探索两条直线平行的条件
七年级下册数学第一课探索直线平行的条件
七年级下册数学第一课探索直线平行的条件1.直线平行是指两条直线永远不会相交。
Parallel lines refer to two lines that will never intersect.2.直线平行的条件是它们具有相同的斜率。
The condition for lines to be parallel is that they have the same slope.3.斜率是指直线上任意两点的纵坐标差与横坐标差的比值。
Slope refers to the ratio of the vertical difference to the horizontal difference between any two points on a line.4.如果两条直线的斜率相同，那么它们是平行的。
If two lines have the same slope, then they are parallel.5.两条直线的斜率相同但不相交，则它们平行。
Two lines with the same slope but do not intersect are parallel.6.另一种判断直线平行的方法是它们的斜率乘积为-1。
Another way to determine if lines are parallel is if the product of their slopes is -1.7.这个方法适用于垂直线。
This method applies to perpendicular lines.8.垂直线是指它们的斜率互为倒数的直线。
Perpendicular lines are lines with slopes that are reciprocal of each other.9.如果两条直线的斜率互为倒数，那么它们是垂直的。
If two lines have slopes that are reciprocal, then they are perpendicular.10.平行线和垂直线在几何图形中有着重要的应用。
《探索两直线平行的条件》课例评议记录
《探索两直线平行的条件》课例评议记录观课后评课会议纪要会议时间：202X年12月20日上午主持人：赵鹏、李秀辉参会人员：云鹏，刘同军，郑廷伟，赵鹏，张云先，赵本敬，韩乃美，侯玉泉，姜立新，于卫东，邢学峰，王金霞，翟海燕，韦凤莲，边文豔，季勇，娄建民，李秀辉，苏霞记录人：姜立新会议主题：《探索两直线平行的条件》课例评议记录会议记录：苏霞：在这节课的设计上，得到了全组同仁们的帮助，可以说这节课是全组智慧的结晶。
反思这节课，个人认为：基于研究问题是有利于学生髮现问题和提出问题的教学设计，对于怎样才能更有利于学生髮现、提出问题，我认为只有情境设计好了，才能有利于学生髮现问题和提出问题。
另外对教材内容的整合、向学生渗透数学思想方法都要重点注意，但是在收集资源方面还不够灵活，引导还不够深刻，希望以后的课堂上能够弥补这节课的遗憾。
赵鹏：本节课苏老师提问比较多，具体分布情况怎幺样？教师追问有几次？是否有效？娄建民：苏老师的课堂提问共25次，其中，提问a层学生9次，b层学生5次，c层学生11次，从这些资料中看出，苏老师在每个环节面向全体。
季勇：在环节3有位学生画出两个45°的内错角而得到平行线时，老师追问“利用30°的角能画出平行线吗？让学生互相质疑，在思维碰撞中引出问题。
于卫东：自主学习时间为5分，合作学习、交流展示时间为20分钟，交流展示时间这说明：学生学习活动的时间比较充分，充分体现了课堂上学生的主体地位。
张云先：在探索画平行线的方法时，有的同旁内角相等两直线平行，老师没有急于否定，而是发动学生积极**，让学生解决。
然后通过让学生髮现问题提出问题，继而分析解决问题，达成了教学目标，加深了对知识的理解，同时为学生髮现问题提出问题提供了时机。
边文豔：得出“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”的準确结论，教师没有及时点评引导，从而错过了烘托学生髮现问题解决问的良机。
侯玉泉：有许多精彩之处，老师应给予恰当、多元化的评价。
探索直线平行的条件(第2课时)同步课件
新知探究
如图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的一组平 行线，并说明你的理由．
B
C
D
A
E
新知探究
B
C
D
A
E
BC与AE是平行的．因为∠BCA与∠EAC是内错 角，而且又相等．
你能看懂她的意思吗？ 再找到另一组平行线，说说你的理由．
巩固练习
2.如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，若要使AB∥CD，则需要 添加的条件是( ) A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠4＝∠5
巩固练习
3．如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠DCE；④
∠B+∠BAD=180°，其中能推出AB//CD的是（ ）
方法2：同位角相等，两直线平行（经常用）；
方法3：平行于同一条直线的两直线平行（偶尔用）
新课引入
小明身边只有一个量角器， 他通过测量某些角的大小就 能知道这个画板的上、 下边缘是否平行， 你知道他是怎样做 的吗？
新课引入
问题1 视察∠3与∠5的位置关系：
①在直线EF的两侧 ②在直线AB、CD的之间
温故知新
1.同位角
特征 截线:同侧， 被截线:同一方
基本图形
1 2
代表字母 F
2.平行线 (1)直线平行的条件:同位角相等，两直线平行. (2)性质:经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 平行于同一条直线的两条直线平行.
