非线性控制系统的相平面分析法

7-5 非线性控制系统的相平面分析法

相平面法在分析非线性系统时是很有用处的。但是，我们在介绍非线性系统的分析方法之前，先讨论一下相平面法在分析线性二阶系统中的应用是很有好处的。因为许多非线性元件特性一般都可分段用线性方程来表示，所以非线性控制系统也可以用分段线性系统来近似。

一、线性控制系统的相平面分析

1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。若系统开始处于平衡状态。试求

系统在阶跃函数)(1)(0t R t r ⋅=　作用下，在e

e -平面上的相轨迹。 建立系统微分方程式，由图示系统可得

Ke c c

T =+ 因为c r e -=，代入上式得

r r T Ke e e

T +=++ （7-31） 对于->⋅=0),(1)(0t t R t r 时，0)()(==t r t r

因此上式可写成

0=++Ke e e T （7-32）

方程（7-32）与（7-22）式相仿。因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条

件是0)0(R e =和0)0(=e

。e e -平面上的相轨迹起始于)0,(0R 点，而收敛于原点(系统的奇点)。当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)

所示。根据e

e -平面上的相轨迹就可方便的求得c c -平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P σ及系统在稳态时的误差

为零。因为e e -平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在c

c -平面上相轨迹最终到达0R c =的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R 。

2、斜坡响应 对于斜坡输入t V t r 0)(=；当0>t 时，)(t r 的导数0)(V t r

= 及0)(=t r 。因此，方程（7-31）可以写成

0V Ke e e

T =++ 或 0)(0=-++K

V e K e e T

令v e K V e =-0，代入上式，则有

0V Ke e e T =++ννν

（7-33） 在v v e

e -平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在e e -平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。

应当指出，特征方程式的根确定了奇点的性质，在v v e

e -平面上的奇点的位置是坐标原点，而在e e -平面上奇点坐标为)0,(0K V 点。又因为我们假设系统初始状态为平衡状态。

所以误差信号的初始值,0)0(=e ，0)0(V e

= 。如果式（7-33）的特征根是处于左半平面的共轭复数根时，则在e

e -平面上的相轨迹为如图7-40所示。 由上面分析可以看出，图7-38所示系统，对于斜坡输入时的相轨迹，除整个相轨迹图形向右平移K V 0之外，其他与阶跃输入时完全相同。另外，当系统在斜坡输入时，相轨迹最终不是到原点而是卷入奇点)0,(0K V 。这表示系统在斜坡输入时呈现的稳态误差为

K V 0。

二、非线性控制系统的相平面分析

当非线性元件静特性可以用分段直线来表示时，这样的非线性系统就可以用几个分段线性系统来描述。这时，整个相平面可以划分成若干个区域，其中每一个区域相应于一个单独的线性工作状态。相应地每一个区域都有一个奇点，不过这个奇点有时可能不一定在本区域之内，而是在其它区域。如果奇点位于本区域之内，则称为实奇点；如果奇点位于本区域之外，那么该区内的相轨迹就永远不可能到达该点，因此，称这样的奇点为虚奇点。具有分段线性特性的二阶系统，一般只有一个实奇点，因此与具有实奇点的区域相邻接的所有区域都将具有虚奇点。每一个奇点的位置和性质，都取决于相应区域的运动方程。每一个区域的相平面图均表示一个相应线性系统的相平面图。有了这些相平面图以后，只要在区域的边界线上，把相应的相轨迹连接起来，就可构成整个系统的完整的相轨迹。下面举例说明具体做法。

1、具有非线性增益的控制系统 设如图7-41(a)所示的非线性控制系统，图中N G 表示的方块是一个非线性放大器，其静特性如图7-41(b)所示，当误差信号e 的数值大于1e 或小于1e 时，放大器的增益k 分别等于1或小于1，即

⎩

⎨

⎧

=m ke

e

1

1e e e e <> （7-34）

可见，系统在大误差信号时，具有大的增益；而在小误差信号时，增益也小。

因为图7-40(a)所示系统是分段线性的。所以可以把它看成是两个线性系统的组合，其相应的相轨迹也由两个线性系统的相轨迹组合而成。具体做法如下：

假设系统初始状态为静止平衡状态。根据系统结构图，写出变量c 与m 之间的微分方程为

Km c c

T =+ 由于c r e -=，代入上式得

r r T K e e T +=++ （7-35） 设系统在单位阶跃输入)(1)(t t r =作用下，在e

e -平面上作相应的相轨迹。 对于单位阶跃输入，当0>t 时，0==r r

，所以式（7-35）成为 0=++Km e e T （7-36）

上式即为非线性系统在单位阶跃作用下的误差微分方程。将式（7-34）代入式（7-36）得下列两个线性微分方程：

0=++Ke e e T 1e e > （7-36a ） 0=++Kkm e e

T 1e e < (7-36b)

在下面的分析中，假设方程（7-36a ）为欠阻尼的运动方程，其特征根为具有负实部的共轭复数根，对应的相轨迹如图7-42(a)所示，奇点（0，0）为稳定焦点。假设方程(7-36b ）为过阻尼的运动方程，相应的特征根为两个负实根，相轨迹如图7-42(b)所示，奇点(0，0)为稳定节点。

根据方程（7-36a ）和(7-36b ）所确定的相应区域，将图7-42(a)和图7-42(b)组合在一起就可得到图7-41所示非线性系统的相轨迹图，如图7-43所示。图中系统参数为：1=T ，

0625.0=k ，4=K 和2.01=e 。