等比数列前N项和的性质知识讲解

例题讲解
4、若等 {an}的 比公 数 1 3， 比 列 a1且 为 a3a99 6,0
则 {an}的1前 0 项 0 和 80 为 。
解： 令 S 奇 a 1 a 3 a 9 9 60
S 偶 a 2a 4 a 100
由则 等 S100比 S奇 数 nS项 偶列 和前 性S质 偶知 q1：
化简S到 n1 3： 3n2a
1 3
2a
0
a 1 6
探究二：
我们知道，等差数列有这样的性质：
如 a n 果 为等 ， 则 差 S k,S 2 数 kSk,S 列 3 kS 2 k也成等
新的等差数列 Sk， 首 公项 差k为 为 2d。
那么，在等比数列中，也有类似的性质吗？ 怎么证 明？
等比数列前n项和的性质二：
法
二
：
根据题意S10，S20－S10，S30－S20成等比数列 → S10＝10，S20＝30 → S30
例题讲解
【解】 法一：设公比为 q，则
a111－－qq10＝10 a111－－qq20＝30 ② ② ①得 1＋q10＝3，∴q10＝2，
①
a1 10 1 q
例题讲解
∴S30＝a111－－qq30＝70. 法二：∵S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， ∴S30－S20＝S30－30＝30－10102， 即 S30＝70.
课后作业
书上第62页，习题2.5 B组，第2题、第5题。
5 、在{a 等 n} 中 a 比 1 ， a n 数 6， 6 a 2列 a n 1 1， 2 前 n 项 S n 和 1， 2n 6 及 求 q 公 。比
解： a1ana2an 1128
又a有 1an 66
两式联立解得：
a1 an
2 6
等差数列前n项和的性质：
① 数列{an}是等比数列 SnAnq -A(A0)
② an为等 比 Sk,S数 2kSk列 ,S3kS2k也成等
且新等比数列S首 k，公 项比 为q为 k。
③ 若等比 an共 数 2n 有 项 列，则：
S偶 q S奇
④ 如 a n 为 果公 q 的比 等 ， 对 为 m 比 、 p N 数 有 ： 列 Smp SmqmSp
如 a n 果 为等 ， 比 S k,则 S 2 数 kS k,S 列 3 kS 2 k也成等
新等比数列S首 k，公 项比 为q为 k。
例题讲解
例2 已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10， 前20项和S20＝30，求S30.
【 思 路 点 拨 】 法 一 ： 设公比为q
→ 根据条件列方程组 → 解出q → 代入求S30
4或aa1n
64 2
显然， q1。
例3、等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，求 S4.
[提示] 本题应用等比数列的性质求S4更简捷．
[解] 法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1， a11＋q＝7，
∴a111－－qq6＝91. ∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91. ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. ∴S4＝28.
S偶 20
S奇
3
即S1 ： 0 0S偶 S奇 80
变式训练
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
提示： q S偶 170 2 S奇 85
SnS偶 S奇 17 8 0 5255
由等比数列n前 项和公式得：
255 1 2n 1-2
n8
法二：设数列{an}的公比为q， ∵S2＝7，S6＝91， ∴aa11＋ ＋aa22＝ ＋7a， 3＋a4＋a5＋a6＝91. ∴a71＋＋7aq22＝＋77，q4＝91. ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7(1＋3)＝28.
法三：∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列． 即7，S4－7,91－S4成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)． 解得S4＝28或－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝7(1＋q2)＞0， ∴S4＝28.
则S： n An q-A
相反
数
等比数列前n项和的性质一：
数列{an}是等比数列 Sn Aqn - A
(A 0,q 1, q 0)
例题讲解
1 、若{a 等 n}的 n 比 项 前 S n 数 和 4 n 列 a ， a 的 求值
提示： SnAnq -A(A0)
系数和常数互为相反数
变式练习
a1
1 、若{a 等 n} 的 n 项 比 前 S n 和 数 3 n 1 2 列 a ， a 的 求值
1 an A.
1 a
No 1 a n1
B. 1 a
C.1 a n1 D.以上均不正确 1 a
Image
2 . 求 a - 1 a 2 和 - 2 .. a . n - n . ..
探究一：
Sn
a1
a1qn 1-q
Sn
a1 qn 1-q
a1 1-q
这个形式和等比 数列等价吗？
令A a1 0 1-q
AX.Z2YB .Y Y Z Z Z X
C.Y2 XZ D .Y Y X X Z X
等比数列前n项和的性质三：
若等比 an共 数 2n 有 项 列，则：
S偶 q S奇
怎么证 明？
等比数列前n项和的性质四：
如 a n 为 果公 q 的比 等 ， 对 为 m 比 、 p N 数 有 ： 列 Smp SmqmSp
2.5.2等比数列的前n项和的性质
复习
1、等比数列前n项和公式:
Sn
na1 a1(1
qn
)
1-q
q 1，
或
q 1。
Sn
na1 a1
anq
1-q
2、数学思想：分类讨论，整体代入法。
q 1， q 1。
3、两个求和方法： (1)分组转化求和法； (2)错位相减求和法；
课前练习
1 、 1 ， a 数 ， a 2 ， ， a 列 n 1 ， 的 n 项 前 (D 和 )
变式训练
1 、等{a 比 n}的数 n项 前列 和 Sn， 为 S1若 0 2， 0 S2 08， 0 S3则 0 260 。 2、等比数 {an}列 的前 n项和S为 n，若 SS63 3， 求S9的值。
S6
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Zห้องสมุดไป่ตู้则下列等式中恒成立的是（ D）