温故知新
3.判断两直线平行的方法:
还有其他 的判定方 法吗？
方法1：定义（很少用）
2、2探索直线平行的条件
预习提纲：
问题1：在同一平面内两条直线的位置关系有几种？分别是什么？
问题2：如图，两条直线相交所构成的四个角中分别有何关系？
问题3：什么叫两条直线平行？
问题4：如课本彩图，装修工人正在向墙上钉木条。
如果木条b 与墙壁边缘垂直，那么木条a 与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a 与木条b 平行？
问题：实际问题中在判断两根木条平行时，借助了墙壁作为参照，你能将上述问题抽象为数学问题吗？试着画出图形，并结合图形说明。
问题5：1、图中的直线b 与直线c 不垂直，直线a 应满足什么条件才能与直线b 平行呢？请你利用教具亲自动手操作。
做一做：利用纸条和图钉自己制作学具，如图，三根纸条相交成∠1，∠2， 固定纸条b,c,转动纸条a, 在操作的过程中让学生观察∠2的变化以及它
与∠1的关系，你发现纸条a 与纸条b 的位置关系发生了什么变化？纸条a 何时与纸条b 平行？改变图中∠1的大小再试一试，与同学交流你的发现。
2．由∠1与∠2的位置关系引出对“三线八角”的认识和同位角的概念。
问题1：图中还有其他的同位角吗？
问题2：这些角相等也可以得出两直线平行吗？
3．综上探索，引导学生归纳出两直线平行的条件 A B D
C O。
苏科版数学七年级下册7.1.2《探索直线平行的条件》说课稿
苏科版数学七年级下册7.1.2《探索直线平行的条件》说课稿一. 教材分析《探索直线平行的条件》这一节内容是苏科版数学七年级下册第七章第一节的一部分。
在之前的学习中，学生已经掌握了直线、射线、线段的基本概念，以及如何画直线和射线。
本节课的主要内容是引导学生探索直线平行的条件，让学生通过观察、思考、操作、交流等活动，发现并证明两条直线平行的条件。
这一节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑推理能力。
二. 学情分析在七年级的学生中，他们的思维方式正在从具体形象思维向抽象逻辑思维转变，他们已经具备了一定的空间想象能力和逻辑推理能力。
但是，对于直线平行的条件的理解和证明，他们可能还存在着一定的困难。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的个体差异，对于理解能力较强的学生，可以适当提高教学难度，对于理解能力较弱的学生，可以通过举例、讲解等方式，帮助他们理解和掌握直线平行的条件。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握直线平行的条件，并能够运用直线平行的条件解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生空间想象能力和逻辑推理能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、合作交流的学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：直线平行的条件。
2.教学难点：直线平行的条件的证明。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用引导探究法、讲解法、合作交流法等教学方法。
同时，利用多媒体课件、几何画板等教学手段，帮助学生直观地理解直线平行的条件。
六. 说教学过程1.导入：通过回顾直线、射线、线段的基本概念，以及如何画直线和射线，引出本节课的主要内容——探索直线平行的条件。
2.探究：让学生通过观察、操作、交流等活动，发现并证明两条直线平行的条件。
在这个过程中，教师引导学生思考，引导学生发现直线平行的规律。
3.讲解：教师对直线平行的条件进行讲解，帮助学生理解和掌握。
2.2.2探索直线平行的条件(教案)
此外，我还注意到，在总结回顾环节，有些同学仍然存在疑问。这说明我在课堂上的讲解可能还不够透彻，或者是课堂互动不够充分。因此，我需要在课后及时了解学生的掌握情况，针对性地进行辅导，确保每位同学都能跟上教学进度。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行线的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平行线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探索了直线平行的条件，我发现学生们对于这个概念的理解程度不尽相同。有的同学能够迅速抓住同位角、内错角、同旁内角这些关键点，但也有一些同学对这些概念感到困惑。我意识到，在接下来的教学中，我需要采取更加多样的教学方法，以帮助不同水平的学生更好地理解平行线的性质。
1.讨论主题：学生将围绕“平行线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
课堂上，我通过引入日常生活中的例子来激发学生的兴趣，这是一个不错的开始。然而，我发现在理论介绍部分，我的语言可能过于专业化，导致一些同学难以跟上。在今后的教学中，我需要用更贴近学生生活的语言来解释抽象的几何概念，使它们更加直观易懂。
6 探索直线平行的条件
