第一章机械优化设计的基本概念-PPT精选
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第章 优化设计的基本概念 ppt课件
xn
由n个设计变量 x1, x2 , , xn 为坐标所组成的实空间称作设计
空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。
设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n
维设计问题。
按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴
径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。
（1）抓主要，舍次要。 对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根
据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。
（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。
例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹簧 中径D，工作圈数n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪切应力 和 剪切模量Ｇ等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧 中径D作为设计常量。
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数， 称作设计变量，又叫做优化参数。
ppt课件
19
设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计
变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问
题。
x1
x
x2
[ x1 ,
x2
,
, xn ]T
实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体 积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐 和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计， 并大大提高设计效率。
ppt课件
10
3. 本课程的任务
优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具。
基础：（1）最优化数学理论 （2）现代计算技术
机械优化设计PPT课件
ⅱ)设计方案—由设计常量和设计变量组成。
ⅲ)维 数—设计变量的个数n.
通常,n ,设计自由度 , 越能获得理想的结果,但求解难度 .
n 10 小型问题 n 11 50 中型问题 n 50 大型问题
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2.设计空间
Rn(n 4) 为超越空间.
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三.目标函数和等值线
1.目标函数—数学模型中用来评价设计方案优劣的函
数式 (又称评价函数): f (X ) f (x1, x2,...xn ) ①常用指标: 最好的性能; 最小的重量; 最紧凑的外形;
最小的生产成本; 最大的经济效益等.
②单目标和多目标；
l1 l2 l3 l4 0
l1 l10 0
arccos (l2 l1)2 l42 l32 arccos (l2 l1)2 l42 l32 0
2(l2 l1)l4
2(l2 l1)l4
180
l12
l22
2l32 sin 2 ( l22 l12
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3.算法的收敛性和收敛准则
1)算法的收敛性
若由某迭代算法计算得到
有极限 lim X (k) X *,这里X *为精确解,则称该迭代算法是 k
收敛的.
2)算法的收敛速度
一般根据算法对正定二次函数的求解能力来判 断，能在有限步迭代中得到其极小点，称算法具有 二次收敛性。具有二次收敛性的算法是收敛速度较 高的方法。
1）二十世纪三十年代.前苏联 Канторович 根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题. 在 第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出线性规划 问题的解法；
ⅲ)维 数—设计变量的个数n.
通常,n ,设计自由度 , 越能获得理想的结果,但求解难度 .
n 10 小型问题 n 11 50 中型问题 n 50 大型问题
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2.设计空间
Rn(n 4) 为超越空间.
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三.目标函数和等值线
1.目标函数—数学模型中用来评价设计方案优劣的函
数式 (又称评价函数): f (X ) f (x1, x2,...xn ) ①常用指标: 最好的性能; 最小的重量; 最紧凑的外形;
最小的生产成本; 最大的经济效益等.
②单目标和多目标；
l1 l2 l3 l4 0
l1 l10 0
arccos (l2 l1)2 l42 l32 arccos (l2 l1)2 l42 l32 0
2(l2 l1)l4
2(l2 l1)l4
180
l12
l22
2l32 sin 2 ( l22 l12
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3.算法的收敛性和收敛准则
1)算法的收敛性
若由某迭代算法计算得到
有极限 lim X (k) X *,这里X *为精确解,则称该迭代算法是 k
收敛的.
