多变量最优化

1.提出问题-变量
问题1中的全部变量包括：
s=19英寸彩电的售出数量（台）； t=21英寸彩电的售出数量（台）； p=19英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； q=21英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； C=生产彩电的成本（美元）； R=彩电销售的收入（美元）； P=彩电销售的利润（美元）。
1.提出问题-常量
给出：若 在Sf 的某个点内 (x1,L达,x到n)极大值或极小
值，设 在这点f 可微，则在这个点上
。f也就0 是说
，在极值点有
f x1
(x1,
L
,
xn)
0
f xn
(x1,
L
,
xn)
0
（2-1）
据此我们可以在求极大或极小点时，不考虑那些在S内
部使 f 的某一个偏导数不为0的点。因此，要求极大或
极小点，我们就要求解方程组(2-1)给出的n个未知数、
图2.1 彩电问题的利润y关于19英寸彩电的生产量s和 21英寸彩电的生产量t的3维图象
图2.2 彩电问题中关于19英寸彩电的生产量x1和 21英寸彩电的生产量x2的利润函数有的水平集图
5.回答第一步中提出的问题
简单来说，这家公司今年可以通过生产4735台19 英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年 获得的净利润为553641美元。
利用计算机代数系统求解问题有几项优点：它 可以提高效率，结果更准确。
4.利用第二步确定的标准过程求解
图2.2给出了函数P的3维图象，图象显示，y在内部达到 最大值；图2.3给出了P的水平集图，从中我们可以估计出y的 最大值出现在x1=5000,x2=7000附近。函数y是一个抛物面， 其最高点为方程组的唯一解。
19英寸彩电的每台平均售价为270.52美元；21英 寸彩电的每台平均售价为309.63美元；生产总支出为 2907950美元，相应的利润率为19%。这些数据显示 有利可图，因此建议公司推出新产品。
2.2灵敏性分析
问题1中的全部常量包括：
1.两种彩电的初始定价：339美元和399美元； 2.其对应的成本分别为：195美元和225美元； 3.每种彩电多销售一台，平均售价下降系数a=0.01 美元（称为价格弹性系数），两种彩电之间的销售 相互影响系数分别为0.004美元和0.003美元； 4.固定成本为400000美元。
n个方程的联立方程组。然后我们还要检查S的边界上的
点,以及那些一个或多个偏导数没有定义的点。
3.推导模型的数学表达式
由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下：
P RC
ps qt 400 000 195s 225t 339 0.01s 0.003t s 339 0.04s 0.01t t 400 000 195s 225t
1.提出问题-变量间相互关系确定
假设
1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会 下降1美分,用a表示（即价格弹性系数a=0.01美元/台）。 2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均 售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸 彩电的平均售价会下降0.4美分。
变量间关系
因此，19英寸彩电的销售价格为： p=339-a×s-0.003×t，此处a=0.01
1.提出问题-变量间相互关系确定
21英寸彩电的销售价格为：
q=399 - 0.01×t - 0.004×s
因此，总的销售收入为：
R=p×s + q×t
生产成本为：
C=400000 + 195×s + 225×t
S x 1 ,x 2 :x 1 0 ,x 2
y f x1, x2 339 0.01x1 0.003x2 x1 339 0.04x1 0.01x2 x2 400 000 195x1 225x2
4.利用第二步确定的标准过程求解
第四步中的计ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有点繁琐，这种情况下，可以 采用计算机代数系统来进行所需的计算。计算机 代数系统可以求导数、求积分、解方程组、化简 代数表达式。大多数的软件还可以进行矩阵运算 、画图、求解微分方程组。
净利润为：
P=R-C
因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得y=P 取得最大值。
2.选择建模方法
概述选定的建模方法
这个问题我们视为无约束的多变量最优化问题。这类 问题通常在多元微积分得入门课程中都有介绍。我们 这里只给出模型的要点和一般的求解过程。
2.选择建模方法
给定定义在n维空间 R n 的子集S上的函数 y f(x 1 ,L ,x n ) 。我们要求 在f 集合S上的最大值或最小值。一个定理
清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得 利润最大化？
2.1五步法
1.提出问题 2.选择建模方法 3.推导模型的数学表达式 4.求解模型 5.回答问题
1.提出问题-变量
问题1中的全部变量包括：
s=19英寸彩电的售出数量（台）； t=21英寸彩电的售出数量（台）； p=19英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； q=21英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； C=生产彩电的成本（美元）； R=彩电销售的收入（美元）； P=彩电销售的利润（美元）。
数学建模方法与分析
第2章 多变量的最优化
2.1无约束最优化
最简单的多变量最优化问题是在一个比较好的区 域上求一个可微的多元函数的最大值或最小值。 我们在后面会看到，当求最优值的区域比较复杂 时，问题就会变得复杂。
问题1：
一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸立体声彩色电 视机，制造商建议零售价为339美元。另一种21英寸立体声彩色电视机 ，零售价为399美元。公司付出的成本为19英寸彩店每台195美元，21 英寸彩电每台225美元，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销 售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对 每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19 英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销售，反之也是如此。据估计， 每售出一台21英寸彩电，19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分，而每 售出一台19英寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。问题是 ：每种彩电应该各生产多少台？