一、知识概述1、同位角、内错角、同旁内角①两条直线被第三条直线所截，构成了八个角，也称“三线八角”．其中位置相同的一对角（两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁）叫做同位角．在两条直线之间，并且位置交错（即分别在第三条直线的两旁）的一对角，叫做内错角．在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁的一对角，叫做同旁内角．如图所示，直线l与直线a、b相交，形成了8个角，其中的∠1和∠5这样位置的一对角是同位角，∠3和∠5这样位置的一对角是内错角，∠4和∠5这样位置的一对角是同旁内角．在图中，同位角还有：∠2和∠6，∠4和∠8，∠3和∠7；内错角还有：∠4和∠6；同旁内角还有：∠3和∠6．②同位角、内错角、同旁内角的识别要准确理解同位角、内错角、同旁内角的定义，首先要抓住这三类角的异同．它们的共同点是：它们都是两条直线被第三条直线所截而成的角中“顶点不同”的角，每个角都有一条边在同一条直线（第三条直线）上，另一条边分别在两条直线（第一、第二条直线）上．它们的区别是：同位角是在两条直线的“同方”，第三条直线的“同侧”（同旁）；内错角是在两条直线“之间”（内），第三条直线“两侧”（错开）；同旁内角是在两条直线“之间”（内），第三条直线“同侧”（同旁）．其次还要识别这三类角是哪两条直线，被什么样的第三条直线所截而成的，关键是要找准截线．另外，还要能从复杂的图形中分离出这三种角的基本图形，从而准确辨别这些角．判别同位角、内错角、同旁内角的关键是找到三线，即找到两条直线和截这两条直线的第三条直线，所需判别的两个角的四条边应该分布在这三条直线上．在复杂的图形中判别这三类角时，应沿着角的两边将图形补全，或把多余的线暂时隐去，找到“三线八角”的图形，进而判定这两个角的位置关系．“F型”为同位角，“Z型”为内错角，“U型”为同旁内角．2、平行线的画法平行线的画法可以概括为“一落二靠三推四画”．一落：把三角板的一边落在已知直线上；二靠：紧靠三角板的另一边放上直尺（或用另一三角板替代）；三推：把三角板沿直尺推到三角板的这边通过已知点P的位置；四画：沿三角板这一边画直线（如图）．3、平行线的基本性质（平行公理）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．4、平行线的传递性平行于同一条直线的两条直线平行．5、平行线的判定方法一：同位角相等，两直线平行．方法二：内错角相等，两直线平行．方法三：同旁内角互补，两直线平行．二、典型例题讲解例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.分析：（1）判断一对角的关系，关键在于熟悉各种类型的角之间的位置关系和边之间构成的形状特征．（2）在“三线八角”中共有4对同位角，两对内错角和两对同旁内角．解：（1）∠3与∠1是对顶角；∠3与∠2和∠4是邻补角；∠3与∠5、∠7是同旁内角；∠3与∠6是内错角；∠3与∠8是同位角.（2）三条线两两相交（有三个交点）的图形可以看作有三组“三线八角”，而每一组中有4对同位角，2 对内错角和2对同旁内角.因此图中共有12对同位角，6对内错角和6对同旁内角.例2、如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）A．∠1＝∠3B．∠2＝∠3C．∠4＝∠5D．∠2＋∠4＝180°分析：主要考查平行线的判定条件，在辨认三种角时，抓住截线是关键，即“先辨截线，再判位置”．当∠1＝∠3时，由内错角相等，两直线平行可得l1∥l2；当∠4＝∠5时，由同位角相等，两直线平行可得l1∥l2；当∠2＋∠4＝180°时，由同旁内角互补可得l1∥l2．答案：B例3、如图，点B在DC上，BE平分∠ABD，∠DBE＝∠A，则BE∥AC，请说明理由．分析：由BE平分∠ABD我们可以知道什么？联系∠DBE＝∠A，我们又可以知道什么？由此能得出BE∥AC吗？为什么？解：∵BE平分∠ABD∴∠ABE＝∠DBE（角平分线的定义）又∠DBE＝∠A∴∠ABE＝∠A（等量代换）∴BE∥AC(内错角相等，两直线平行)注意：用符号语言书写证明过程时，要步步有据．例4、已知，如图AB与CD相交于点E，且∠1＋∠D＝180°，求证：AB∥DF.分析：要证AB∥DF，就要利用我们所学的三个判定平行的方法，找出同位角，内错角或同旁内角，图中∠D与∠2，∠D与∠3，∠D与∠4分别是什么角？如何通过转化？证法一：∵AEB为一直线（已知）∴∠1＋∠2＝180°（补角定义）∵∠1＋∠D＝180°（已知）∴∠2＝∠D（同角的补角相等）∴AB//DF（同位角相等，两直线平行）证法二：∵CED是一条直线（已知）∴∠1＋∠3＝180°（邻补角定义）∵∠1＋∠D＝180°（已知）∴∠3＝∠D（同角的补角相等）∴AB//DF（内错角相等，两直线平行）证法三：∵∠1＝∠4（对顶角相等）∠1＋∠D＝180°（已知）∴∠4＋∠D＝180°（等量代换）∴AB//DF（同旁内角互补，两直线平行）说明：本题给出了三种证法，分别采用了平行线判定的三种方法，为使同学们尽快地熟悉，掌握推理过程，并进行证明格式规范化的训练，在这里给出了正规的推理过程，在推理过程中，必须养成阐明理由的习惯，做到步步有据可依，才能保证推理过程的正确性，这不仅是学习几何的要求，而且是培养我们逻辑思维能力的重要途径．例5、如图，已知∠1＋∠2＝∠APC，试说明AB∥CD的理由．分析：由已知条件，无法判定AB∥CD，怎么办？这就需要我们创造条件，为此，在∠APC的内部画∠APM＝∠1，则MP∥AB，由已知可得∠MPC＝∠2，从而MP∥CD，根据平行公理的推论，可得AB∥CD．解：在∠APC内部画∠APM＝∠1，∵∠APM＝∠1，∴AB∥MP（内错角相等，两直线平行）．∵∠APC＝∠APM＋∠CPM（画图），∠APC＝∠1＋∠2（已知），∴∠APM＋∠CPM＝∠1＋∠2．∵∠APM＝∠1（画图），∴∠CPM＝∠2（等式的性质），∴CD∥MP（内错角相等，两直线平行）∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线平行）．测试一、选择题1、如图所示，L是L1与L2的截线．找出∠1的同位角，标上∠2，找出∠1的同旁内角，标上∠3．下列何者为∠1、∠2、∠3正确的位置图（）A．B．C．D．2、如图，若∠1＝135°，∠COD＝45°，则AB与OD的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．不能确定3、如图所示，下列判断不正确的是（）A．∵∠1＝∠2，∴AE∥BDB．∵∠3＝∠4，∴AB∥CDC．∵∠1＝∠2，∴AB∥EDD．∵∠5＝∠BDC，∴AE∥BD4、下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（）A．B．C．D．5、平面上五条直线a、b、c、d、e，若a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥e，则下面结论中正确的是（）A．a∥d∥c B．d∥a∥eC．b∥d∥c D．