第5讲 圆(教师版)(知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升)人教版

第5讲圆

圆

半径

圆的认识

圆心

圆的周长πd或2πr

直径

圆的面积

圆环的面积

πr 2

πR2－πr2或π(R2－r2)

知识点一：圆的认识

1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。

2. 一个圆有无数条半径，有无数条直径。圆有无数条对称轴。

3. 在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。

4. 在同圆或等圆中，r=1

2

d或d=2r。

知识点二：圆的周长及圆周率的意义

1.测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。

2.圆的周长除以直径的商是一个固定的数。我们把它叫做圆周率，用字母π表示。

3.圆的周长的计算公式：C=πd，C=2πr

知识点三：圆的面积公式的推导及应用

1.圆的面积计算公式是：S＝πr²

2.求圆的面积，要根据圆的面积计算公式来求。

3.圆环面积的计算方法：S＝πR2－πr2或S＝π(R－r)2。

4.“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。

5.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r2。

知识点四：扇形的认识

1.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；

2.顶点在圆心的角叫做圆心角；

3.扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。

考点一：圆的认识

【例1】（2017秋•龙华区期末）圆有无数条半径，圆半径的长度是它直径的一半；半圆有一条对称轴

【思路分析】根据轴对称图形的性质分析：一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义可知：圆有无数条对称轴，半圆有一条对称轴；

根据圆周率的含义：圆周率等于圆的周长和它直径的比值，用字母“π”表示；同圆中，圆的直径是半径的2倍；由此解答即可．

【规范解答】解：圆有无数条半径，圆半径的长度是它直径的一半；半圆有一条对称轴；

故答案为：无数，一半，一．

【名师点评】本题主要考查了轴对称图形的定义以及圆的基础知识．

1．（2018秋•武昌区期末）圆是一个轴对称图形，它有无数条对称轴．圆的周长与直径的比值，我们称之为圆周率．

【思路分析】根据圆的对称性和圆周率的定义直接填空即可．

【规范解答】解：圆是一个轴对称图形，它有无数条对称轴．圆的周长与直径的比值，我们称之为圆周率．

故答案为：无数，圆周率．

【名师点评】本题考查了圆的轴对称性和圆周率的意义．

2．（2019•衡水模拟）在一个长5厘米，宽3厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是 1.5厘米．

【思路分析】在这个长方形中画的最大圆的直径应等于长方形的宽，长方形的宽已知，从而可以求出这个圆的半径．

【规范解答】解：圆的半径：3÷2＝1.5（厘米）；

答：这个圆的半径是1.5厘米．

故答案为：1.5．

【名师点评】解答此题的关键是明白：在这个长方形中画的最大圆的直径应等于长方形的宽，据此即可逐步求解．

3．（2019•天津模拟）填空题：

（1）圆的直径是7cm．

（2）圆的半径是 3.5cm．

【思路分析】（1）由图可知，圆的直径的2倍等于长方形的长14cm，所以直径是14÷2＝7（cm）；

（2）根据圆的半径r＝d÷2计算即可．

【规范解答】解：（1）圆的直径是：14÷2＝7（cm）；

（2）圆的半径是：7÷2＝3.5（cm）．

故答案为：7cm，3.5cm．

【名师点评】此题考查了同圆中直径与半径关系的运用．

考点二：圆的周长及圆周率的意义

【例2】（2016•舟山校级模拟）李师傅想把3根横截面直径都是10厘米的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起（如图），捆一圈（接头处不计）至少需铁丝71.4厘米．

【思路分析】由图可知铁丝紧紧地捆绑一圈，最左边和最右边各一个半圆，上面的铁丝是2个直径，下面的铁丝是2个直径，所以总的长度实际上是由一个圆的周长加上4个直径的长度．

【规范解答】解：C＝πd，

＝3.14×10，

＝31.4（厘米）；

31.4+4×10，

＝31.4+40，

＝71.4（厘米）；

故答案为：71.4．

【名师点评】此题考查了学生的观察能力以及求圆的周长的方法．

1．（2014•海门市）把一个直径是4厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照图的样子拼起来，拼成的图形的周长比原来圆的周长增加4厘米．

【思路分析】由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，从而可知，这个长方形的周长比原来圆的周长多出了两个半径的长度，据此即可求解．

【规范解答】解：因为将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，

所以这个长方形的周长比原来圆的周长多出了两个半径的长度，即多出了一个直径的长度，也就是4厘米．

故答案为：4．

【名师点评】解答此题的主要依据是圆的面积推导过程．

2．（2012•福州）一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．则小圆的周长之和为20厘米．

【思路分析】根据题干：一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上，可知大圆的直径等于所有小圆的直径之和．根据圆周长公式可解决．

【规范解答】解：每个小圆的半径未知，但所有小圆直径加起来正好是大圆的直径．

大圆直径径为D，小圆直径为d1，d2，d3…，

大圆周长C＝πD，

小圆周长之和＝πd1+πd2+πd3…，

＝π（d1+d2+d3…），

＝πD；

所以所有小圆的周长之和等于大圆周长，即20厘米；

答：所有小圆周长之和是20厘米．

故填：20．

【名师点评】此题属于较复杂的圆周长的计算，解决本题的关键是所有的小圆都在大圆的一条直径上，即所有小圆的直径之和等于大圆的直径，理解了这一点，此题就非常简单了．

3．（2019•亳州模拟）从A到B，小红沿上面的大半圆走，走了15.7m；李明走沿下面的两个小半圆走，走了15.7m．

我发现：这两条路线的长度相等．

【思路分析】根据题意可知：小红走的路程等于半径为5米的圆周长的一半，李明走的路程是直径为5米的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd或C＝2πr，把数据代入公式求出他们走的路程进行比较即可．【规范解答】解：3.14×5×2÷2＝15.7（米）；