2021届高三数学滚动测试题与参考答案

2021届高三数学滚动测试题(2020.10.05)
一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知复数z 满足：+i z a i ⋅=，其中i 是虚数单位，则“10a -<<”是“在复平面内，复数z 对应
的点位于第一象限”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
2. 已知lg a ＋lg b ＝2，则a ＋b 的最小值为（ ）
A. 22
B. 4
C. 10
D. 20
3. 已知函数f （x ）=x 2，g （x ）=ln x ，若有f （a ）=g （b ），则b 的取值范围是（ ）
A. [0，+∞）
B. （0，+∞）
C. [1，+∞）
D. （1，+∞）
4. 掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张
开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是58
π
米，“弓”所在圆的半径为1.25米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：2 1.4143 1.732≈≈，）( ) A. 1.012米
B. 1.768米
C. 2.043米
D. 2.945米
5. 在边长为4的等边△ABC 中，M ，N 分别为BC ，AC 的中点，则AM MN ⋅=（ ）
A. -6
B. 6
C. 0
D.
32
-
6. 若实数x ，y 满足1-210y
x -+=，则y 关于x 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 若函数y =f （x ），y =g （x ）的定义域均为R ，且都不恒为零，则（ ）
A. 若y =f （g （x ））为偶函数，则y =g （x ）为偶函数
B. 若y =f （g （x ））为周期函数，则y =g （x ）为周期函数
C. 若y =f （x ），y =g （x ）均为单调递减函数，则y =f （x ）•g （x ）为单调递减函数
D. 若y =f （x ），y =g （x ）均为奇函数，则y =f （g （x ））为奇函数
8. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：22
221x y a b
+=的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若
113MF F N =，且24
cos 5MNF ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）
A. 22
B.
33
C.
21
2
- D. 213
-
二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的有：（ ）
A. 若sin A ＞sin B ，则A ＞B ；
B. 若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形；
C. 若222cos cos cos 1A B C +-=，则△ABC 为直角三角形；
D. 若△ABC 为锐角三角形，则sin A <cos B ． 10. 数列
的前项和为
，若
，*
12()n n a S n N +=∈，则有
A. 1
=3
n n S -
B.
为等比数列
C. 1
=23
n n a -⋅
D.
11. 由函数f （x ）＝sin x 的图象得到函数()cos(2)3
g x x π
=-的图象的过程中，下列表述正确的是（ ）
A. 先将()f x 的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移12
π
个单位长度
B. 先将()f x 的图象上各点横坐标缩短到原来的1
2（纵坐标不变），再向左平移6π
个单位长度 C. 先将()f x 的图象向左平移6π个单位长度，再将图象上各点横坐标缩短到原来的1
2（纵坐标不变） D. 先将()f x 的图象向左平移
12π个单位长度，再将图象上各点横坐标缩短到原来的1
2
（纵坐标不变） 12. 已知
,,A B C 三点均在球的表面上，=2AB BC CA ==，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的1
3
，则下列结论正确的是（ ）
A. 球O 的半径为32
B. 球O 的表面积为6π
C. 球O 的内接正方体的棱长为6
D. 球O 的外切正方体的棱长为6
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量=(2,1),(1,2)a b =-，则向量b 在向量c a b =-方向上的投影为__________． 14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 13＝6，则3a 9-2a 10＝_____ ___．
15. 某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系kx b y e += (e =2.718为自然对
数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 小时.
16. 定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数是()f x '，且满足()1()(0)0f x f x f '>-=，，
则不等式()1x x e f x e >-的解集为______ _． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知数列{a n }满足：a 1=1，169
n n n
a a a +-=
（n ∈N *） （1）求证：数列13n a
⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是等差数列； （2）求数列{lg a n }的前999项和．
18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
=2n S n n +，
，数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，
． （1）求、； （2）求数列的前项和．
19. 在△ABC 中，D 为BC 上一点，AD =CD ，BA =7，BC =8.
(1)若B =60°，求△ABC 外接圆的半径R ； (2)设CAB ACB θ∠-∠=，若33
sin 14
θ=，求△ABC 面积.
20. 已知向量(2cos ,1),(2sin(),1)6
a x
b x π
==+-，设函数()f x a b =⋅.
（1）求函数()f x 在(3,3)x ∈-上的单调递增区间; （2）若24sin ()16cos 6
x af x x π+++>对任意(,)44
x ππ
∈-
恒成立，求实数a 的取值范围.
21. 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =6km ，现计划在
BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站．记P 到三个村庄的距离之和为y ． (1) 设∠PBO =α，把y 表示成α的函数关系式；
(2) 变电站建于距离点O 多远处，它到三个小区的距离之和最小？ 说明理由.
