索
实验验证与应用研究
随着光子学和光学技术的不断发展，需要 进一步完善和拓展光模式理论，探索更复 杂、更精确的理论模型。
加强实验验证和实际应用研究，将光模式 理论应用于解决实际问题，提高技术应用 效果和水平。
偏振光模式
定义
偏振光模式是指光线在某个特定 方向上具有较强振动，而在垂直 方向上振动较弱的模式。这种模
式的光线具有明显的偏振特性。
特点
偏振光模式的光线方向是固定的， 具有明显的偏振方向，因此能够有 效地控制光线的传播方向和强度分 布。
应用场景
偏振光模式广泛应用于光学仪器、 摄影等领域，能够提高成像质量、 减少眩光等效果。
干涉光模式
定义
干涉光模式是指由两束或多束相 干光波相互叠加形成的特殊光场。
在干涉区域，光波的振幅和相位 发生变化，形成明暗相间的干涉
条纹。
特点
干涉光模式具有高度有序的干涉 条纹和明显的能量集中效应，能
够产生高亮度的照明效果。
应用场景
干涉光模式广泛应用于光学干涉 测量、光学信息处理等领域，能 够实现高精度、高分辨率的测量
光模式的特点
总结词
光模式具有多样性、稳定性和可控性等特点。
详细描述
在光学系统中，光可以表现出多种模式，每种模式都有独特的传播特性和行为。 同时，光模式具有稳定性，可以在一定条件下保持稳定传播。此外，通过改变 光学系统的参数，可以实现对光模式的控制和调节。
光模式的应用场景
要点一
总结词
光模式理论在光学通信、光学传感、光学成像等领域有广 泛应用。
对未来研究和应用的展望
新理论体系的探索
实验验证与应用研究
随着光子学和光学技术的不断发展，需要 进一步完善和拓展光模式理论，探索更复 杂、更精确的理论模型。
加强实验验证和实际应用研究，将光模式 理论应用于解决实际问题，提高技术应用 效果和水平。
偏振光模式
定义
偏振光模式是指光线在某个特定 方向上具有较强振动，而在垂直 方向上振动较弱的模式。这种模
式的光线具有明显的偏振特性。
特点
偏振光模式的光线方向是固定的， 具有明显的偏振方向，因此能够有 效地控制光线的传播方向和强度分 布。
应用场景
偏振光模式广泛应用于光学仪器、 摄影等领域，能够提高成像质量、 减少眩光等效果。
干涉光模式
定义
干涉光模式是指由两束或多束相 干光波相互叠加形成的特殊光场。
在干涉区域，光波的振幅和相位 发生变化，形成明暗相间的干涉
条纹。
特点
干涉光模式具有高度有序的干涉 条纹和明显的能量集中效应，能
够产生高亮度的照明效果。
应用场景
干涉光模式广泛应用于光学干涉 测量、光学信息处理等领域，能 够实现高精度、高分辨率的测量
光模式的特点
总结词
光模式具有多样性、稳定性和可控性等特点。
详细描述
在光学系统中，光可以表现出多种模式，每种模式都有独特的传播特性和行为。 同时，光模式具有稳定性，可以在一定条件下保持稳定传播。此外，通过改变 光学系统的参数，可以实现对光模式的控制和调节。
光模式的应用场景
要点一
总结词
光模式理论在光学通信、光学传感、光学成像等领域有广 泛应用。
第三章光纤模式理论
n12 n22 2n12
m W 2
Km1 W WKm W
1
n12 n22 2n12
m W2
Km1 W WKm W
2
m
k0n1
2
V UW
4
2
W0 U Vc
lim
W 0
K m1 WK m
W W
1
2m 1
,
m
1
截止时的特征方程
Jm1 Vc Jm Vc
Vc m 1
n2 2 n12 n22
1 r
H r
1 r2
2H
2
2H z 2
k02n j2H
0
j=1, 2 芯层，包层 （r,,z）为柱坐标系 k0 00 2
把E=Er+E+Ez 代入到波动方程，并在柱坐标系下展开 横场 纵场
2E r 2
1 r
E r
1 r2
2E
2
2E z 2
k02nj2E
0
柱坐标系下，横场满足的方程十分复杂，除Ez 、Hz 外，其它横 向分量都不满足标量的亥姆霍兹方程。因而矢量解法是从解Ez 、 Hz 的标量亥姆霍兹方程入手，再通过场的横向分量与纵向分量 的关系，求其他分量。
对称性的波动方程
光纤的圆对称性
电磁场沿方向为驻波解
Ez Frexp jm exp jz, m 0,1,2,...
