实变函数论之勒贝格积分

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m 称为勒贝格测度，是对区间长度的推广 若 fn , f 连续，则 {|fn − f | > ε} 为开集（至多可列互不相交开区间 的并） 若 fn 连续，f 不连续，注意到 {|fn − f | > ε} =
∞ ∪ ∞ ∩ ∞{ ∪ k=1 j =1 i=j
} 1 |fn − fi | > ε + . k
熊瑛
实变函数
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单调收敛定理的例子
例：设 q1 , q2 , . . . 为 [0, 1] 上的全体有理数，定义 { { 1, x = q1 , q2 , . . . , qn 1, fn (x) = f (x) = 0, 其它 0,
x ∈ Q ∩ [0, 1] 其它
则 fn 在 [0, 1] 上黎曼可积，fn ↑ f , 但 f 不是黎曼可积的 如果假定单调收敛定理成立，需要将 f 的积分定义为 0 这个例子启发了建立新的积分理论的一个基本原则： 首先对性质比较简单的函数定义积分，再利用单调收敛定理定义更 复杂函数的积分。 事实上，勒贝格积分正是这样定义的
0 ≤ x ≤ 1/n 其它
n1
f n2
f n1
lim fn (x) = 0 fn (x) dx ≡ ∫
1
1 2 ∫
1
=⇒ lim
n→∞ 0
fn (x) dx ̸=
0 n→∞
lim fn (x) dx
0
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1 n2
1 n1
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1
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熊瑛
实变函数
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极限与积分可以交换的例子
非一致收敛的例子
设 { 1 − 2n|x − fn = 0, 则
n→∞ ∫ 1 0 1 2n |,
0 ≤ x ≤ 1/n 其它
1
f n2 f n 1
lim fn (x) = 0 fn (x) dx = ∫
熊瑛 实变函数
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从黎曼积分 (1854) 到勒贝格积分 (1904)
从一致收敛到点态收敛
黎曼积分理论的缺陷
黎曼可积函数序列点态收敛下的极限函数不一定仍是黎曼可积的 可积函数类关于点态收敛不封闭 定义严重依赖欧式空间的序结构，难以推广到一般的空间上 分析学的进一步发展，急需解决点态收敛下，极限与积分交换次序 的问题 问题的解决需要定义一种新的积分理论，使得可积函数类关于点态 收敛封闭 1904 年，勒贝格建立勒贝格积分理论 1933 年，柯尔莫哥洛夫在勒贝格积分理论的基础上将概率论公理化
n→∞
a
即 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ · · · , 且 fn → f
这个定理在黎曼积分理论下是不成立的，原因在于极限函数 f 不一 定黎曼可积 即使假定极限函数 f 黎曼可积，要在黎曼积分理论下证明这个定理 也并不容易
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熊瑛 实变函数
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. . . . Baidu Nhomakorabea . . .
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勒贝格积分理论的大体内容
1
测度部分 (第二章)
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推广区间长度的概念，定义测度，能定义测度的集合称为可测集 可测集类关于取补集、可列并、可列交等运算封闭 区间、开集、闭集都是可测集 利用可测集定义可测函数6 。粗略的说，可测函数可以理解为能定义 积分的函数 可测函数关于四则运算、极限运算封闭 可测函数序列各种收敛的定义及其关系（叶果洛夫定理、里斯定理） 可测函数与连续函数的关系（鲁津定理） 积分的定义（想法基于单调收敛定理） 三大积分收敛定理：勒贝格–勒维单调收敛定理、法杜定理、勒贝格 控制收敛定理 乘积测度与傅比尼定理（重积分交换积分次序） 微分与积分：牛顿–莱布尼茨公式、勒贝格密度定理
2
1854 年，黎曼给出了黎曼积分的严格定义，并证明连续函数是可以 积分的1 。(正式发表于 1868 年，黎曼去世两年后) 黎曼可积函数序列一致收敛下的极限函数仍是黎曼可积的2 。
3
黎曼积分理论下的回答 (1854)
一致收敛可以保证极限与积分可交换
1 2
黎曼可积函数的完全刻画需要用到勒贝格积分理论 证明需要用到勒贝格积分理论
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{|fn −f |>ε}
4
fn → f =⇒ m{|fn − f | > ε} → 0
熊瑛 实变函数
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控制收敛定理证明的实现
对 m{|fn − f | > ε} 的定义 (勒贝格测度的定义3 )
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熊瑛
实变函数
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单调收敛定理
积分理论发展过程中的关键问题之一
单调收敛定理
设非负函数序列 fn ↑ f ,a 则 ∫ ∫ lim fn (x) dx = f (x) dx.