22.已知函数f （x ）=e x ，g （x ）=kx +1，且直线y =g （x ）和函数y =f （x ）的图象相切． （1）求实数k 的值；
（2）设()()()h x f x g x =-，若不等式()()1m x h x x '-<+对任意x ∈（0，+∞）恒成立,
（m ∈Z ，()h x ' 为()h x 的导函数），求m 的最大值.
2021届高三数学滚动测试题答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：复数z 满足：i •z =a +i ，则z =1-ai ，
若在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限，则a ＜0，则“-1＜a ＜0”是“在复平面内，复数z 对应的点位于第一象限”的充分不必要条件，故选：B ． 2.【答案】D
【解析】解：因为lg a ＋lg b ＝2，即lg a ＋lg b ，
所以可得ab =100，且a >0,b >0,所以a ＋b
，
当且仅当a =b =10时，等号成立，所以(a ＋b )min =20.故答案为D . 3.【答案】C 【解析】解：∵f （a ）=a 2≥0
，∴g （b ）=lg b ≥0，∴b ≥1；故选：C ．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意作出下图，其中OC ⊥AB 于D ， 则弧
的长为米，∴
所以
（米），故选B . 5.【答案】A
【解析】解：由图可知：||=||=4，=4×
=8
，=（
），
=
，
所以
•
=（
）•（
-）
=-（
）=
=-6，故选：A ．
6.【答案】A
【解析】解：由21-y -|x +1|＝0，可得y ＝1-log 2|x +1|，通过对数函数的图象与性质可知， 只有图象A 大致符合．故选A . 7.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A ，若y =f （g （x ））为偶函数，则可能g （x ）为奇函数，而f （x ）为偶函数，如f （x ）=cos x ，g （x ）=sin x ，A 错误；
对于B ，若y =f （g （x ））为周期函数，可能f （x ）为周期函数，如f （x ）=sin x ．g （x ）=2x ，B 错误；对于C ，当f （x ）=-2x ，g （x ）=-3x ，均为单调递减函数，而y =f （x ）•g （x ）=6x 2，不是减函数，C 错误；
对于D ，若y =f （x ），y =g （x ）均为奇函数，对于y =f （g （x ）），有f （g （-x ））=f （-g （x ））=-f （g （x ）），为奇函数，D 正确；故选：D ． 8.【答案】A
【解析】解：设|NF 1|=m
，因为，所以|MF 1|=3m ，由椭圆的
定义可得|MF 2|=2a -3m ，|NF 2|=2a -m ， 在△MNF 2中，由余弦定理可得
|MF 2|2=|MN |2+|NF 2|2-2|MN |•|NF 2|cos ∠MNF 2，即（2a -3m ）2=（4m ）
2+
（2a -m ）2-2•4m •（2a -m ）•，整理可得m =①
在△NF 1F 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2=|NF 1|2+|NF 2|2-2|NF 1|•|NF 2|•cos ∠MNF 2，即（2c ）2=m 2+（2a -m ）
2-2m
•（2a -m ），即4c 2=+
-，整理可得：=，所以椭圆的离心率e ==，故选：A ．
9.【答案】AC
【解析】解：选项A ：在
中，若sin A ＞sin B ，则a ＞b ，即有
,则A 正确,
选项B :.若sin2A ＝sin2B ，
则,故三角形不一定为等腰三角
形,故B 错误.选项C :在
中，由
由
可得：可得
，由正弦定理可得：
,故为直角三角形，故C 正确.选项D :.若
为锐
角三角形,
,则
，即
，即sin A >cos B ,故D 错误.故选AC .
10.【答案】ABD 【解析】解：∵，∴当n ≥2时，，两式相减得，，即，
当n =1时，，∴数列
从第二项起为公比为3的等比数列，
∴ ,故C 错误，D 正确，由当n ≥2时，
，所以
，
又
满足上式，所以
为等比数列，
； 故A ，B 正确，故选ABD .
11.【答案】AC 【解析】解：g (x )=(-2x )=
(2x -)=
(2x +)，
方式一：先将f (x )=
x 的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) ，再向左平移个单位长度；
方式二：先将f(x )=x 的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，根据选项A，C正确. 故选AC.
12.【答案】BD
【解析】解：设球的半径为，
△的外接圆圆心为，半径为.可得，
因为球心到平面的距离等于球半径的，所以，得，，故A不正确；
所以球的表面积，故B正确；球的内接正方体的棱长满足，解得a
=，
故C 不正确；球的外切正方体的棱长满足=，故D正确.故选BD. 13.
14.