2E r 2
1 r
E r
1 r2
2E
2
2E z 2
k02n j2E
0
d 2 F1 dr 2
1 r
dF1 dr
U a
2 2
m2 r2
F1
0, r
史上最详细的光纤模式推导
史上最详细的光纤模式推导史上最详细的光纤中的模式推导前言如果你是因为“史上最详细”这几个字来看这篇文章的，那可能会让您失望了，因为我只是想给我的文章起个霸气的名字，博取眼球。
但倘若你不是特别忙的话，不妨读一读，也许会有收获。
波动光学-光纤波导模式理论推导研究光学通常有两种方法——几何光学和波动光学，几何光学比较简单，画几根线，代几个公式，最复杂的可能解一个程函方程也能解决。
相比而言，波动光学则比较复杂，里面涉及到数学和电磁学的东西比较多。
本人的研究方向是光网络通信，因而本着实用主义的原则剖析整个光波导模式的推导过程。
如下图所示，这是光波导模式理论的推导逻辑。
整个波动光学都是基于Maxwell方程组的，因而Maxwell方程也是此次推导的源头，由Maxwell方程组可推导出波动方程，结合边界条件可以求得场解的一般形式，然后再结合边界条件可以求得特征方程，解特征方程得传播常数，最后便可容我一一道来，过程有些许复杂，得到模场分布。
．以下推导以电场分量为例。
Maxwell方程组简化先让我们花三秒钟一起膜拜一下Maxwell方程组：(1)由于光纤是无源介质，不存在自由电荷和传导电，于是，Maxwell方程组可流，即以简化成如下形式：(2)波动方程推导明白推导的可以直接跳过，波动方程可直接由(2)式得到，对两边取旋度得（二者作用的对象不旋度和偏微分可以交换顺序同，旋度针对空间坐标，而偏微分针对时间）：(3)之间满足物质方程：E和、H和BD为感应电极化因而，P光纤是无磁介质，强度，不考虑非线性因素，通常可以简化为：(5)式代入(3)式得：又因为（无源），因而其中最后，得到波动方程：亥姆赫兹方程推导得到波动方程的过程我们通常称为电磁分离，也就是说把原本错综复杂的电磁关系变成了电场和磁场的单独关系。
但是波动方程依旧很复杂，因为其场量既包括时间分量也包括空间分量，好在我们通常研究的是单色波，具有时谐电磁场的性质，因而，可以进一步进行时空分离，得到亥姆赫兹方程，需要指出的是，亥姆赫兹方程只是波动方程的一个特例。
06光纤模式理论
cos m sin m
e
i
z
Ez2
A2
K
m
(c
r
)
sin cos
m m
e
iβz
模参量
U Kca a
n12
K
2 0
2
Hz2
B2 Km
(cr )
cos m sin m
ei z
归一化径向相位常数 无
W ca a
2
n22
K
2 0
归一化径向衰减常数
量
设计参量 V U 2 W 2 aK0 n12 n22 aK0n1 2 归一化频率 纲
Km (W ) ][ n12Jm (U ) WKm (W ) UJm (U )
n22 Km (W )] WKm (W )
m
2
1
( U
2
1 W2
)(
n12 U2
n22 W2
)
J Jm (U ) UJm (U )
d
m
dx Km ( x) Km1( x) x Km ( x)
10
第6章 光纤模式理论
6.2 阶跃光纤电磁场方程的矢量解法
6.2.1 芯区和包层的电磁场
径向函数R(r)
x2
d2R dx 2
x
dR dx
(
x2
m2
)R
0
K
2 c
n2
K
2 0
2
Kcr x
包层 r>a, n=n2
K
2 c2
n22
1
mB( U
2
1 W2
)
场量只有E 、Hr Hz
TE模特征方程
J
光纤传输的波动理论
关注包层中电磁场分量表达式
Ez ClK (W ar)ej l
3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件
3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件 各类模式（精确模）对应的本征方程和截止、远离截止条件
模式
本征方程
截止条件
远离截止条件
TE0m TM0m
J1(U) K1(W) 0 U0J(U) W0(JW)
1 2U J10 (U (J U ))W K 10 (W (W J))0
J0(U0cm)0
J0(U0cm)0
J 1 (U 0 m ) 0 (U 0 m 0 ) J 1 (U 0 m ) 0 (U 0 m 0 )
3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立 本征值问题
2uk2u0 2uk2u
如果算符作用于函数等于一个常数g乘以该函数，则该方程称为本征方程。其中 该函数称为算符的本征函数，g是算符的对应于本征函数的本征值。 波动理论的实质：对于给定的边界条件求本征方程的解——本征解及其对应的 本征值，在数学上称之为“本征值问题”。
E
r
j
2 t
(
E z r
r
H z )
E
j
2 t
(
E z
H z ) r
H
r
j
2 t
(
H z r
r
Ez )
H
j
2 t
(
H z
Ez ) r
2rE2z
1Ez r r
1 r2
2Ez
2
t2Ez
0
2Hz r2
1Hz r r
r12
Ez ClK (W ar)ej l