2)算法的收敛速度
一般根据算法对正定二次函数的求解能力来判 断，能在有限步迭代中得到其极小点，称算法具有 二次收敛性。具有二次收敛性的算法是收敛速度较 高的方法。
1）二十世纪三十年代.前苏联 Канторович 根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题. 在 第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出线性规划 问题的解法；
《机械优化设计》第一章 优化设计概述
f ( x) W1 f1 ( x) W2 f2 ( x) ... Wq f q ( x)
Wq：加权因子，是个非负系数。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
求设计变量 x [ x1 x2 xn ]T , xn ) min , l) 使目标函数f ( x) f ( x1 , x2 , 和g j ( x) 0( j 1, 2, , m)
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
FL F ( B 2 h ) 钢管所受的压力F1 h h 2 EI 压杆失稳的临界压力Fe 2 L 其中，I是钢管截面惯性矩 I
1 2 2
θ
θ
L
A 2 (T D 2 ) 4 8 A是钢管截面面积A ( R 2 r 2 ) TD (R4 r 4 ) r和R分别是钢管的内半径和外半径 D=r+R而T=R-r
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
优化设计的维数：设计变量的数目称为优化设计的维数，如 有n(n=1，2，…)个设计变量，则称为n维设计问题。
任意一个特定的向量都可以说是一个“设计”。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
设计空间：由n个设计向量为坐标所组成的实空间称作设计 空间。 一个“设计”，就是设计空间中的一个点，这个点可以看 成是设计变量向量的端点（始点是坐标原点），称这个点式 设计点。 设计空间的维数（设计的自由度）：设计变量愈多，则设计 的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度 亦愈大、求解亦愈复杂。 • 含有2—10个设计变量的为小型设计问题； • 10—50个为中型设计问题； • 50个以上的为大型设计问题。
机械优化设计方法ppt课件
目标函数的一般表示式为：
f (x) f (x1, x2,...xn )
23
优化设计的目的就是要求所选择的设计变
量使目标函数达到最佳值，即使 f (x) Opt
通常 f (x) min
单目标设计问题
目标函数
多目标设计问题
目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个 复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即
f (x) W1 f1(x) W2 f2 (x) ... Wq fq (x)
24
四、优化问题的数学模型
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数 学抽象。 优化设计问题的一般数学表达式为：
min f (x) x Rn
s.t. gu (x) 0 u 1, 2,..., m
hv (x) 0 v 1, 2,..., p n
4
图1－3 机械优化设计过程框图
5
优化设计与传统设计相比，具有如下三个特点：
(1)设计的思想是最优设计； (2)设计的方法是优化方法； (3)设计的手段是计算机。
二、机械优化设计的发展概况
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ优化设计的应用领域 近几十年来，随着数学规划论和电子计算机的迅 速发展而产生的，它首先在结构设计、化学工程、 航空和造船等部门得到应用。
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
11
图2-2 人字架的受力
12
人字架的优化设计问题归结为：
x D H T 使结构质量
mx min
但应满足强度约束条件 x y 稳定约束条件 x e
13
1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h
25
f (x) f (x1, x2,...xn )
23
优化设计的目的就是要求所选择的设计变
量使目标函数达到最佳值，即使 f (x) Opt
通常 f (x) min
单目标设计问题
目标函数
多目标设计问题
目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个 复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即
f (x) W1 f1(x) W2 f2 (x) ... Wq fq (x)
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四、优化问题的数学模型
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数 学抽象。 优化设计问题的一般数学表达式为：
min f (x) x Rn
s.t. gu (x) 0 u 1, 2,..., m
hv (x) 0 v 1, 2,..., p n
4
图1－3 机械优化设计过程框图
5
优化设计与传统设计相比，具有如下三个特点：
(1)设计的思想是最优设计； (2)设计的方法是优化方法； (3)设计的手段是计算机。
二、机械优化设计的发展概况
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ优化设计的应用领域 近几十年来，随着数学规划论和电子计算机的迅 速发展而产生的，它首先在结构设计、化学工程、 航空和造船等部门得到应用。
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
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图2-2 人字架的受力
12
人字架的优化设计问题归结为：
x D H T 使结构质量
mx min
但应满足强度约束条件 x y 稳定约束条件 x e
13
1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h
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机械优化设计课件2
