第二章单元测试

第二章单元测试卷

(时间：100分钟 满分：120分)

一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列方程中，是关于x 的一元二次方程是(A )

A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1)

B .1

x 2＋1x

－2＝0 C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋2x ＝x 2－1

2. 把方程x 2

－10x ＝－3左边化成含有x 的完全平方式，下列做法正确的是(B ) A ．x 2－10x ＋(－5)2＝28 B ．x 2－10x ＋(－5)2＝22 C ．x 2＋10x ＋52＝22 D ．x 2－10x ＋5＝2

3. 关于x 的一元二次方程x 2

＋bx －10＝0的一个根为2，则b 的值为(C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．7

4. 方程(x －2)(x ＋3)＝0的解是(D ) A ．x ＝2 B ．x ＝－3

C ．x 1＝－2，x 2＝3

D ．x 1＝2，x 2＝－3

5. 解方程(x ＋1)(x ＋3)＝5较为合适的方法是(C ) A ．直接开平方法 B ．配方法

C ．公式法或配方法

D ．因式分解法

6. 关于x 的一元二次方程kx 2

＋4x －2＝0有实数根，则k 的取值范围是(C ) A ．k ≥－2 B ．k ＞－2且k ≠0 C ．k ≥－2且k≠0 D ．k ≤－2

7. 已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 21x 2＋x 1x 2

2的值为(A ) A ．－3 B ．3 C ．－6 D ．6

8. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得(B )

A ．168(1＋x)2＝108

B ．168(1－x)2＝108

C ．168(1－2x)＝108

D ．168(1－x 2)＝108

9. 有一块长32 cm ，宽24 cm 的矩形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是(C )

A ．2 cm

B ．3 cm

C ．4 cm

D ．5 cm

10. 定义运算：a*b ＝a(1－b)．若a ，b 是方程x 2

－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根，则b*b －

a*a 的值为(A )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．与m 有关

二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)

11. 方程(x ＋2)2

＝x ＋2的解是x 1＝－2，x 2＝－1.

12. 当k ＝0时，方程x 2

＋(k ＋1)x ＋k ＝0有一根是0.

13. 写出以4，－5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是x 2

＋x －20＝0.

14. 若关于x 的方程x 2－mx ＋m ＝0有两个相等实数根，则代数式2m 2

－8m ＋1的值为1.

15. 在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图1)的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图2)，使整个挂图的面积是80平方分米，设金色纸边宽为x分米，可列方程为(2x＋6)(2x＋8)＝80.

16. 毕业晚会上，某班同学每人向本班其他同学送一份小礼品，全班共互送306份小礼品，则该班有18名同学．

三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)

17. 用指定方法解下列方程：

(1)x2－4x＋2＝0(配方法); (2)x2＋3x＋2＝0(公式法)．

解：x1＝2＋2，x2＝2－ 2 解：x1＝－1，x2＝－2

18. 已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，求a的值和方程的另一个根．

解：根据题意得，62－6a－3a＝0，∴a＝4，∴方程为x2－4x－12＝0，设另一个根为x1，则x1＋6＝4，得x1＝－2，故a的值是4，方程的另一个根为－2

19. 试证明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．

证明：∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≥4，∴无论a取何值，a2－8a＋20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，∴关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程

四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)

20. 某地地震牵动全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．

(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

(2)按照(1)中收到捐款的速度，第四天该单位能收到多少捐款？

解：(1)10% (2)12100×(1＋0.1)＝13 310(元)

21. 已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.

(1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；

(2)若x1，x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝22，求m的值．

解：(1)∵Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋1)＝m 2＋2m ＋5＝(m ＋1)2

＋4>0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)∵x 1，x 2是原方程的两根，∴x 1＋x 2＝－(m ＋3)，x 1x 2＝m ＋1.∵|x 1－x 2|＝22，∴(x 1－x 2)2

＝8，∴(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2＝8，∴(－m －3)2

－4(m ＋1)＝8，∴m 1＝1，m 2＝－3，∴m 的值为1或－3

22. 已知：关于x 的方程x 2－4mx ＋4m 2

－1＝0. (1)不解方程，判断方程的根的情况；

(2)若△ABC 为等腰三角形，BC ＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．

解：(1)∵Δ＝(－4m)2－4(4m 2

－1)＝4＞0，∴无论m 为何值，该方程总有两个不相等的

实数根 (2)∵Δ＞0，△ABC 为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x 2

－4mx

＋4m 2－1＝0的根．将x ＝5代入原方程，得：25－20m ＋4m 2

－1＝0，解得：m 1＝2，m 2＝3.当

m ＝2时，原方程为x 2

－8x ＋15＝0，解得：x 1＝3，x 2＝5，∵3，5，5能够组成三角形，∴该

三角形的周长为3＋5＋5＝13；当m ＝3时，原方程为x 2

－12x ＋35＝0，解得：x 1＝5，x 2＝7，∵5，5，7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5＋5＋7＝17.综上所述：此三角形的周长为13或17

五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)

23. 已知一元二次方程x 2

＋px ＋q ＋1＝0的一个根为2. (1)求q 关于p 的关系式；

(2)求证：方程x 2

＋px ＋q ＝0有两个不等的实数根；

(3)若方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有两个相等的实数根，求方程x 2

＋px ＋q ＝0两根．

解：(1)∵一元二次方程x 2

＋px ＋q ＋1＝0的一根为2，∴4＋2p ＋q ＋1＝0，∴q ＝－2p

－5 (2)∵x 2＋px ＋q ＝0，∴Δ＝p 2－4q ＝p 2－4(－2p －5)＝(p ＋4)2＋4＞0，∴方程x 2

＋px

＋q ＝0有两个不等的实数根 (3)∵x 2＋px ＋q ＋1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝p 2

－4(q

＋1)＝0，由(1)可知q ＝－2p －5，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧p 2

－4q －4＝0①，q ＝－2p －5②，解得⎩⎪⎨⎪

⎧p ＝－4，q ＝3，把

⎩

⎪⎨⎪⎧p ＝－4，q ＝3代入x 2＋px ＋q ＝0，得x 2

－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3

24. 某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60 cm ，宽40 cm ，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．

(1)若丝绸花边的面积为650 cm 2

，求丝绸花边的宽度；