a∥c∥e6、下列说法中正确的是（）A．连接两点间的线段叫做两点间的距离B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行D．如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行7、如图，能判定AB∥CD的条件是（）A．∠1＝∠2B．∠1＋∠2＝180°C．∠3＝∠4D．∠3＋∠4＝90°8、如图：当∠A等于哪个角时，可以判断AC//BD（）A．∠D B．∠CC．∠B D．∠AOC9、如图，当∠2与∠3满足什么条件时，a∥b（）A．∠2＝∠3B．∠2＋∠3＝90°C．∠2＋∠3＝180°D．无法确定10、下列四个图中若∠1＝∠2，能够判定AB∥CD的是（）A．B．C．D．B卷二、解答题11、如图，已知∠B＝110°、∠BCG＝110°、∠BCD＝150°、∠D＝100°，求证：DE∥BC.证明：∵∠B＝∠BCG＝110°（）∴AB∥FG（）∴∠BCF＝180°－110°（）∵∠BCD＝150°（）∴∠FCD＝80°∴∠D＝100°∵∠D＋∠FCD＝100°＋80°＝180°∴FG∥ED（）∴AB∥ED（）显示答案12、已知：∠1＝60°，∠2＝60°，AB//CD．求证：CD//EF．显示答案13、已知如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判断的根据是什么？（1）∠2＝∠B；（2）∠1＝∠D；（3）∠3＋∠F＝180°.显示答案14、在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？显示答案15、如图，∠AED＝60°，∠1＝30°，EF平分∠AED．（1）EF∥BD吗？试说明理由．（2）∠ABC等于多少度时，就能使DE∥BC？课外拓展例、如图已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试证AB∥EF．分析：从图形中找出有直接判定AB//EF的角较困难，我们可以从线入手，从平行公理的推论即平行线的传递性来证明．证明：在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°∵∠B＝25°，∠E＝10°（已知）∴∠B＝∠BCM ，∠E＝∠EDN（等量代换）∴AB∥CM ，EF∥DN（内错角相等，两条直线平行）又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°（已知）∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°（等式性质）∴∠DCM＝∠CDN（等量代换）∴CM∥DN（内错角相等，两直线平行）又∵AB∥CM，EF∥DN（已知）∴AB∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）。
2.2探索两直线平行的条件(精讲)(学生版)
2.2探索两直线平行的条件“三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图.同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.．判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）题型2：平行线的判定1（同位角相等）2.如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（）A．∠1＝∠2B．∠1＝∠4C．∠3+∠4＝180°D．∠3+∠5＝180°．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）平行线的画法（【变式3-1】如图.直线a.点B.点C.（1）过点B画直线a的平行线，能画几条?（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗?【变式3-2】如图，在方格纸上∶（1）已有的四条线段中，哪些是互相平行的?（2）过点M画AB的平行线（3）过点N画GH的平行线平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.题型5：内错角、同旁内角的概念及识别5.如图，下列两个角是内错角的是（）A．∠1与∠2B．∠1与∠3C．∠1与∠4D．∠2与∠4【变式5-1】如图，直线EF与直线AB，CD相交．图中所示的各个角中，能看作∠1的内错角的是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5【变式5-2】如图，A点在直线DE上，在∠BAD，∠BAE，∠BAC，∠CAE，∠C中，∠B的同旁内角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）6.补全下面的证明过程，并在括号内填上适当的理由．【变式6-1】如图，下列条件中能判断直线l1∥l2的是（）A．∠1＝∠2B．∠1＝∠5C．∠2＝∠4D．∠3＝∠5判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）证明：∵“内错角”或“同旁内角”）【变式8-1】如图，（1）∠1和∠3是直线和被直线所截而成的角；（2）能用图中数字表示的∠3的同位角是；（3）图中与∠2是同旁内角的角有个．的位置关系，并说明理由．题型10：平行线的判定简单综合10.光线在不同介质的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也平行．如图标注有∠1～∠8共8个角，其中已知∠1=64°，∠7=42°．（1）分别指出图中的两对同位角，一对内错角，一对同旁内角；（2）直接写出∠2，∠3，∠6，∠8的度数．试判断。
两条直线平行的条件公式
两条直线平行的条件公式1.斜率相等：如果两条直线的斜率相等，则它们是平行的。
斜率是指直线在坐标平面上的斜率或倾斜程度。
若两个直线有相同的斜率，则它们的倾斜程度是相等的，因此它们是平行的。