▶
Borel 由此想到：能定义测度的集类，关于可列交及可列并封闭。4 对更一般情况的考虑…… 依测度收敛：∀ε > 0, m{|fn − f | > ε} → 0 点态收敛与依测度收敛的关系：叶果洛夫定理
关于 fn → f =⇒ m{|fn − f | > ε} → 0 的证明5
▶ ▶ 3 4
第二章的主要内容 Borel 集定义的出发点 5 第三章的主要内容
1
fn (x) − f (x) dx =
fn (x) − f (x) dx
0
∫
3
{|fn −f |≤ε}
fn (x) − f (x) dx ≤ ε · m{|fn − f | ≤ ε} ≤ ε fn (x) − f (x) dx ≤ 2C · m{|fn − f | > ε}
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熊瑛
实变函数
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黎曼积分和勒贝格积分的比较
图: 上为黎曼积分，下为勒贝格积分
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n→∞ 0 1
∫ fn (x) dx =
0
1
lim
f (x) dx.
证明的大概想法.
∫ ∫
2
1
∫ +
{|fn −f |≤ε}
∫
{|fn −f |>ε}
1
fn (x) − f (x) dx =
fn (x) − f (x) dx
0
∫
3
{|fn −f |≤ε}
fn (x) − f (x) dx ≤ ε · m{|fn − f | ≤ ε} ≤ ε fn (x) − f (x) dx ≤ 2C · m{|fn − f | > ε}
1
若函数 fn 可以积分，极限函数 limn→∞ fn 是否也可以积分？ 函数序列的极限有多种定义，对于哪些极限，交换性成立？
2
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熊瑛
实变函数
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黎曼积分理论下的回答
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熊瑛
实变函数
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黎曼积分
黎曼将自变量 x 的定义域分割成小区间，由此给出他的积分定义 优点：易于理解 缺点：黎曼可积函数关于极限运算不封闭
例
设有理数集 Q ∩ [0, 1] = {q1 , q2 , . . . }. 在 [0, 1] 上定义 { 1, x ∈ {q1 , q2 , . . . , qn }, fn (x) = 0, x ∈ / {q1 , q2 , . . . , qn }, 则 { 1, x ∈ Q ∩ [0, 1], f (x) = lim fn (x) = n→∞ 0, x ∈ [0, 1] − Q.
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2
可测函数部分 (第三章)
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▶ ▶ ▶ 3
积分理论部分 (第四章)
▶ ▶
▶ ▶ 6
类似于利用开集定义连续函数
熊瑛 实变函数
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第一节 勒贝格积分的引入
1
1 2n ∫
1
0
=⇒ lim
n→∞ 0
fn (x) dx =
0 n→∞
lim fn (x) dx
1 n2
1 n1
1
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熊瑛
实变函数
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控制收敛定理——从一致收敛到点态收敛
{|fn −f |>ε}
4
fn → f =⇒ m{|fn − f | > ε} → 0
熊瑛 实变函数
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控制收敛定理——从一致收敛到点态收敛
积分理论发展过程中的关键问题之二
控制收敛定理 (原始版本)
设 [0, 1] 上的非负函数序列 fn → f . 若存在常数 C , 使 fn ≤ C , ∀n, 则 ∫
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
注意到，fn 黎曼可积，但 f (x) 不是黎曼可积的。
熊瑛 实变函数 13 / 81
勒贝格的积分思想
1926 年，在哥本哈根的一次演讲中，勒贝格是这样阐述他的积分思想的。 按照黎曼的方法，我们对依自变量 x 的大小顺序所提供的不可分割 的量求和…… 这有如没有条理的商人数钱，碰到硬币数硬币，碰到纸币数纸币。 而我们的做法像有条理的商人的做法： 我有一克朗的货币 m(E1 ) 个单位，共值 1 · m(E1 ); 我有两克朗的货币 m(E2 ) 个单位，共值 1 · m(E2 ); 我有五克朗的货币 m(E5 ) 个单位，共值 1 · m(E5 ); ……等等。故总共有 S = 1 · m(E1 ) + 2 · m(E2 ) + 5 · m(E5 ) + · · ·
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熊瑛
实变函数
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极限与积分不能交换的例子
设 { n(1 − 2n|x − fn = 0, 则
n→∞ ∫ 1 0 1 2n |),
n2
第四章 勒贝格积分
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实变函数
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积分论的核心问题
极限与积分的可交换性
什么条件可以保证
∫
n→∞
∫ lim fn (x) dx = lim
n→∞
fn (x) dx ?
积分理论发展过程中的关键问题之二
控制收敛定理 (原始版本)
设 [0, 1] 上的非负函数序列 fn → f . 若存在常数 C , 使 fn ≤ C , ∀n, 则 ∫
n→∞ 0 1
∫ fn (x) dx =
0
1
lim
f (x) dx.
证明的大概想法.
∫ ∫
2
1
∫ +
{|fn −f |≤ε}
∫
{|fn −f |>ε}
1
一致收敛概念的引入，及其与点态收敛的差异
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1821 年，柯西“证明”连续函数序列的极限函数也是连续的 1826 年，阿贝尔给出一个反例 柯西证明的错误在于他没有区分点态收敛与一致收敛，他其实证明 了连续函数序列一致收敛的极限函数是连续的 1841 年，魏尔斯特拉斯明确给出了一致收敛的概念，并将一致收敛 与点态收敛明确区分开来。(正式发表于 1894 年)