3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件
3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件 各类模式（精确模）对应的本征方程和截止、远离截止条件
模式
本征方程
截止条件
远离截止条件
TE0m TM0m
J1(U) K1(W) 0 U0J(U) W0(JW)
1 2U J10 (U (J U ))W K 10 (W (W J))0
J0(U0cm)0
J0(U0cm)0
J 1 (U 0 m ) 0 (U 0 m 0 ) J 1 (U 0 m ) 0 (U 0 m 0 )
3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立 本征值问题
2uk2u0 2uk2u
如果算符作用于函数等于一个常数g乘以该函数，则该方程称为本征方程。其中 该函数称为算符的本征函数，g是算符的对应于本征函数的本征值。 波动理论的实质：对于给定的边界条件求本征方程的解——本征解及其对应的 本征值，在数学上称之为“本征值问题”。
E
r
j
2 t
(
E z r
r
H z )
E
j
2 t
(
E z
H z ) r
H
r
j
2 t
(
H z r
r
Ez )
H
j
2 t
(
H z
Ez ) r
2rE2z
1Ez r r
1 r2
2Ez
2
t2Ez
0
2Hz r2
1Hz r r
r12
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光纤中电磁场的z分量－严格解 Ez、Hz
近似为线偏振，用LP表示；近似为x偏振 和y偏振
E、H六个分量都有－混合模 不确定具体的偏振方向
Ez/ Hz
LP01 不是真实的电磁场分布，只是求取传播常
数较为方便
Er、Eθ、Hr、Hθ
HE11 －圆偏振模，可看成两个正交独立的线偏
振模
与 的叠加--二重简并模（u值
如果这样分解合理，那么分完后的分量将依然满足波动方程。
设：
ex 0
（1）、（2）和（3）变成
e y x
j 0hz
从而得到：
ez x
j 0hy
hz y
jhy
将（9）、（10）代入（6）得到
hz
1
j 0
e y x
hy
1
0
y
2e y x
hx
ey
1
0
x
2e y x
ez
j
e y y
（7） （8）
UJ m (U )
WK m (W )
m 1
m2
U 0 J1 (U ) 0
2.405
J m2 U c 0
J m1U 0
TE0n和TM0n简并；HE2n与TE0n和TM0n简并 HEm＋2，n和EHm，n简并
0 V 2.405 2.613 n1a 2
各模式的场图
图中 （
图 1 几个低阶模的电磁场分布
模式（0,ey,ez,hx,hy,hz)和(ex,0,ez,hx,hy,hz)分别用
LP y和LP x 表示
考虑到光纤是弱导结构，所以光场二阶以上的变化率可以 忽略不计，此时两个模式就表示成
(0,ey,ez,hx，0,hz) 和(ex,0,ez,0,hy,hz)
二 标量模式的场分布
ey x, y ey r, ey r e jm
相同）
HE
x 11
HE
y 11
真实的电磁场分布
标量模与矢量模的比较
u值范围 0 2.4048 2.4048 3.8317 3.8317 5.1356 5.1356 5.5201 5.5201 6.3802 6.3802 7.0156 7.0156 7.5883
标量模 LP01 LP11
LP02, LP21 LP02 , LP31 LP21 , LP31 LP12 , LP41 LP21 , LP03 , LP41
W
J m U 0 U 0
LP01 : U 0 ~ 2.4048, LP02 : U 3.83 ~ 5.25, LP11 : U 2.4048 ~ 3.83, LP12 : U 5.25 ~ 7.01,
基模为
LP01
Vc
LP01
LP11
LP02
功率流密度
ey (x, y) C1J m (U )e jm 0 1 ey (x, y) C 2Km (W )e jm 1
1
y
ey y
ey
2 0
ey
1
x
ey x
整理得到：
（9）
y
ey y
ey x x
n2k02 2
ey
0
（10） 可见分量满足波动方程
2 0 n 2k02
所以可以分为一组模式（0,ey,ez,hx,hy,hz)
同理，如果设
ey 0 就可以得到一组(e,0,ez,hx,hy,hz)模式
U 0和J1 (U ) 0
J0 U
UJ1 (U ) U 0
故U 0成立
即，截止频率 VC 0
对应的模式是HE11模式。
该模式不截止
单模光纤传输的模式为HE11模式
m2
J m1U K m1W
UJ m (U )
WK m (W )
1 2(m 1)
J 'm
U
m U
J m U
J m1 U
因为当U为0时，有 所以有
J m1 UJ m
1
2m 1
J m (U ) 0
所以U不能为0
截止特征方程
J m (U ) 0
J
J1
EH11
EH12
3.83171
7.01559 10.17347
13.32369
Vc
EH1n
m 1,2,3...