数学公式：设直线L1的斜率为m1，直线L2的斜率为m2，则L1与L2平行的条件为m1=m22.向量平行：如果两个方向向量或定向线段的方向相同（或相反），则它们是平行的。
由于直线的斜率可以表示为它的方向向量的斜率，所以这个条件也可以用向量来表示。
数学公式：设直线L1的方向向量为v1，直线L2的方向向量为v2，则L1与L2平行的条件为v1∝v2，其中∝表示向量的平行关系。
通过上述两个条件公式，我们可以判断两条直线是否平行。
范例：例1：判断直线L1：2x+3y-5=0和直线L2：4x+6y-7=0是否平行。
解法：首先将这两条直线化为标准形式，即ax + by + c = 0。
L1化为标准形式得：2x+3y+(-5)=0，即2x+3y-5=0。
L2化为标准形式得：4x+6y+(-7)=0，即4x+6y-7=0。
比较两条直线的系数，得到：对于L1，a1=2，b1=3；对于L2，a2=4，b2=6根据斜率相等的条件公式，我们有：斜率m1=-a1/b1=-2/3斜率m2=-a2/b2=-4/6=-2/3由于m1=m2，所以L1与L2平行。
因此，直线L1：2x+3y-5=0和直线L2：4x+6y-7=0是平行的。
例2：判断直线L3：2x+3y-5=0和直线L4：2x+3y+7=0是否平行。
解法：将这两条直线化为标准形式。
L3化为标准形式得：2x+3y+(-5)=0，即2x+3y-5=0。
L4化为标准形式得：2x+3y+7=0，由于两个常数项不相等，将其化简得2x+3y+(-7)=0，即2x+3y-7=0。
比较两条直线的系数，得到：对于L3，a3=2，b3=3；对于L4，a4=2，b4=3根据斜率相等的条件公式，我们有：斜率m3=-a3/b3=-2/3斜率m4=-a4/b4=-2/3由于m3=m4，所以L3与L4平行。
探索直线平行的条件(1)
a b
直于工件边缘 ∴∠1=∠2=90° ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
c
你由此能得到什么结论？
12
§7.1 探索直线平行的条件(1)
例1：如图，∠1=55°，∠2=55°，直 线AB，CD平行吗？说明你的理由．
A 变式一：如图，∠1=55°，∠4=125°， 直线AB，CD平行吗？说明你的理由． 变式二：如图，∠1+∠4=180°，直线AB ，CD平行吗？说明你的理由．
课堂练习：
1、如图，判断：
a
66°
d
66°
a
66° b a
b
89° 89°
b
67°
c
a∥d (
√)
b∥c (╳ )
D
a ∥b (╳ )
B
2、∠DEA=130°,当∠BCA= 130° 时, 会使得DE∥BC.
E
C
A
§7.1 探索直线平行的条件(1)
3、木工师傅用角尺在工件上画出工件边缘的两 条垂线a、b，这两条垂线平行吗？为什么？
。 60 。 60
2
。 30
b b
。 30
a 两条直线被第三条直线所截，如果同 1 位角相等，那么这两条直线平行. 。 。 90 可以简单说成：同位角相等，两直线平行 45 . ∵ ∠1 = ∠2 。 。 90 45 ∴ a∥b (同位角相等，两直线平行线平行的条件(1)
问题情景
相交
平行
在同一平面内 ，不相交的两条直 线叫做平行线。
1
§7.1 探索直线平行的条件(1)
2
§7.1 探索直线平行的条件(1) 一、放
二、靠 三、推 四、画
七年级数学下册《相交线与平行线》：探索直线平行的条件
在教师讲解和同伴的 帮助下能用几何语言 写出判断平行的过程
☆☆☆
灵活运用判定方法 判定方法应 来解决实际问题
用用
运用判定方法来解 决一般问题
在同伴的帮助下能运 用判定方法来解决简 单问题
☆☆☆
学习任务三：过直线外一点画平行线
操作·思考
（1）给你一副三角板，你能过直线AB外一点C画直线的平行线MN吗？ （2）你能画出几条？你能说明其中的道理吗？
4.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，体会利用操作、归纳获得 数学结论的过程，进一步发展想象、推理能力和有条理表达的能力。
学习任务一：认识同位角、内错角、同旁内角
操作·观察
若在两条直线的基础上，画第三条直线与这两条直线都
相交，你能画出怎样的图形？
观察·归纳
三线八角
同位角定义
两直线被第三条直线所截而成的8个角中， 在截线的同一侧且在两条被截线的同一方的两个角， 叫做同位角。
验证
当∠1＜∠2时
12
①直线a和b 不平行， ②直线a和b 平行 ； ③直线a和b 不平行 。
猜想
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行。
归纳
判断两条直线平行的方法：
同位角相等，两直线平行。
E
1
A
B
2
C
D
F
几何语言： ∵∠1=∠2
∴ AB∥ CD
（同位角相等，两直线平行）
你学会了吗？
会借助三角尺过已知直线外一点画这 条直线的平行线
还有疑惑是
课后任务 ≥16☆：完成课后小测题“能力提高”1-3题。（必做）
＜16☆：完成课后小测题“基础巩固”1-2题，（必做） “能力提高”第1题。（选做）
探索两直线平行的条件
∴ ∠3 =∠1= 55°
∴ AB∥CD.
D
第2题图
本节课你的收获是什么？
找同位角的关键是抓住第三线, 在第三线同侧，另两线的同一方位的两 个角。 “同位角相等，两直线平行” 是判断两直线平行的公理。
每得出一个两直线平行的结论， 都要依序完成下列三个过程：
①找出同位角； ②说明这两个同位角相等； ③用公理得出“平行”的结论。
∠1和∠2是同位角， ∵∠1和∠2有一边共线、 同向， 且不共顶点。
回到两直线平行的判断来
当∠1＞∠2时
当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
∠1、∠2是 同位 角。
b ①直线a和b 不平行 ， ②直线a ∥ ； ③直线a和b不平行。
由此可猜想：
判断两条直线平行的方法：
同位角相等，两直线平行。
你还记得怎样用移动三角尺的方法画两 条平行线吗？ 试用这种方法 过已知直线外一点画它的平行线. 由此可得到判定两条直线的方法：
作业
作业
教材p.55 习题2.2 第1、2题。
如图，三根木条相交成 ∠1， ∠2，固定木条b、c， 转动木条a , 观察∠1， ∠2满 足什么条件时直线a与b平行.
