2模拟滤波器的设计

(3) 频率归一化
由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有
的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一
化后的Ha(s)表示为
1
Ha (s) N 1
(
s
sk )
k 0
c
c
式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。
令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；令 p = jλ= jΩ/Ωc ， p 称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为
pk e 2 2N , k 0,1, , N 1
Ha ( p)
b0
b1 p
1 bN 1 p N 1
pN
(3) 将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器 传输函数Ha(s)。
Ha (s) Ha ( p) p s c
例： 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带 截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指 标设计巴特沃斯低通滤波器。
10s
10
c
s (10s
10
1
1) 2N
通常是用一个算出Ωc，然后用另一个(反过来)来检 验。
总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：
(1) 根据技术指标Ωp,p,Ωs, s，求出滤波器的阶数N。
N lg ksp
lg sp
(2) 求出归一化极点pk，得到归一化传输函数Ha(p)。
j ( 1 2k 1)
s 20 lg
Ha (e j0 ) Ha (e js )
dB 20 lg Ha (e js ) dB
Ωc称为3dB截止频率：
Ha ( jc )
2 0.707 2
20 lg Ha ( jc ) 3dB
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函 数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s ，一般滤波器的单位冲激响应为实数，有：
j 6
s3 e 5
1 Ha( p) 4
( p pk )
k 0
上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在 一起，形成因式分解形式。不如直接查表简单，由N=5，直接 查表得到：
极点：-0.3090±j0.9511、-0.8090±j0.5878、 -1.0000
Ha( p)
p5 b4 p4
1 b3 p3 b2 p2
令 ：sp
s p
,
ksp
10 p 101 10s 101
N lg ksp
lg sp
用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。
关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出， 可以按照下面两式求出：
1
p c
2N
10 p
10
c
p (10 p
10
1
1) 2N
1
s c
2 N
第二节 模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成 熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如：
1) 巴特沃斯(Butterworth)滤波器 2) 切比雪夫(Chebyshev)滤波器 3) 椭圆(Ellipse)滤波器 4) 贝塞尔(Bessel)滤波器 这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线 和图表供设计人员使用。
1
p c
2N
10 p
10
将=s代入幅度平方函数中:
Ha(
j s
)
2
1
1
s c
2N
s 20 lg Ha (e js ) s 10 lg Ha (e js ) 2
1
s c
2N
10s
10
1
p c
2N
10 p
10
2N
1
s c
10s 10
p s
N
10 p 10 1 10s 10 1
1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法
模拟低通滤波器的设计指标有p, Ωp, s和Ωs。 Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率， p是通带Ω(0~Ωp)中的最大衰减系数 s是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数
p 20 lg
Ha (e j0 ) Ha (e j p )
dB 20 lg Ha (e j p ) dB
pN
归一化的传输函数系数Ha (p) 的系数以及极点可以查表得到。
表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数
(4)阶数N的确定
阶数N的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该 由技术指标确定。将=p代入幅度平方函数中:
Ha(
j
p)
2
1
1
p c
2N
p 20 lg Ha (e j p ) p 10 lg Ha (e j p ) 2
将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：
Ha(s)Ha(s) 1 (
1 s
)2N
jc
上式表明，极点sk用下式表示：
1
j ( 1 2k 1)
sk (1)2N ( jc ) ce 2 2N
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N
个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。
Ha ( j ) 2 Ha ( j )Ha*( j )
Ha (s)Ha (s) s j
2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法
(1) 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2 用下式表示：
Ha(
j
)
2
1
1
c
2N
N越大，越接近理想滤波器， N越大，滤波器的实现也越复杂。
(2)幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成
解： (1) 确定阶数N：
100.1ap 1 ksp 100.1as 1 0.0242
sp
2 2
fs fp
2.4
N lg 0.0242 4.25, N 5 lg 2.4
(2) 求极点：
j 3
s0 e 5 ,
s2 e j ,
j 7
s4 e 5
归一化传输函数为
j 4
s1 e 5
Ha(s)的表示式为
Ha(s)
cN
N 1
(s sk )
k 0
设N=3，极点有6个，它们分别为
jห้องสมุดไป่ตู้2
s0 ce 3 s1 c
j 2
s2 ce 3
j1
s3 ce 3 s4 c
j 1
s5 ce 3
取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：
Ha(s)
3 c
j 2
j 2
(s c )(s ce 3 )(s ce 3 )
Ha ( p) N 1 1
( p pk )
k 0
式中，pk为归一化极点，用下式表示：
j ( 1 2k 1)
pk e 2 2N , k 0,1, , N 1
带入Ha(p)表达式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式， 用下式表示：
Ha ( p)
b0
b1 p
1 bN 1 p N 1