正定矩阵与性质

GTAn1GEn1.
令 则
G O C1O 1,|C1||G|0.
C1TAC1G O T
OAn1
1T
G O
annO 1
GT A Tn1
GTG
ann O
O 1GT A Tn G 1G
G aT n n ET nG 1
GT
ann
.
再令
.
15
C
2
E n1 O
G T
1
,| C 2 | 1 0 ,
a13 a23,L, a33
.
13
a11 L a1s
a11 L a1n
AsMMM ,L,An MMM A.
as1 L ass
an1 L ann
的行列式.
定理 实对称矩阵 A(aij)nn正定的充分必要条件 是其顺序主子式全大于零.
证明 必要性
设A是正定矩阵,则对于非零向量 Xi (x1,L,xi),
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.
证明 Q T A Q ,|Q T A Q | |Q T ||A ||Q |
|Q 1||A ||Q | |Q | 1 |A ||Q | |A | | |1Ln 0 .
.
4
例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 解
A
6 2 2
2 5 0
2
0 7
.
EA 6 2 2 6 2 2
.
6
例设A为n阶实对称矩阵,且满足 A 3 2 A 2 4 A 3 E O . 证明A为正定矩阵.
证明设 为A的特征值,则 32243为 A 3 2 A 2 4 A 3 E O 的特征值,故 322430,
.
7
3 22 433 122 42 (1)(2 1)2(1)2 (1)(2 3)0, 1.2 30,(1)2 12110.
230 无实根.A的特征值为1,n重故
A是正定矩阵.
.
8
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与 单位矩阵合同.
证明 充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可
逆矩阵C,使得 CTACE,对于任意向量X≠O,由于
C可逆,可从 CY解X出Y ≠O,于是
n
XTAXYTY yi20,
故A是正定的.
i1
定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的.
.
2
二、正定矩阵的充分必要条件
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数.
证明 设实对称矩阵A的特征值 1,L ,n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1,L ,n , 对于X O, 令Y Q1X,
即 X QY,显然 Y O, 又10,L,n0,故
fXTA X
n
(Q Y)TA Q YYT(Q TA Q )YYT Y iyi20.
这就证明了条件的充分性. .
i1
3
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有
AXX,
于是
X T A X X T X 0 ,X T X 0 ,故 0 .
XiTAiXiT(XiTO)AX Oi 0.
即Ai为正定矩阵,故其行.列式 A i 0 .
14
充分必要性.设矩阵A的所有顺序主子式>0.要证 明A是正定矩阵.用数学归纳法证明.n=1时显然:
a 110,x 10,a 11x 1 20.
设对于n－1结论成立.An-1正定,存在n-1阶非退化矩
阵G,使得
C
T 2
C
T 1
A
C
1C
2
E n1 TG
O 1
E
n T
1
G
G T a nn
E n1 O
G T
1
E n1
O
a nn
G T TG G
T
E n1 O
G T
1
E n1 O
a nn
O TG
G
T
E n1 O
O
d
.
d | A || C 1 |2 | C 2 |2 0 , .
16
令
C3E O n1 dO 1/2,|C3|d1/20.
R TA RQ TPTA PQQ TE QE,
R TB R为对角形.
.
11
例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换.
证明必要性设AB正定,则AB对称,
A B (A B )TB T A TB A .
充分性 设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正 定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC, CTBC是正定矩阵,特 征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.
X T P T P X (P X )T P X P X 2 0 .
设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩 阵,使得A=PTEP=PTP.
.
10
例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得 RTAR和RTBR同时为对角形.
证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交 矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则
2 5 0 2 5 0 2 0 7 2 0 7
.
5
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 2 12 35) 8( 6) ( 6)( 2 12 27) =( 3)( 6)( 9).
1 3,2 6,3 9.
必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对
称的,A合同于一个对角矩阵 ,,其对角线元素是
A的特征值 1,L ,n, 由于A是正定的,这些特征
值大于零,而这样的对角矩对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在 可逆矩阵P，使得A=PTP.
证明设A=PTP,P可逆.对于任意 X o,由于P可 逆,PX≠o,故 X o
正定矩阵 一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质
.
1
一、基本概念
定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非 零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次 型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵.
定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为 非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的， 其矩阵A 称为半正(负)定矩阵.
.
12
为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我们 引进
定义 给定实对称矩阵 A(aij )nn,
则其前s行前s列元素组成的行列式 A s|aij|ss,s1,L,n
称为A的顺序主子式.即
A 1(a11),A 2a a1 21 1
a a1 22 2,A 3a a a1 2 31 1 1
a12 a22 a32