做一做
当∠1＞∠2时
当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
①直线a和b不平行
②直线a∥b
③直线a和b不平行
同位角定义的理解：
C 3
7构成的八个角中，位于两直 线同一方、且在第三直线同 一侧的两个角，叫做同位角.
同位角相等，两直线平行.
●
一、放
0
1
2 0
3 1
4 2
5 3
6 4
7 5
8 6
判断两直线平行的方法
判断两直线平行的方法
一、满足以下条件的两条直线平行：
1．两直线都具有相同的斜率；
2．两直线的正切值相等；
3．两直线的法线方向相同；
4．两直线的倾斜角度相同；
二、根据斜率判断两直线平行：
1．先求出两条直线的斜率，斜率的计算公式是 y=kx+b，可以把两条直线分别写成 y1=k1x+b1,y2=k2x+b2 ，其中 k1,k2 分别就是这两条直线的斜率；
2．如果 k1=k2 的话，就说明这两条直线是平行的，反之则不是平行的。
三、根据正切值判断两直线平行：
1．正切值可以使用公式tan θ = y/x 来计算出来，正切值θ 就是两直线之间的夹角；
2．如果tan θ1=tan θ2 说明这两条直线是平行的，反之则不是平行的。
四、根据法线方向判断两直线平行：
1．首先要先求出两条直线的法线方向，可以计算出来两条直线的斜率，然后进行弦传递变换，就能得到两条直线的法线方向；
2．如果两条直线的法线方向完全一致，就说明这两条直线是平行的，反之则不是平行的。
五、根据倾斜角度判断两直线平行：
1．可以使用数学公式tan θ = y/x 来算出两条直线之间的倾斜角度；
2．如果倾斜角度θ1=θ2，就说明这两条直线是平行的，反之则不是平行的。
两条直线平行的条件平行线的特征
两条直线平行的条件平行线的特征主讲：方敏文一周强化一、一周知识概述1、两条直线平行的条件(1)同位角相等，两直线平行；(2)内错角相等，两直线平行；(3)同旁内角互补，两直线平行．上述方法可表述为：如图．(1)如果∠1=∠2，那么AB∥CD；(2)如果∠3=∠2，那么AB∥CD；(3)如果∠2＋∠4=180°，那么AB∥CD．关键是－定要看清哪两条直线被哪－条直线所截形成的同位角或同旁内角或内错角相等或互补，才能正确判断是哪两条直线平行．2、平行线的特征(1)两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简单地说成“两直线平行，同位角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠l=∠2(两直线平行，同位角相等)．(2)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，简单地说成“两直线平行，内错角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)．(3)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单地说成“两直线平行，同旁内角互补”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠2＋∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)．注意：①只要两条直线被第三条直线所截，都存在这三类角，但同位角、内错角不－定相等，同旁内角也不－定互补；②同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线的特有性质，在使用时，切不可忽略前提条件“两直线平行”．当两直线不平行时，同位角与内错角就不相等，同旁内角也不互补．3、直线平行的条件与平行线的特征区分几何中，图形之间的“位置关系”－般都与某种“数量关系”有着内在联系，常有“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可以由“数量关系”去确定“位置关系”．正确区分平行线的判定方法和平行线的特征是十分重要的．从表中可以看出，由角的相等或互补关系，得到两直线平行的结论是判定方法；而由两条直线平行，得到角相等或互补关系的结论是平行线的特征．二、典型例题剖析例1、如图，下列条件中，不能判断直线l 1∥l 2的是（ ）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠4=∠5D ．∠2＋∠4=180°分析：主要考查平行线的判定条件，在辨认三种角时，抓住截线是关键，即“先辨截线，再判位置”．当∠1=∠3时，由内错角相等，两直线平行可得l 1∥l 2；当∠4=∠5时，由同位角相等，两直线平行可得l 1∥l 2；当∠2＋∠4=180°时，由同旁内角互补可得l 1∥l 2． 答案：B例2、如图，已知AC 平分∠DAB ，∠BAC ＝∠ACB ，那么AD 与BC 平行吗?请写出推理过程．分析：要判定AD与BC平行，应先观察AD与BC被哪条直线所截，然后设法由已知条件推出同位角或内错角相等，或同旁内角互补．本例把AB看作截线，不能得出结论，而把AC看作截线即可推出∠ACB＝∠CAD，从而得出AD∥BC．（关键是要找准截线）解：∵AC平分∠DAB（已知），∴∠BAC＝∠CAD（角平分线定义），∵∠BAC＝∠ACB（已知），∴∠CAD＝∠ACB（等量代换），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．例3、如图，如果两个角满足某种关系，就可以判断AE∥BF．请你将这样的相关的角写出几组，并说明理由．分析：本题属于条件开放性问题，由于图形比较复杂，很容易找不全所有符合条件的答案．