初中数学圆的切线的证明

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圆的切线的证明

一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直

例1．AB 是

O 的直径，AB AC ，BC 交⊙O 于P Q ，是AC 的中点．求证：QP 是⊙O 的切线．

分析：本例中，要证明“QP 是⊙O 的切线”，因为

P 在⊙O 上，如果结论成立，则点P 肯定是切点，所以只要连接

OP ，证明OP PQ 即可．证明：连接OP ，PA ，

AB 是⊙O 的直径，90APB ∴．在Rt APC △中，Q 是AC 的中点，

PQ

AQ ∴，QAP QPA ∴．又OP OA ，OAP QPA ∴，OAQ QPO ∴．AB AC ，OP PQ ∴．QP ∴是⊙O 的切线．

二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径

例2．直角梯形ABCD 中，

以腰CD 为直径的⊙1O 恰与另一腰AB 相切，求证：以腰AB 为直径的⊙2O 也与腰

CD 相切．分析：要证明以腰

AB 为直径的⊙2O 与腰CD 相切，因为⊙2O 的半径是AB 的一半，由切线的定义可知，

CD 如果与⊙2O 相切，则2O 到CD 的距离应等于半径12AB ，所以过2O 作2O E CD ，证明212

O E AB 即可．证明：过1O 作12

O O AB ，则22O A O B ，作21DF O O 于F ，作2O E CD 于E ，

AB 与⊙1O 相切，12

1O O O D ∴．211211Rt Rt O O E

DO F O O E DO F ，∴△≌△，2O E

DF ∴．2DF O A ，21

2O E AB ∴，∴以腰AB 为直径的⊙2O 也与腰CD 相切．A B C

Q P O A B C D E F 1O 2O