高中数学周周回馈练(二)(含解析)新人教A版选修11

高中数学周周回馈练（二）（含解析）新人教A版选修11
一、选择题
1．在命题“方程x2＝4的解为x＝±2”中使用的联结词是( )
A．且 B．或 C．非 D．无法确定
答案 B
解析x＝±2的含义是x＝2或x＝－2，故此命题中使用的联结词是“或”．
2．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为( )
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1
B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1
C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1
D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1
答案 B
解析綈p为∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1.
3．下列结论中不正确的是( )
A．如果命题p∨q是真命题，那么命题p不一定是真命题
B．如果命题p∧q是真命题，那么命题p一定是真命题
C．如果命题p∧q是假命题，那么命题p不一定是假命题
D．如果命题p∨q是假命题，那么命题p不一定是假命题
答案 D
解析若p∨q是真命题，则p不一定是真命题，A正确；若p∧q是真命题，则p与q 都是真命题，B正确；若p∧q是假命题，命题p不一定是假命题，因为q是假命题时也成立，C正确；若p∨q是假命题，则命题p与q均为假命题，D不正确．
4．下列命题的否定为假命题的是( )
A．∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0
B．任意一个四边形的四个顶点共圆
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1
答案 D
解析A中，当x∈R时，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，所以A中命题是假命题，该命题的否定是真命题；B中，由平面几何的知识可知该命题是假命题，所以其否定是真命题；C 中，由于6能被3整除，但6是偶数，不是奇数，所以C中的命题是假命题，该命题的否定是真命题；D中，由同角三角函数基本关系式可知该命题是真命题，其否定是假命题．故选D.
5．已知命题s：函数y＝sin x是周期函数，且是奇函数，则
①命题s是p∧q形式的命题；
②命题s是真命题；
③綈s：函数y＝sin x不是周期函数，且不是奇函数；
④綈s是假命题．
其中叙述正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D
解析 命题s 是p ∧q 形式的命题，①正确；命题s 是真命题，②正确，④正确；綈s ：函数y ＝sin x 不是周期函数，或不是奇函数，③不正确．
6．已知命题p ：若a ＝(1,2)与b ＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q ：∀k ∈R ，直线
y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交，则下面结论正确的是( )
A ．(綈p )∨q 是真命题
B ．p ∧(綈q )是真命题
C ．p ∧q 是假命题
D ．p ∨q 是假命题
答案 A
解析 命题p 为真，命题q ：圆心(0,1)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝|0|
k 2＋1
<1，命
题q 是真命题，故(綈p )∨q 是真命题．
二、填空题
7．下列说法中所有正确的序号有________．
①“p ∧q ”为真的一个必要不充分条件是“p ∨q ”为真； ②若p ：1x >0，则綈p ：1
x
≤0；
③若实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则1
2≤a ＋b ≤1.
答案 ①③
解析 ①“p ∧q ”为真等价于p 、q 均为真，“p ∨q ”为真等价于p ，q 至少有一个为真，∴①正确；②若1x
>0，则x >0，故綈p ：x ≤0，∴②错误；③由基本不等式可知a ＋b ≤(a ＋b )
2
＝1，
a ＋
b 2≥⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2
2＝1
4，当且仅当a ＝b ＝14时取“＝”，∴a ＋b ≥1
2，∴③正确．
8．若“∀x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．
答案 1
解析 由已知可得m ≥tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4恒成立．设f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，显然该
函数为增函数，故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，即实数m
的最小值为1.
9．已知函数①f (x )＝|x ＋2|；②f (x )＝(x －2)2
；③f (x )＝cos(x －2)．现有命题p ：f (x ＋2)是偶函数；命题q ：f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．则能使p ∧
q 为真命题的所有函数的序号是________．
答案 ②
解析 若p ∧q 为真命题，则p ，q 均为真命题．对于①，f (x ＋2)＝|x ＋4|不是偶函数，故p 为假命题．对于②，f (x ＋2)＝x 2
是偶函数，则p 为真命题；f (x )＝(x －2)2
在(－∞，2)
上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，则q为真命题，故p∧q为真命题．对于③，f(x)＝cos(x－2)显然在(2，＋∞)上不是增函数，故q为假命题．
三、解答题
10．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)∀x∈(－1,2)，x2－x<2；
(3)指数函数都是单调函数；
(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．
解
11．已知命题p：1∈{x|x2<a}，命题q：2∈{x|x2<a}．
(1)若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
解若p为真命题，则1∈{x|x2<a}，故12<a，即a>1；
若q为真命题，则2∈{x|x2<a}，故22<a，即a>4.
(1)若“p或q”为真命题，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
(2)若“p且q”为真命题，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．
12．已知两个命题p：sin x＋cos x>m，q：x2＋mx＋1>0，如果对任意x∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
解当命题p是真命题时，
由于x ∈R ，则sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，
所以有m <－ 2. 当命题q 是真命题时， 由于x ∈R ，x 2
＋mx ＋1>0， 则Δ＝m 2
－4<0，解得－2<m <2.
由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 与q 一真一假． (1)当p 真q 假时，⎩⎨
⎧
m <－2，
m ≥2或m ≤－2，
得m ≤－2.
(2)当p 假q 真时，⎩⎨
⎧
m ≥－2，
－2<m <2，
得－2≤m <2.
