高斯公式和斯托克斯公式

1、利用高斯公式计算曲面积分 1）求()22222

234I x dydz y dxdz z x y dxdy ∑

=

++-⎰⎰

，其中∑

为z =与2z =围成的立体的表面，取外侧。

解：利用高斯公式可得

()246I x y z dxdydz Ω

=++⎰⎰⎰

)2224

246x y dxdy x y z dz +≤=

++⎰⎰

()(()2

2

22424234x y x y x y

+≤⎡⎤=

++--⎢⎥⎣

⎦

⎰⎰

()()22

233

0022cos 4sin 123d r r r r dr π

θθθ⎡⎤=-++-⎣⎦⎰⎰ 20816cos sin 122433d πθθθπ⎛⎫

=++= ⎪⎝⎭

⎰ 2）利用高斯公式计算曲面积分

()()2

81214y xdydz y dxdz yzdxdy ∑

++--⎰⎰，其中∑是由

曲线()130

z y x ⎧=⎪≤≤⎨

=⎪⎩

绕y 轴旋转一周所成曲面，它的法向量与y 正方向夹角 恒大于

2

π

。 解：曲面∑为()2

2

113x z y y +=-≤≤，并取左侧。

作辅助曲面221:3

2y x z ∑=+≤，并取右侧，利用高斯公式可得

()()2

81214y xdydz y dxdz yzdxdy ∑

++--⎰⎰

()()()1

2814481214y y y dxdydz y xdydz y dxdz yzdxdy Ω

∑=+---++--⎰⎰⎰⎰⎰

())2

2

22223

23

10

2

2

1632232x z

x z x z dxdydz dxdz dxdz dz d r r dr ππθπ

++Ω

+≤+≤=-

-=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

⎰34π=

3）设函数()f u 由一阶连续的导数，计算曲面积分

()()222232113I f xy dydz f xy dzdx x z y z z dxdy y x ∑

⎛

⎫=-+++ ⎪⎝

⎭⎰⎰

式中∑时下半球面2

2

2

1(0)x y z z ++=≤的上侧。

解：添加辅助曲面221:01z x y ∑=+≤，并取下侧 利用高斯公式可得

()()()

2222222I yf xy yf xy x y z dxdydz Ω

''=--+++⎰⎰⎰

()()1222232113f xy dydz f xy dzdx x z y z z dxdy y x ∑⎛

⎫--+++ ⎪⎝⎭⎰⎰

()222I x y z dxdydz Ω

=-++

⎰⎰⎰12

2313x z y z z dxdy ∑⎛

⎫-++ ⎪⎝⎭⎰⎰

21

22002

2

sin 05d d d π

ππθϕρρϕρπ=--=-⎰⎰⎰

2、利用斯托克斯公式计算曲线积分

1）2

3ydx xzdy yz dz Γ

-+⎰ ，其中Γ是圆周2222x y z

z ⎧+=⎨=⎩，从Oz 轴正方向看去，Γ取逆时针方向。

解：∑取2242x y z ⎧+≤⎨=⎩

并取上侧

原式2

3dydz dzdx dxdy x y z y xz yz ∑

∂∂∂

=

∂∂∂-⎰⎰

()()()2224

33520x y z x dydz z dxdy z dxdy dxdy π∑

∑

+≤=+-+=-+=-

=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰

2）

32ydx zdy xdz Γ

++⎰ ，其中Γ为圆周2

224,0x

y z x y z ++=++=，从y 轴正方向看

去，这圆周是逆时针方向。 解：∑对应单位法向量为,, 原式3y z ∑

∂=

∂

4π

∑

===-