高等代数考研复习线性方程组.doc

第三章线性方程组

1.已知：在维列向量00,…,％中，前—1个列向量线性相关，

后斤-1个列向量线性无关，〃二少+冬+…+勺，"阶方阵

A =（ea，…必）。证明：线性方程组AX=0有无穷多个解且任一解向

量（002, ••，%，满足乞=1 o

2 •设A是sx”矩阵，rankA = s

AX二0都有解且其解集合中含斤“ + 1个线性无关的解，这里“必4 表示矩阵A的秩。

3.设A是加xn矩阵,0 =（勺,/?2,…,bj是加维列向量,证明下述命题相

互等价：

（1）线性方程组AX=0有解；

（2 ）齐次方程组A r X = 0的任一解（几兀2,…，心卩必满足

"1+兀2优+・・・+兀血=0

（3）线性方程组（；；）兀=「）无解，其中0是“维零向量。

4.证明实系数线性方程组AX=0有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量0与它所对应的齐次线性方程组A7X = 0的解空间正交。5•设V是实数域/?上的次数53的多项式组成的向量空间，则V中向量。=尸+4尸_2/ + 3 , 0 =尸+6尸_/ + 4 , 了二3尸+8尸一&+ 7的线性相关性

是_____ o

6•已知3] = (1,0,2,3) , d2 = (1,1,3,5) f d3 = (1,-1, a+ 2,1) , d4 = (1,2,4,°+ 8)和"(l,l" + 3,5)

(1) 为何值时，0不能表示成儿。200的线性组合？

(2) ci,b为何值时，0能rhd],%,%，%惟一线性表示？并写出表示式。

7. ------------------------------------------------------------------------------------ 设向量组4，。2，・・・。(宀2)线性相关，且其中任意£-1个向量线性无夫,则存在全不为0的数/，爲,,使得+k2d2 H -------------------------------- k s d s = 0

D・(1, 2,・3, 1) (3, 6, -9, 3) (3, 0, 7, 7)。

x, + cix2 + a2x3 = a3

8.解线性方程组壬方*=戻，其中以,c为互不相等的数.

X] + cx2 + C2X3 = c3

(Oj + b)x x + a2x2 + 冬+ • • • + a n x n = 0

a{x{ + (a2 + b)x2 + a3x3 + …+ a n x n = 0

9•已知齐次线性方程组:< + a2x2 + (a3 + b)x3 + • • • + a n x n = 0 其中工

qHO,

f=l

a}x} +a2x2十色呂十+仇)£ =0

试讨论吗卫2,…,％和b满足何种关系时，

(I)方程组仅有零解；

(II)方程组有非零解,在有非零解时，求此方程组的…个基础解系.

10 •设向量组a v a^^a r_v a r线性无关，

/?! =a2 +a y +・・・+匕.

02 -a x +a3+••・ + ©,

< •••••••••••••••

0严©+。2+••• + ◎0冲二血+的+…+禺

讨论0,02，…Q，A+1线性相关性

11 •设es，…'％是线性方程组AX=b的解，则当且仅当0,°2,…,乞满足

条件_____ 时，Q0I + a2a2 + • • • + a s a s也是AX=b 的解.

12•域K上的斤级矩阵A的(ij)元为a厂b j

J

(1)求|A|;

(2)当心2时，a严应严2。求齐次线性方程组4X=0的解空间的维数和一个基。

13.设是非齐次线性方程组的一个解，齐®，…爲i是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：

(1)〃*，齐込，…©_厂线性无关，

(2)『,勺+〃*，务+〃*，.“+〃*线性无关，

(3 )非齐次线性方程组AX=b的任一个解可表示为

严2“2%_几_戸『(其中勺二討，…,%_尺_” 且

k\+k2+k n-r=1 )o

14.设向量组的,切，…，叫可以由向量组B:0],02，・・・，0/线性表示且

R(A)=R(B)。证明向量组A与向量组B等价。

15 •设A为〃阶方阵，八是A的伴随矩阵且如工0,曲)，其中如为A的

们对应的代数余子式。证明：4X"有无穷多个解ob是A*X=O的解。

16.设4“实矩阵，4是A的转置矩阵，证明:

（I）：齐次线性方程组AX=O与心X=0同解;

（ii）：秩（A）二秩（AM）；

（iii）:方程组A^AX = A'B（其中B是任一S维列向量）一定有解。

17.设齐次线形方程组

x2 + ax3 + hx4 = 0

-Xj + cx3 + dx4 = 0

+ cx2一牛=0

bx x + dx2 - ex3 = 0

的一般解以可，兀为自由未知量。

⑴求abcde满足的条件；（II）求齐次线形方程组的基础解系。