解题时要紧紧抓住判定两条直线平行的三种判定方法，以顶点为出发点来寻找符合条件的两个角．由以B为顶点的∠B，可以得到以下条件：∠B=∠7，∠B=∠6，∠B＋∠BAE=180°；然后再找以C为顶点的角有∠1，∠3，∠BCE和∠ACF(∠2不能和其他角构成符合条件的－组角)，可以得到以下条件：∠1=∠5，∠l＋∠CAG=180°，∠3=∠E，∠BCE＋∠E=180°，∠ACF=∠CAG，∠ACF＋∠5=180°，由此可以得到符合条件的全部答案．解：满足条件的两个角有：(1)∠B=∠7(内错角相等，两直线平行)；(2) ∠B=∠6(同位角相等，两直线平行)；(3) ∠B＋∠BAE=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(4) ∠1=∠5(内错角相等，两直线平行)；(5) ∠1＋∠CAG=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(6) ∠3=∠E(内错角相等，两直线平行)；(7) ∠BCE＋∠E=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(8) ∠ACF=∠CAG(内错角相等，两直线平行)；(9) ∠ACF十∠5=180°(同旁内角互补，两直线平行)．小结：以顶点为出发点，有规律、有顺序地寻找符合条件的两角，关键是要从简单情形入手，逐步过渡到复杂情形．例4、如图(1)，线段AB//CD，点P是AB、CD间的－个点．(1)试判断∠A、∠C与∠APC的数量关系；(2)如果点P移动到线段AC的左侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(如图(2))(3)如果点P移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．(如图(3))分析：图中虽然有平行线，但是缺少和两条平行线都相交的第三条直线，因此也就没有同位角、内错角的相等关系以及同旁内角的互补关系，如何构造出这三类角，充分利用平行线的性质是解决问题的关键，因此，需要构造满足平行线的性质的基本图形．解：(1) ∠A＋∠C=∠APC．理由：如图(1)，过P作直线PM∥AB．由AB//PM，得∠A=∠APM．由AB//CD，PM//AB，得CD//PM．于是∠C=∠CPM．而∠APC=∠CPM＋∠APM，故∠APC=∠A＋∠C；(2)不成立，∠BAP＋∠PCD＋∠APC=360°．理由：如图(2)，过P作PM//AB，而AB∥CD，所以AB∥PM∥CD．所以∠1＋∠BAP=180°，∠2＋∠PCD=180°．所以∠1＋∠BAP＋∠2＋∠PCD=180°×2=360°，即∠APC＋∠BAP＋∠PCD=360°；(3)不成立．∠APC=∠C－∠A．理由：如图(3)，过P作PM∥AB，从而知PM∥AB∥CD，于是有∠MPA=∠A，∠MPC=∠C，而∠MPC=∠MPA＋∠APC，故∠C=∠A＋∠APC．即∠APC=∠C－∠A．小结：两条平行线中出现折线时，过折线的折点作平行线是解决问题的关键．。
北师大版七年级数学课件《探索直线平行的条件(第1课时)》
C.（1）（3）
D.（2）（4）
巩固练习
变式训练
若AB∥CD，AB∥EF，则_____C_D_∥__E_F. 如图所示，MC∥AB，
NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是
_经__过__直__线__外__一__点__，__有__且__只__有__一__条__直__线__与__这__条__直__线__平__行__.____
是( B)
A.不能作 C.能作两条
B.只能作一条 D.能作无数条
课堂检测
基础巩固题
3.如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么AB和EF的位置关系是( )A
A.平行
B.相交
C.垂直
D.不能确定
课堂检测
基础巩固题
4.如图,若∠1=∠2,则a_∥____c,理由是:同__位__角__相__等__,_两__直__线__平__行_ .
E 3 解：因为∠1=∠7, ( 已知
A1
B ∠1=∠3,（对顶角相等
C
7 D 所以 ∠7=∠3.（等量代换
F
（ 所以 AB∥CD.
同位角相等 两直线平行
)
）
）
）
巩固练习
变式训练
如图所示，∠1＝∠2＝35°，则AB与CD的关系是 AB∥CD
，
同位角相等，两直线平行
理由是
.
探究新知
知识点 3 平行公理及其推论
如图，在△ABC中，D，E分别在AC，BC上，∠C＝20°，∠CDE ＝120°，∠B＝40°，请问DE与AB是否平行？并说明理由.
解:DE∥AB. 理由：在△CDE中，∠CDE＝120°，∠C＝20°， 因为∠CDE+∠C+∠DEC=180°， 所以∠DEC=180°-∠CDE-∠C=180°-120°-20°=40°. 又因为∠B＝40°， 所以∠DEC=∠B=40°. 所以DE∥AB(同位角相等，两直线平行).
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［生齐声］同意.
［师］好，这只是一种情况下得出的结论.如果改变∠1的大小，情况又如何呢？
［生乙］我们观察到的情况与甲同学说的一样.
［生丙］我注意到：只要∠2与∠1的大小相等，那么木条a、b就平行.
［师］是这样的吗？
［生齐声］是.
［师］好.由此可以看到：木条a、b的位置关系与∠1、∠2的大小关系密切相关，当∠1等于∠2时，木条a、b所在的直线就平行.那么∠1、∠2是什么样的角呢？
探索两条直线平行的条件
课题
探索直线平行的条件（一）
教
学
目
标
(一)知识与技能
1.掌握直线平行的条件：同位角相等.
