“两点一线”求“最值”

“两点一线”求“最值”

在初中数学学习中，我们时常会遇到求距离的“最”值，此类问题会用许多实际问题作为包装，但其本质上还是一个求极值的问题。它们看起来很复杂，其实只需一个数学上最基本的原理——“两点之间，线段最短”。当然，为了利用这一原理来解决问题，我们还时常需要创造一定的条件，才能使问题得以解决，下面我们就讲解一下常见的两种类型最值的求法。

一、距离之“和最小”

问题原型：如图1，点a、b在直线l的两侧，试在直线l上求作一点p，使pa+pb最小？

解决思路：连接ab交直线l于点p，则点p即为所求。

我们可以做如下证明：

如图2，在直线l上任取异于点p一点p’，连接p’a、p’b，可知p’a+p’b>ab，（两点之间线段最短）所以p’a+p’b>pa+pb，所以点p即为所求做的使pa+pb最短的点。

问题变形一：如图3，点a、b在直线l的同侧，试在直线l上求作一点p，使pa+pb最小？

解决思路：相比较图2，本题中两点a、b分别位于直线l的同侧，欲参照图2作法求作距离和最小的点，需使两点位于直线的两侧，且不能影响到两点中与直线上任一点的距离，这一要求可由我们学过的轴对称来实现，所以我们可用如下办法来寻找点p的位置：作点b关于直线l的对称点b’，连接ab’交直线l于点p，则点p

即为所求。

我们可作如下证明：如图4，在直线l上任取异于点p的一点p’，连接p’a、p’b、p’b’，因为点b，b’关于直线l对称，由对称的性质可知pb=pb’，p’b=p’b’，如图可知：

p’a+p’b=p’a+p’b’>ab’=pa+pb’=pa+pb，

所以p’a+p’b>pa+pb，故点p即为所求。

实际应用：大王庄和小王庄都在河的同侧，现欲在河岸边修建一座水泵站向两村供水，水泵站建在何处可使到两村的距离之和最短，从而节省管道费用？

此问题中可抽出数学模型即为上例：河岸可看作一直线，两村可看作数学上的两个点，此问题就是在直线上求做到直线同侧两点距离之和最短的点，解决方法其实就是上面问题的解决方法。

问题变型二：如图6，∠aob内部有一点p，在角的两边oa、ob 上分别找两点m、n，使pm+pn+mn最小。

解决思路：作点p关于oa、ob的对称点p1、p2，连接p1p2分别交oa、ob于m、n，则m、n即为所求。

同学们，你能仿上面的例子，利用对称的性质和两点之间线段最短的原理来证明这一结论吗？试试看！

实际应用：如图7，小李家a在牧区生活，每天他都要去羊圈b 赶羊出来，放羊到草地吃草后再到河边饮水最后把羊赶回家a。你能给出他的最短的路径吗？

此问题的解决思路和方法与上例完全相同，不同的是这里变成了

两个点，道理还是一样的。

此数学模型在实际问题中的应用：如图8，一蜜蜂在圆柱形杯子的外壁，看到杯子的内壁上有一滴蜂蜜，想要爬过去吃到蜂蜜，那么它的最短的爬行路径是什么？你能做出它爬行的最短路径吗？

解决思路：此问题是空间中的一个问题，我们解决此类问题的基本思路是把空间的问题首先转化为平面上的问题才可以用我们上

面的方法来解决。方法如下：

把此圆柱沿一母线剪开可得如图9示矩形，上一问题要求蜜蜂从外壁a爬行到内壁b处，必须经由上边沿，方可到达内壁的b处，此一问题可转化为图9中的从a过直线mn上的一点到达b的最短距离，即为寻找直线mn上的一点，使其到a、b的距离之和最短，其实这个问题就是我们上面讲到的第一个问题。

二、距离之“差最大”

问题原型：如图12，点a、b分别在直线l的同侧，请在直线l 上找一点p，使∣pa-pb∣最大？

解决思路：连接ab，交直线l于点p，则点p即为所求。

我们可以证明如下：如图11，取直线l上异于点p的任一点p’，连结p’a、p’b，可知p’a-p’bp’a-p’b，所以点p即为到a、b两点的距离之差最大的点。

问题：如图12，点a、b在直线l的异侧，试在直线l上找一点p，使∣pa-pb∣最大。

解决思路：此问题中已知点a与点b分列在直线l的两侧，如果

能转化成上例中两点都在直线的同侧时，我们就可依上例解决此问题，类似上面我们解决此类问题的方法，可用对称的方法来达到这一目的，即改变点、线的相对位置，但是不改变点与线上的任一点之间的距离，所以我们可以得到如下解决办法：

作点b关于直线l的对称点b’连接ab’交直线l于点p，则点p即为所求的使∣pa-pb∣最大的点，证明方法可依上例证明，相信到现在学生一定都能够自己独立地完成这个问题了。

总之，此类问题的解决思路主要来源于这两个方面，一是应用了数学上的一个基本原理“两点之间，线段最短”或者这一原理的推论“三角形中任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边”。二是解决此类问题最关键的是转化，即化未知为已知，如“和最小”问题中两点在异侧可易求出点p，若两点在直线的同侧，可利用对称的性质，将其转化到异侧，问题得解；又如“差最大”问题中如两点在直线的同侧易求点p，若在异侧可仿上例转化到同侧，它们都是用到了对称的“改变点、线的相对位置，但是不改变点与线上的任一点之间的距离”这一性质。对于实际问题，只要我们善于从中发现和抽出数学模型，就可以使问题得以解决。