用如下二维问题来说明有约束优化问题的几何解释 可知该问题的最优点为目标函数等值线 与可行域边界 g2 ( x) 0 的切点
( x1* , x2* ) (1.34,0.58)
* * 最优值为: f ( x1 , x2 ) 3.8
该问题的目标函数及等值线
该问题的设计空间及可行域
有约束的二维优化问题极值点所处位置的不同情况:
等式约束
---要求设计点同时在n维设计空间l个约束曲面上
不等式约束
---要求设计点在设计空间约束曲面的一侧(包括曲面本身)
在设计空间中,满足所有约束条件的区域称为可行域。
在设计空间中,至少不满足一个约束条件的区域称为非可行域。 可行域可记为： D x g j ( x) 0 ( j 1, 2,
在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改善的方向自动调整，最 后求得F(X)值最好或最满意的X值。
在实际优化问题中，对目标函数有两种要求形式
目标函数极小化 目标函数极大化
等价
所以，今后优化问题的数学表达一律采用目标函数的极小化形式
目标函数在设计空间的图像描述
一般地，n维目标函数可以在n+1维空间中描述其图像。 为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面的方法。其数学表达式：
1、
2、
采用作图法进行人字架的优化设计
3、数值迭代法（数学规划法）：
xk
k 从一个初始设计 x 出发，按如下迭代公式：
x k 1 x k x k k 1 x 得到一个改进的设计 。
（ x k ——修改量）
k 在这类方法中，许多算法是沿着某个搜索方向 ，以适当步长 k 的方式 d k 实现对 x 的修改，以获得x k 的值。
第一章 机械优化设计的基本问题PPT课件
10d D 0 或 10d0.62831805
n
n
该问题属于二维约束问题
12
1.1.3连杆机构优化设计
由图所示六杆机构。它是铰链四杆机构ABCD和带有 滑块5的摆杆6由连杆BE连接而成的。原动件AB逆时 针转动使从动件6绕P点往复摆动。机架AD水平置放， F点已选定。 要求： 当原动件AB转角φ0在180—300o范围内， 摆杆6处于LM位置不动， 即从动件摆杆产生间歇运动。
单价c与螺栓材料，直径d，长度l及加工状况有关。本组 螺栓取35号钢，长度l=50mm的六角头半精制螺栓，单 价见下表
直径d （mm)
单价c （元）
10 0.052
12 0.091
14 0.142
16 0.174
18 0.228
20 0.251
9
由表中数据初步画C=f(d)曲线，由下图线形回归法求得 方程：
表a，每小时生产零件利润量
零件种类
机器序号
1
2
3
4
1
5
6
4
3
2
5
4
5
4
3
6
7
2
8
表b，各机器生产零件速率
零件种类
机器序号
1
2
3
4
1
8
2
4
9
2
7
6
6
3
3
4
8
5
2
19
解：为获利润最大，需合理确定每台机器生产某种零件
若干，设xij表示第j台机器生产第i中零件的件数。
一个月内获总利润： W 5 x 1 16 x 1 24 x 1 33 x 1 45 x 2 14 x 2 25 x 2 34 x 24 6 x 3 17 x 3 22 x 3 38 x 34 且要满足以下约束条件： （1）数量需求限制
机械优化设计的基本概念和数学模型PPT课件
.
大齿轮强度要求 小齿轮强度要求 接触疲劳强度要求 齿宽系数要求 最小齿数要求
11
综上所述，这些问题的共同点都是：
在满足设计要求和条件的情况下，使目标的参数达 到最优，即最优参数。
一个优化设计问题应包括： 合理选择一组独立的参数——设计变量； 有一个或几个需要满足最佳的设计目标，它是设 计变量的函数——目标函数； 所取设计变量必须满足一定的限制条件—约束条件。
（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。
例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢
丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设
计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量Ｇ等作为设
计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中
径D作为设计常量。
.
17
（3）设计变量应该是独立的；
（4）用设计变量来阐述设计问题应该是用 最少的数量；
小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；
中型设计问题：10—50个设计变量；
大型设计问题：50个以上的设计变量。
目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问
题。
.
16
如何选定设计变量？
确定设计变量时应注意以下几点：
（1）抓主要，舍次要。 对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，
影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至 可以不考虑。
.
3
实例1、箱盒的优化设计（续）
分析：
（1）箱盒的表面积的表达式；
（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3 ； （3）设计约束条件：
（a）体积要求； （b）长度要求；
x2 x1
x3
.
4
数学模型
设计参数： x1, x2, x3
大齿轮强度要求 小齿轮强度要求 接触疲劳强度要求 齿宽系数要求 最小齿数要求
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综上所述，这些问题的共同点都是：
在满足设计要求和条件的情况下，使目标的参数达 到最优，即最优参数。
一个优化设计问题应包括： 合理选择一组独立的参数——设计变量； 有一个或几个需要满足最佳的设计目标，它是设 计变量的函数——目标函数； 所取设计变量必须满足一定的限制条件—约束条件。
（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。
例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢
丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设
计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量Ｇ等作为设
计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中
径D作为设计常量。
.
