最新北师大版高中数学必修一函数的单调性教案(精品教学设计)

函数的单调性
设计老师：贵溪市实验中学郑美兰
教学年级：高一年级课程
学科：数学
版本：（北师大版）高一（必修1）
【三维目标】
1.知识与技能
(1)了解单调函数、单调区间的概念，能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思, 并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间。

(2)启发学生能够发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题的能力和创造地解决问题的能力。

(3)通过对气温变化图进行观察——猜想——推理——证明，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

2.过程与方法：
(1)引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数的概念；
(2)能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生体会特殊到一般，简单到复杂，具体到抽象的研究方法；
(3)渗透数形结合的数学思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

【教学重点】函数的单调性及其几何意义．
【教学重点】利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．
【教学手段】计算机、投影仪．
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
下图是贵溪市08年9月1日一天24小时内气温随时间变化的曲线图
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．
问题1：怎样描述气温随时间增大的变化情况？
问题2：怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？
例如：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等．
归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．
二、思考交流，形成概念
问题1:画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x) = x+2 （2）f(x) = -x+2 （3）f(x) = x2
从上面的观察分析，能得出什么结论？（学生动手画图并讨论）
学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

问题2: y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：
（1）函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22. 即函数值随着自变量的增大而增大，那么我们称这个函数在这个区间是递增的。

问题3:从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比函数在某个区间递增的定义，你能概括出函数在某个区间递减的定义吗？
注意：
1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．
（2）函数的单调性，单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
（3）单调函数
如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数.
通过判断题，强调三点
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域
和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间(a,b),(c,d)上都是递增（或减）的，一般不能认为函数在整个定义域上是增（或减）函数．
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?
〖设计意图〗通过几何直观，引导学生关注图象所反映出的特征，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图象上的表现．
三、概念应用，发展思维.
根据函数图象说明函数的单调性．
例1 画出函数f(x)=3x+2的图像，判断它的单调性，并加以证明.
例2画出反比例函数的图象．
1 这个函数的定义域是什么？
2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
方法总结：判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且x1<x2；
②作差f(x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．四、巩固练习, 深化理解.
证明:函数在（1，+∞）上为增函数．
（学生到黑板上练习，让其它学生批改）
五、归纳小结, 提高认识.
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
1、函数单调性的定义．
2、判断、证明函数单调性的方法：图象、定义.
六、作业布置，课后思考.
1、作业布置：P39 A组3，4，5
2、课后思考：
（1）若定义在R上的单调减函数满足，你知道它的
取值范围吗？
（2）二次函数在［0，＋∞）是增函数，你能确定字母
的值吗？。