二项式系数
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第二节 二项式定理
1.二项式定理：
(1)(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n .
(2)通项公式：
T r ＋1＝C r n a n －r b r (r ＝0,1,2,…,n )为展开式第r +1
项.
(3)展开式的特点：
共有n ＋1项；第r ＋1项的二项式系数为C r n ；
2.二项式系数的性质:
(1) C r n ＝C n －r n .
(2)若n 为偶数,中间一项n 2＋1的二项式系数最大； 若n 奇数,中间两项n ＋12、n ＋12＋1的二项式
系数相等并且最大．
(3) C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .
(4) C 1n ＋C 3n ＋C 5n ……＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋……＝2
n －1. 3.二项式中的最值问题
求(a ＋bx )n 展开式中系数最大的项，通常用
待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1设第r ＋1项系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2.
4.二项式定理的主要应用
(1)赋值求值；
(2)证明某些整除问题或求余数；
(3)证明有关等式与不等式；
(4)进行近似计算.
例1.(1)求1231393n n n n n n C C C C -++++的值。
(2)
求81
-展开式中含x 项的系数为？ (3)
求81-
展开式中所有x 的有理项。
练习1: (1＋x 3)(x ＋1x 2)6展开式中的常数项为_____． 例2.已知(x +2x 2)n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1.
(1)求展开式中各项系数和及二项式系数和；
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
例3.已知(3x －1)7＝a 0x 7＋a 1x 6＋…＋a 6x ＋a 7.
(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7的值；
(2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|的
值；
(3)求a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值．
解析(1)令x＝1，得a0＋a1…＋a7
＝(3×1－1)7＝27＝128.
(2)易知a1，a3，a5，a7为负值，
|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝a0－a1＋a2－…－a7
＝－(－a0＋a1－a2＋…＋a7)
－[3×(－1)－1]7＝47.
(3)令f(x)＝(3x－1)7，则
f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7，
f(－1)＝－a0＋a1－a2＋…＋a7.
∴2(a1＋a3＋a5＋a7)
＝f(1)＋f(－1)＝27－47.
∴a1＋a3＋a5＋a7＝26－213＝－8128.
题型五整除与余数问题
例5(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除(n∈N*)；
(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．
分析将已知的式子适当整理化简，再根据题目的要求选择合适的解法．
解析(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n－1
＝25n－1
2－1
＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1
＝C0n×31n＋C1n×31n－2＋…＋C n－1
n
×31＋
C n n－1
＝31(C0n×31n－1＋C1n×31n－1＋…＋C n－1
n
)，显然上式括号内为整数．
∴原式能被31整除．
(2)S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1
＝89－1＝(9－1)9－1
＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1
＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2
＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89－1)＋7.
显然上式括号内的数是正整数．
故S被9除的余数为7.
点评有关整除性问题是二项式定理的应用之一，其关键在于如何把问题转化为一个二项式，注意结合二项式的展开式和整除的有关性质解决问题.
变式迁移5
求1090除以7的余数．
解析解法一：1090＝10045＝(98＋2)45
它的展开式中除末项外，均能被7整除，其末项为：
245＝815＝(7＋1)15
其展开式除末项外，均能被7整除，末项为1，所以1090除以7余1.
解法二：1090＝100030＝(143×7－1)30.
它的展开式中除末项外，均能被7整除，其末项为1，故余数为1.
题型六证明不等式
例6求证：2≤(1＋1
n
)n＜3(n∈N*)．
证明当n＝1时，(1＋1
n
)n＝2.
当n≥2时，
(1＋1
n
)n＝1＋C1n·
1
n
＋C2n(
1
n
)2＋…＋C n n
(1
n )n＝1＋1＋C2n·
1
n2
＋…＋C n n·
1
n n
＞2.
又C k n·
1
n k
＝
n n－1…n－k＋1
k！n k
≤
1 k！
，