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（3）设计变量应该是独立的；
（4）用设计变量来阐述设计问题应该是用 最少的数量；
小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；
中型设计问题：10—50个设计变量；
大型设计问题：50个以上的设计变量。
目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问
题。
.
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如何选定设计变量？
确定设计变量时应注意以下几点：
（1）抓主要，舍次要。 对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，
影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至 可以不考虑。
.
3
实例1、箱盒的优化设计（续）
分析：
（1）箱盒的表面积的表达式；
（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3 ； （3）设计约束条件：
（a）体积要求； （b）长度要求；
x2 x1
x3
.
4
数学模型
设计参数： x1, x2, x3
机械优化设计NO.ppt
4、作图求出问题的最优解
问题的实质：在可行域内，求使目标函数值为最小
的点及该点的函数值
X
f
(
X
)
最优解：Xf
[x1 , x2 ]T f (X )
T
[1.4142,1.4142] 0.6863
24
x2
f (X ) (x1 2)2 (x2 2)2 ( Ci )2
（如: P13飞剪机剪切
f1(X ) f2 (X )
f1 (x1, f 2 (x1,
x2 x2
xn ) xn )
机构的优化问题）
f q ( X ) f q (x1, x2 xn )
q
f (X ) f j (X ) q _ 追求的目标数目
j 1
q
f (X ) j f j (X ) j 1
g1( X ) 0 X (2)
X (4)
X (3)
D
g4(X) 0
h1 ( X ) 0
g3(X ) 0
x1
边界点：X (2)
例：一个二维问题的可行域
13
五、目标函数的等值线（面）
等值线（面）： 具有相同目标函数值的点集在设计空
间形成的曲线和曲面
F(x)
① 一维问题(n =1)：
目标函数是一维函
3
hv (X ) 0
2
x
2
X
1
g1(X ) x1 0
D
g3 ( X ) x12 x22 4 0
g2 (X ) x2 0
O
1
x1
2
问题的实质：在可行域内，求使目标函数值为最小
的点及该点的函数值
X
f
(
X
)
最优解：Xf
[x1 , x2 ]T f (X )
T
[1.4142,1.4142] 0.6863
24
x2
f (X ) (x1 2)2 (x2 2)2 ( Ci )2
（如: P13飞剪机剪切
f1(X ) f2 (X )
f1 (x1, f 2 (x1,
x2 x2
xn ) xn )
机构的优化问题）
f q ( X ) f q (x1, x2 xn )
q
f (X ) f j (X ) q _ 追求的目标数目
j 1
q
f (X ) j f j (X ) j 1
g1( X ) 0 X (2)
X (4)
X (3)
D
g4(X) 0
h1 ( X ) 0
g3(X ) 0
x1
边界点：X (2)
例：一个二维问题的可行域
13
五、目标函数的等值线（面）
等值线（面）： 具有相同目标函数值的点集在设计空
间形成的曲线和曲面
F(x)
① 一维问题(n =1)：
目标函数是一维函
3
hv (X ) 0
2
x
2
X
1
g1(X ) x1 0
D
g3 ( X ) x12 x22 4 0
g2 (X ) x2 0
O
1
x1
2
机械优化设计第1章概述-PPT精品文档
50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优 化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界 大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规 划是其主要内容。
最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是 6O年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的 设计方法。
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第一章 优化设计的基本概念
§1-1 绪论
Evaluation only. §1-2 优化设计问题的示例 eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. §1-3 优化设计的数学模型
