2021届高三数学滚动测试题与参考答案

2021届高三数学滚动测试题(2020.10.05)

一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知复数z 满足：+i z a i ⋅=，其中i 是虚数单位，则“10a -<<”是“在复平面内，复数z 对应

的点位于第一象限”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件

D. 既不充分又不必要条件

2. 已知lg a ＋lg b ＝2，则a ＋b 的最小值为（ ）

A. 22

B. 4

C. 10

D. 20

3. 已知函数f （x ）=x 2，g （x ）=ln x ，若有f （a ）=g （b ），则b 的取值范围是（ ）

A. [0，+∞）

B. （0，+∞）

C. [1，+∞）

D. （1，+∞）

4. 掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张

开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是58

π

米，“弓”所在圆的半径为1.25米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：2 1.4143 1.732≈≈，）( ) A. 1.012米

B. 1.768米

C. 2.043米

D. 2.945米

5. 在边长为4的等边△ABC 中，M ，N 分别为BC ，AC 的中点，则AM MN ⋅=（ ）

A. -6

B. 6

C. 0

D.

32

-

6. 若实数x ，y 满足1-210y

x -+=，则y 关于x 的图象大致是（ ）

A.

B.

C.

D.

7. 若函数y =f （x ），y =g （x ）的定义域均为R ，且都不恒为零，则（ ）

A. 若y =f （g （x ））为偶函数，则y =g （x ）为偶函数

B. 若y =f （g （x ））为周期函数，则y =g （x ）为周期函数

C. 若y =f （x ），y =g （x ）均为单调递减函数，则y =f （x ）•g （x ）为单调递减函数

D. 若y =f （x ），y =g （x ）均为奇函数，则y =f （g （x ））为奇函数

8. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：22

221x y a b

+=的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若

113MF F N =，且24

cos 5MNF ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）

A. 22

B.

33

C.

21

2

- D. 213

-

二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的有：（ ）

A. 若sin A ＞sin B ，则A ＞B ；

B. 若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形；

C. 若222cos cos cos 1A B C +-=，则△ABC 为直角三角形；

D. 若△ABC 为锐角三角形，则sin A

的前项和为

，若

，*

12()n n a S n N +=∈，则有

A. 1

=3

n n S -

B.

为等比数列

C. 1

=23

n n a -⋅

D.

11. 由函数f （x ）＝sin x 的图象得到函数()cos(2)3

g x x π

=-的图象的过程中，下列表述正确的是（ ）

A. 先将()f x 的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移12

π

个单位长度

B. 先将()f x 的图象上各点横坐标缩短到原来的1

2（纵坐标不变），再向左平移6π

个单位长度 C. 先将()f x 的图象向左平移6π个单位长度，再将图象上各点横坐标缩短到原来的1

2（纵坐标不变） D. 先将()f x 的图象向左平移

12π个单位长度，再将图象上各点横坐标缩短到原来的1

2

（纵坐标不变） 12. 已知

,,A B C 三点均在球的表面上，=2AB BC CA ==，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的1

3

，则下列结论正确的是（ ）

A. 球O 的半径为32

B. 球O 的表面积为6π

C. 球O 的内接正方体的棱长为6

D. 球O 的外切正方体的棱长为6

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知向量=(2,1),(1,2)a b =-，则向量b 在向量c a b =-方向上的投影为__________． 14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 13＝6，则3a 9-2a 10＝_____ ___．

15. 某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系kx b y e += (e =2.718为自然对

数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 小时.

16. 定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数是()f x '，且满足()1()(0)0f x f x f '>-=，，

则不等式()1x x e f x e >-的解集为______ _． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知数列{a n }满足：a 1=1，169

n n n

a a a +-=

（n ∈N *） （1）求证：数列13n a

⎧⎫

⎨⎬-⎩⎭

是等差数列； （2）求数列{lg a n }的前999项和．

18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

=2n S n n +，

，数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，

． （1）求、； （2）求数列的前项和．

19. 在△ABC 中，D 为BC 上一点，AD =CD ，BA =7，BC =8.

(1)若B =60°，求△ABC 外接圆的半径R ； (2)设CAB ACB θ∠-∠=，若33

sin 14

θ=，求△ABC 面积.

20. 已知向量(2cos ,1),(2sin(),1)6

a x

b x π

==+-，设函数()f x a b =⋅.

（1）求函数()f x 在(3,3)x ∈-上的单调递增区间; （2）若24sin ()16cos 6

x af x x π+++>对任意(,)44

x ππ

∈-

恒成立，求实数a 的取值范围.

21. 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =6km ，现计划在

BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站．记P 到三个村庄的距离之和为y ． (1) 设∠PBO =α，把y 表示成α的函数关系式；

(2) 变电站建于距离点O 多远处，它到三个小区的距离之和最小？ 说明理由.

22.已知函数f （x ）=e x ，g （x ）=kx +1，且直线y =g （x ）和函数y =f （x ）的图象相切． （1）求实数k 的值；

（2）设()()()h x f x g x =-，若不等式()()1m x h x x '-<+对任意x ∈（0，+∞）恒成立,

（m ∈Z ，()h x ' 为()h x 的导函数），求m 的最大值.