综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)．
第一章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列语句中是命题的个数有( ) ①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”； ②“平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”； ③“一个数不是正数就是负数”；
④“x ·y 为有理数，则x ，y 也都是有理数”； ⑤“作△ABC ∽△A ′B ′C ′”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B
解析 根据命题的概念，判断是不是命题． ①不是陈述句，不是命题．
②疑问句．没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题． ③是假命题.0既不是正数也不是负数． ④是假命题．如x ＝3，y ＝－ 3. ⑤是祈使句，不是命题．
2．设命题p ：∃n ∈N ，n 2
＞2n
，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2
＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
答案 C
解析命题p是一个特称命题，其否定是全称命题“∀n∈N，n2≤2n”．
3．命题“若x＋y＝1，则xy≤1”的否命题是( )
A．若x＋y＝1，则xy>1
B．若x＋y≠1，则xy≤1
C．若x＋y≠1，则xy>1
D．若xy>1，则x＋y≠1
答案 C
解析命题“若x＋y＝1，则xy≤1”的否命题是“若x＋y≠1，则xy>1”．
4．若“p∧q”与“(綈p)∨q”均为假命题，则( )
A．p真q假B．p假q真
C．p与q均真D．p与q均假
答案 A
解析“p∧q”为假，则p，q中至少有一假；“(綈p)∨q”为假，则綈p，q均为假．∴p真，q假．
5．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，下列说法正确的是( )
A．命题p的逆命题：若x<a2＋b2，则x<2ab
B．命题p的逆命题：若x<2ab，则x<a2＋b2
C．命题p的否命题：若x<a2＋b2，则x<2ab
D．命题p的否命题：若x≥a2＋b2，则x<2ab
答案 C
解析原命题为“若p，则q”的形式，则原命题的否命题为“若綈p，则綈q”的形式，故选C.
6．设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是( )
A．任意m∈R，使y＝f(x)都是奇函数
B．存在m∈R，使y＝f(x)是奇函数
C．任意m∈R，使y＝f(x)都是偶函数
D．存在m∈R，使y＝f(x)是偶函数
答案 D
解析当m＝0时，f(x)＝x2是偶函数，所以选项D中的命题是真命题．
7．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；
③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
答案 C
解析由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题，④綈p为假命题，则(綈p)∨q 为假命题．
8．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平
面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
9．“a>3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析当a>3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)<0，即函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点时，不一定是a>3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a>3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.
10．以下判断正确的是( )
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，x30>x20”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数”的充要条件
答案 D
解析“负数的平方是正数”即为“∀x<0，x2>0”，是全称命题，所以A不正确；因为全称命题“∀x∈N，x3>x2”的否定为“∃x0∈N，x30≤x20”，所以B不正确；因为f(x)＝cos2ax
－sin2ax＝cos2ax，当最小正周期为π时，有2π
|2a|
＝π，则|a|＝1⇒a＝±1.故“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，所以C不正确，故选D.
11．△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“si n C＝(3cos A＋sin A)cos B”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析若A，B，C成等差数列，则A＋C＝2B，∴B＝60°，若sin C＝(3cos A＋sin A)cos B，则sin(A＋B)＝3cos A cos B＋sin A cos B，
即sin A cos B＋cos A sin B＝3cos A cos B＋sin A cos B.
∴cos A sin B＝3cos A cos B.∴cos A＝0或tan B＝3，即A＝90°或B＝60°，
∴角A，B，C成等差数列是sin C＝(3cos A＋sin A)·cos B成立的充分不必要条件．
12．已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若“p或q”为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D ．[－2,2] 答案 A
解析 依题意，知p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2
＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，方程x 2
＋mx ＋1＝0的判别式Δ＝m 2
－4≥0，即m ≤－2或m ≥2.由p ，q 均
为假命题，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ≥0，
m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定是_____________________；它的否命题是____________________．
答案 末位数字是0或5的整数不能被5整除 末位数字不是0且不是5的整数不能被5整除
解析 命题的否定是只否定结论，而否命题是条件和结论都否定．
14．命题“对任意x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是____________________________． 答案 存在x 0∈R ，使得|x 0－2|＋|x 0－4|≤3
解析 全称命题的否定是特称命题，因此命题“对任意x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是“存在x 0∈R ，使得|x 0－2|＋|x 0－4|≤3”．
15．已知命题p ：关于x 的方程x 2
＋2x ＋a ＝0有实数根，命题q ：函数f (x )＝(a 2
－a )x 在R 上是增函数．若p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围是________．
答案 (－∞，0)
解析 当p 是真命题时，Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1. 当q 是真命题时，a 2
－a >0，解得a <0或a >1.
由题意，得p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≤1，
a <0或a >1，
解得a <0，所以实数a 的取值范围是
(－∞，0)．
16．所给命题：
①菱形的两条对角线互相平分的逆命题； ②{x |x 2
＋1＝0，x ∈R }＝∅或{0}＝∅；
③对于命题：“p 且q ”，若p 假q 真，则“p 且q ”为假；
④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件． 其中为真命题的序号为________． 答案 ②③④
解析 对于①，原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形”，对角线互相平分的四边形不一定是菱形，故错．
对于②，{x |x 2
＋1＝0，x ∈R }＝∅正确，{0}中有一个元素0，∅中一个元素都没有，故∅{0}，所以②为真命题．
对于③，若p 、q 中只要有一个是假，则“p 且q ”为假，故正确．
对于④，满足有两条边相等且有一个内角为60°的三角形一定为等边三角形，等边三角。