第三阶段 工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给 Evaluation only. 解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发 了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任 eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 直觉的方法得到了更多的应用。
机械优化设计
机械工程系 吴军 2009.8
Evaluation only. eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
机械优化设计概述(PPT共 95张)
求：在钢管压应力 不超过
和失稳临界应力
e
y
条件下，
使质量m最小的高度h和直径D？
第一章 优化设计概述
1.1 最优化问题示例 例1-1 人字架的优化设计
解：（1）钢管满足的强度与稳定条件
钢管所受压力
2 FL F (B h ) F 1 h h 1 2 2
2 EI 压杆临界失稳的临界力 Fe L2
A 2 T D2 8
第一章 优化设计概述
1.1 最优化问题示例 例1-1 人字架的优化设计 强度约束条件： y 稳定约束条件： e
F B h TDh
2
1 2 2
y
FB h
2
1 2 2
T D h
2 2ET2 D 2 2 8B h
使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优解成为 使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进行；
使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能；
使零缺陷（废品）设计成为可能；
大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量；
大大提高了生产效率，降低了产品开发周期。
绪论
2 机械的设计方法 实际案例：
2 r i arccos i
2 2 r l l 2 l l i 1 4 1 4cos i
2
2
第一章 优化设计概述
1.1 最优化问题示例 例1-3 平面连杆机构的优化 解：（2）约束条件
g 1 l1 l 2 0 g 2 l1 l 3 0 g 3 l1 l 4 l 2 l 3 0 g 4 l1 l 2 l 3 l 4 0 g 5 l1 l 3 l 2 l 4 0 l 22 l 32 l 1 l 4 2 g 6 arccos 2 l2l3 max 0
第一章机械优化设计的基本问题new
产品单位价格为PB 万元。每生产一个单位A 产品需消耗煤aC 吨，
•所谓优化, • 是指在一定条件下力求获得最优结果的思想与观念。
优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一 项新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或“自动 探索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现 有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。
PPT文档演模板
第一章机械优化设计的基本问题new
•节能
•曲柄均方根扭矩 最小
第一章机械优化设计的基本问题new
优化设计的优点
1.保证产品具有优良的性能 2.减轻自重或体积，降低产品成本 3.使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来， 使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设 计效率。
PPT文档演模板
第一章机械优化设计的基本问题new
•
（a）体积要求；Biblioteka •（b）长度要求；
•
•x2 •x1
•x
PPT文档演模板
3
第一章机械优化设计的基本问题new
•数学模型
•设计变量： •设计目标：
•约束条件：
•x2 •x1
•x
3
PPT文档演模板
第一章机械优化设计的基本问题new
•最大产值生产资源分配问题
•
某工厂生产A 和B 两种产品，A 产品单位价格为PA 万元， B
3. 本课程的任务
优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具。
• 基础：（1）最优化数学理论
•
（2）现代计算技术
• 内容：（1）将工程实际问题数学化；
•
（建立优化设计数学模型）
•
（2）用最优化计算方法在计算机上求解
机械优化设计(张翔,陈建能编著)PPT模板
2.6优化设 计的约束极
值条件
2.4函数的 凸性
2.5目标函 数的无约束
极值条件
2.1本章导 读
2.2向量、 矩阵的若干
概念
2.3目标函 数的性态分
析基础
第2章优化设计的 理论基础
2.7优化设计的数值解法及终止 准则 2.8习题
第3章一维优化 方法
第3章一维优化方 法
3.1引言 3.2确定搜索区间的进退法 3.3黄金分割法 3.4二次插值法 3.5习题
第9章优化设计实例
9.1复演预期函数机构的
1
设计
9.2圆柱齿轮减速器的优
化设计
2
9.3圆柱螺旋压缩弹簧的
3
优化设计
9.4椭圆齿轮-曲柄摇杆-