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d．由S13＝6，得13a7＝6，解得，所以．故答案为.
15.【答案】24
【解析】
解：由题意得==
,=
,
当x=33时,y =
=
=
192=192=24(小时).故答案为24.
16.【答案】
【解析】解：设g(x )=,
则,
∵f'(x)>1-f(x),∴f(x)+f'(x)-1>0,∴g'(x)>0,∴y=g(x)在定义域上单调递增，
∵,∴g(x)>-1,又∵g (0)==-1,∴g(x)>g(0),∴x>0,∴不等式的解集为，
故答案为.
17.【答案】解：（1）数列{a n}满足：a1=1，a n+1=，
故：=，所以：（常数），
故：是以为首项，为公差的等差数列．………………5分
（2）由（1）得，解之得：；
所以，=lg3+lg（n+1）-lg n．………………7分
则：T n=（lg3+lg2-lg1）+（lg3+lg3-lg2）+…+（lg3+lg（n+1）-lg n），
=n lg3+lg（n+1），T999=3+999lg3 ………………10分
18.【答案】解：（1）因为，当n＝1时，，
当时，，所以，，由，
得，；………………6分
（2）由（1）知，，
所以，，
两式相减得：，
所以，．………………12分
19.【答案】解：（1）由余弦定理AC2=BA2+BC2-2BA•BC•cos B=57，
解得；又，解得；∴△ABC外接圆的半径R 为…………4分
（2）由AD=CD，所以∠DCA=∠DAC，所以θ=∠CAB-∠ACB=∠BAD；
由，得；…………6分
设BD=x，则DC=8-x，DA=8-x，在△ABD 中，
由余弦定理得，解得x=3；所以BD=3，DA=5；…………8分
由正弦定理，即，解得；…………10分
所以，即△ABC的面积为10．…………12分
20.【答案】解：（1）由题意，可得，
=2x +2x
-1=2x +2x =2(2x +)
由-+2
k2x
++2k,k Z得-+
k
x+k,k Z
又x (-3,3),f(x)在x(-3,3)上的单调增区间为(-3,-],[-,],[,3)………………6分
(2)由题意x (-,),f(x +)=2(2x +)=22x>0
原不等式等价于a 22x >6x
-x -1,即a >恒成立 ………………8分 令g (x )=
=
=
x
+1(
x
) ………………10分
因为
x
(-,),所以x =0,x =1时,g (x )的最大值为. 因此,a > ………………12分
21.【答案】解：（1）在
中，
所以
=OA =
，
,
由题意知， .………………2分
所以点P 到A ,B ,C 的距离之和为
故所求函数关系式为
..………………6分
（2）由（1）得
，..………………7分
令,即，又，从而...………………8分
当时，；当时,．
所以当时，取得最小值，………………10分
此时（km ），即点P 在OA 上距O 点km 处．
答：变电站建于距O 点km 处时，它到三个小区的距离之和最小．………………12分 22.【答案】解：（1）设切点的坐标为（t ，e t ）， 由f （x ）=e x 求导得f ′（x ）=e x ，
∴切线方程为y -e t =e t （x -t ），即y =e t x +（1-t ）e t ， 由已知y =e t x +（1-t ）e t 和y =kx +1为同一条直线， ∴e t =k ，（1-t ）e t =1，
令r （x ）=（1-x ）e x ，则r ′（x ）=-xe x ，
当x ∈（-∞，0）时，r ′（x ）＞0，r （x ）单调递增，
当x ∈（0，+∞）时，r ′（x ）＜0，r （x ）单调递减， ∴r （x ）≤r （0）=1，
当且仅当x =0时等号成立，∴t =0，k =1，..………………6分 （2）由于k =1，∴（m -x ）h ′（x ）＜x +1⇔（m -x ）（e x -1）＜x +1， ∵x ＞0，∴e x -1＞0，∴m ＜+x ，
令φ（x ）=
+x ，∴m ＜φ（x ）min ，φ′（x ）=
，
令t （x ）=e x -x -2，∵x ＞0，∴t ′（x ）=e x -1＞0，
∴t （x ）在（0，+∞）单调递增，且t （1）＜0，t （2）＞0，
∴t （x ）在（0，+∞）上存在唯一零点，设此零点为x 0，且x 0∈（1，2）， 当x ∈（0，x 0）时，φ′（x ）＜0，当x ∈（x 0，+∞）时，φ′（x ）＞0， ∴φ（x ）min =φ（x 0）=
+x 0，由t （x 0）=0，∴
=x 0+2，∴φ（x 0）=x 0+1∈（2，3），
又∵m ＜φ（x 0），m ∈Z ，∴m 的最大值为2．..………………12分。