2.会用三角板过已知直线外一点画这条直线的平行线.
(二)过程与方法
1.经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题.
2.会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
3.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.
［生］从图中可知：∠1与∠2是同位角.所以可以这样说：同位角相等，两条直线平行.
［师］好，这样我们就得到直线平行的条件：同位角相等.即：平行线的判定：
同位角相等，两直线平行.
用几何符号表示：∠1=∠2→a∥b
在上学期，我们学过了利用移动三角尺的方法来画平行线，那现在大家来分组讨论讨论.
怎样用移动三角尺的方法画两条平行线你能用这种方法过已知直线外一点画它的平行线吗请说出其中的道理.(课件——画平行线)
(也可举例：如异面直线.学生只要说清即可).
［生乙］第2句话是错的.因为一条直线的平行线有无数条，只有经过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行.
［生丙］第3句是对的，它是平行线的一个性质.
［师］同学们分析得很好.下面我们来看一个生活中的实例
如图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条a与木条b平行
改变图(1)中∠1的大小，按照上面的方式再做一做.∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？
［师］同学们先独立操作、观察，找出结论，然后前后四人讨论，得出结论.
(学生动手操作，然后交流，教师指导、巡视)
新课
活动
［生甲］在转动木条a的过程中，看到∠1与∠2的大小关系为三种情况：大于、等于、小于；木条a与木条b的位置关系有两种情况：相交与平行；当∠1=∠2时，木条a与木条b平行.
下面大家看这个图中，还有没有其他的同位角呢？
［生甲］∠5与∠6是同位角.这两个角在直线l的右侧，又在直线CD、AB的下方.
［生乙］∠7与∠8是同位角.这两个角分别在直线CD、AB的下方，并且在直线l的左侧.
［师］很好，大家了解了同位角后，想一想刚才我们得到的：“当∠1=∠2时，木条a、b所在的直线平行”这个结论应该怎么叙述？
图2－13
［生乙］画直线CD与AB平行的过程中，实际上使用了一个三角尺的一边和另一个三角尺的一个角.一个三角尺不动，在另一个三角尺平移的过程中，那个角的大小不变，而且从一个位置平移到另一个位置，两个位置上的那个角构成了同位角关系.“同位角相等，两直线平行.”
［师］同学们分析得很好.在画已知直线的平行线时，实际就用到了“同位角相等，两直线平行”这个直线平行的条件.（参看课件——同位角相等，两直线平行）
(同学们讨论)
［师］大家可以用课前裁好的线条在桌子上演示.
［生］木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行.
［师］大家经过讨论，得到了：若木条b与墙壁边缘垂直时，只有木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行.那么在同一平面内，两条直线除不相交外，还可能在什么情况下平行呢？这节课我们就来探索直线平行的条件.
好，下面大家动手画一画：过直线外一点画这条直线的平行线.
(学生动手操作，教师指导)
［师］好，同学们画得很好.接下来我们做练习，以巩固本节所学内容.
小
结
提
升
本节课我们主要探讨了直线平行的条件：“同位角相等，两直线平行”.还认识了同位角，并且会用三角尺过已知直线外一点作这条直线的平行线.
到现在为止，我们就有了几种判定两直线平行的方法：小组讨论交流，人人讨论，人人发言总结所学判定方法：
(三)情感、态度与价值观
1.在探索和交流的活动中，培养学生与人协作的习惯.
2.培养学生理论联系实际的观点.教来自学重难
点
（一）教学重点
在操作、观察的基础上总结出直线平行的条件.
（二）教学难点
同位角的概念.
前置
作业
学生课前准备直尺，一副三角板，三根小木条，两颗钉子。
引
入
Ⅰ.创设现实情景，引入新课
［师］在日常生活中，人们经常用到平行线，那什么是平行线呢？
［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
［师］好，在上册书中，我们简单了解了平行线，下面我们来复习回顾一下.（展示课件——实物展示平行）
判断正误：
1.两条直线不相交，就叫平行线.()
2.与一条直线平行的直线只有一条.()
3.如果直线a、b都和直线c平行，那么a、b就互相平行.()
［生甲］第1句话是错的.只有在同一平面内的两条不相交的直线才是平行线.
新
课
讲
授
［师］大家拿出准备好的纸条，按如下方法来做一做
如图(1)所示，三根木条相交成∠1,∠2,固定木条b、c,转动木条a.
（1）（2）（3）（4）
图2－11
如图(2)，在木条a的转动过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？木条a何时与木条b平行？
(学生分组操作、讨论)
［生甲］(学生一边操作，一边叙述).先画一条直线，用一个三角尺的一边与这条直线重合，然后把第二个三角尺紧靠第一个三角尺，第二个三角尺不动，移动第一个三角尺，这样就可以画出与已知直线平行的直线.
用这种方法可以作：过已知直线外一点画它的平行线.
(图如下：AB∥CD,点P在CD上.)
看图：
图2－12
直线AB、CD与直线l相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线l所截)，构成八个角.∠1与∠2这两个角分别在直线CD、AB的上方，并且都在直线l的右侧，像这样具有位置相同的一对角称为同位角(correspondingangles),∠3与∠4也是同位角.
辨别同位角时要注意位置上的两个“同”字，在第三条直线的同旁，被截两直线的同方向.