轮系引纬机构的设计
4
9.5手脚联控机构的多目
5
标优化设计
9.6应用的扩展——两个
非工程设计的应用实例
6
第9章优化设计实 例
9.7习题
参考文献
参考文献
附录混合罚函数优化 程 序 与 M AT L A B 使 用 示例
附录混合罚函数优化程序 与 M AT L A B 使 用 示 例
F1混合罚函数调用Powell法求 优参考程序
F 2 M AT L A B 优 化 工 具 使 用 示 例
2020
感谢聆听
换
05
7.5优化计 算结果的分
析
03
7.3建模中 数表和图线
的程序化
06
7.6习题
第8章现代优化计算 方法与优化工具软件 应用概述
第8章现代优化计算方法与优化 工具软件应用概述
8.1现代优化计算方法 8 . 2 M AT L A B 优 化 工 具 应 用 概 述 8.3习题
哈工大孙靖民机械优化设计总复习PPT课件
F L x2
F xn
]T x
0
即在极值点处函数的梯度为n维零向量。
12
2. x *处取得极值充分条件
2F
x12
2F
2
F
(
x*
)
x2x1
M
2F
xnx1
2F x1x2 2F
x22 M 2F xnx2
L
2F
x1xn
2 f X k 2 f X k
2
x12 fX
k
H
X k
2 f
Hale Waihona Puke X k
x2x1
2 f X k
xnx1
x1x2
2 f X k
x22
2 f X k
是设计变量的函数。
约束条件的分类 （1）根据约束的性质分 边界约束 直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即
ai xi bi i ＝ 1,2, ···，n
性能约束 由结构的某种性能或设计要求，推导出 来的约束条件。
4
（2）根据约束条件的形式分
不等式约束
gu X 0
等式约束
u=1,2, ···，m
函数的等值面（线）是用来描述、研究函数的整体性质的。
二 函数的最速下降方向 f
梯度
x1
f
X
f
x2 f
f X
x1
f X
x2
xn
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D(mm)
§1.2 优化设计的基本概念
• 数学模型
用一组设计变量描述优化设计对象的 设计内容,即描述优化意图(目标、指标)和 有关限制条件的数学表达式，称为优化 设计的数学模型。
• 数学模型的三要素
设计变量、约束条件、目标函数
• 设计变量 基本设计参数
设计变量 设计常量
优化问题的维数：设计变量的个数
用来使设计得以优化的函数，或可以 评价设计方案好坏的函数。它是评价设 计方案优劣的依据和标准或指标。实际 上它是反映优化意向的关于设计变量的 数学表达式。
为规范化，通常规定求目标函数的 极小值，即
m in f(X ) f(x 1 x 2 x n )
单目标优化（标量优化）：1个目标函数 多目标优化（向量优化）：2个或2个以上
一维优化问题，n维优化问题 设计变量向量： X[x1 x2
或 X Rn 连续设计变量、离散设计变量
xn]T
• 约束条件
1. 设计空间 它是所有设计方案的集合。
2. 可行设计与不可行设计 有些设计方案有些是工程上所不能接
受的。如果一个设计方案满足所有对它提 出的要求，就称为可行设计，反之称为不 可行设计。 3. 约束条件 4. 一个可行设计必须满足的设计限制条 件。
4. 约束分类 按约束性质： 性能约束、边界约束 按数学表达式： 等式约束 h k(X ) 0 (k 1 ,2 , ,m ) 不等式约束 gj(X )0 (j 1 ,2 , ,l)
5. 可行域与非可行域
满足所有约束条件的设计点 的集合— —可行域D
可行域之外的区域——非可行域 D
• 目标函数——f (X)
机械优化设计
太原科技大学 张学良
第一章 优化设计的基本概念
在优化设计中，通常是根据分析对象 的设计要求，应用有关专业的基础理论 和具体技术知识进行推导来建立相应问 题的优化数学模型。对于机械结构的优 化设计，则主要是根据力学、机械设计 的基础知识、各专业机械设备的具体知 识等来建立机械优化设计的数学模型， 这些数学模型反映机械结构诸参数之间 的内在联系，通过它可以研究各参数对 设计对象工作性能的影响。
§1.1 机械优化设计问题举例
空心等截面管支柱的优
F
化设计:
F=22680N
h=2540mm 材料：铝合金
E=7.03×104MPa
h
=2768Kg/m3
D
[]=140MPa
D89mm 1mm
管支柱质量：
m h D 0 .0 2 2 D (1 )Biblioteka 正常工作条件:目标函数
f(X ) [f 1 (X )f 2 (X ) f m (X ) ] T
• 优化问题的数学模型
min f(X) XRn s.t. gj(X)0 (j 1,2, ,l)
hk(X)0 (k1,2, ,m)
• 优化问题的最优解
最优点 最优值
X *[x1 * x2 *
xn *]T
f * f (X*)
强度条件 F [] D
51.6D 0 (2)
稳定条件 F Dc 82hE 2 D2
537000D 30 (3)
边界条件 0D89 (4)
1 (5)
(mm)
5
(3)
m=2.722
(2)
3
m=1.788
1
D*=81.28mm *=1mm
m
20 40 60 80 100