EHmn
n 1,2,3...
3 HE模式
模式截止条件： 讨论截止特征方程
J 0 U
TE0n TM0n
2.405 5.520
8.654
U
只有归一化频率V大于归一化截止频率时，才能使W>0，此时才能传输
V Vc
2
a
n12
n22
1/ 2
2 C
a
n12
n22
1/ 2
例：直径为8微米，芯区折射率为1.45，相对折射率差0.005，输入波长为1.55微米，那么能否传输TE02阶 模式？
1 eW 2W
即 J1 U 0
2.405 3.81 Vc
TE01
TE02
2、EHmn模式
J m1U 0
此模式位于
J m U 0和J m＋1 U 0 根之间
3、HEmn模式
J m1 U 0
HE11在0到2.405之间取值，
而HEmn在
J m2 U 0和J m1两U个根之0间取值。
X
e y (r X
)
1 X
e y (r) X
1
m2 X2
e y
(r)
0
ey (r) C1J m (kcr) r a
ey (r) C2Km acr r a
引入参量
其中 r
a
ey (r) C1J m (U) 0 1
ey (r) C2Km W 1
ey (x, y) C1J m (U )e jm 0 1 ey (x, y) C 2Km (W )e jm 1
矢,量模 HE 11 TE, 01 TM 01 HE 21
HE 12 EH 11 HE 31
EH 21 HE 41
TE 02 TM 02 HE 22
EH 31
HE 51
HE 13 EH 12 HE 32
模式总数 2 6 12 16 20 24 30
•其它高阶模则是电场和磁场的复杂混合分布。
g 2）
图3 几个低阶模的电磁场分布 （实线为电力线，虚线为磁力线， g 2）
5.3 标量法求解光纤
在弱导条件下，
n1 n2 1 n1
可以证明所有模式的纵向分量比横向分量小得多，也就是说弱导光纤中
横向电磁场占主要地位。
这种形态的波成为准TEM模式，在准TEM中纵向分量很小但是存在， 横电场和横磁场垂直而且与传输方向垂直。
Ht
0
e z
Et
此时可以证明场分成两种偏振状态，x偏振和y偏振 X偏振：(0,ey,ez,hx，0,hz) ；Y偏振：(ex,0,ez,0,hy,hz) 这种模式称为线偏振模（Linear-polarization mode -LP）
t t t
t
eetz
ht
hz
jjjjzz0eehhzttz
六、远离截止状态
远离截止状态
V , W
1、TE和TM模式
K1W J1U 0
WK0 (W ) UJ0 (U )
J1U UJ0 U
0
又因为截止条件
J 0 U 0
因为导波模式存在于W从0当无穷大之间，所以导波模式将存在于
J
J 0 U 0和J1 U 0 这两个根之间
W
Km
（实线为电力线，虚线为磁力线， g 2）
，模H应E是11圆）偏的振叠模加，，与两θ者相具关有部相分同用的传播常数。表图示中，采但用它线可偏s看振i作n的两m描个述正e。交x的pc线o(s偏mj振m模 )
图2 几个低阶模的电磁场分布
（实线为电力线，虚线为磁力线，
•而 TE 0 ,模T与Mθ无0关，是径向对称模。
Ht
0
e z
Et
hx An 0 0 ey
2
a
Pcore 0 d 0 S z rdr
Pclad
2
0 d a Sz rdr
功率限制因子
Pc ore
Pcore Pclad
S z ex hy An 0 0 ey2
弱导光纤中模式的简并性和线偏振模的构造 当n1≈n2，每一组内矢量模式具有完全截止条件和远离截止条件，这说明他们的传输常数的取值范围 相同，此时称为这些模式传输简并。
TE0n
TM0n
EHmn
HEmn
弱导条件 特征方程
截特征止方 程
远离截止方 程
简并关系
单模条件
J1U K1W
UJ0 (U )
WK 0 (W )
J0 (U ) 0
J1 U 0
J m1U K m1W
UJ m (U )
WK m (W )
J m (U ) 0
J m1U 0
J m1U K m1W
j 0 ht j et
证明线偏振模式 分解的合理性
e y x
ex y
j 0 hz
(1)
je x
e z x
j 0 hy
(2)
hz y
jhy
j ex
(3)
h y x
hx y
j ez
(4)
jhx
hz x
j e y (5)
ez y
je y
j 0 hx
(6)
试将光场模式分成两组偏振模式；一组(0,ey,ez,hx,hy,hz)模式，另一组为(ex,0,ez,hx,hy,hz)模式。