求曲线轨迹方程的五种方法

求曲线轨迹方程的五种

方法

Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

求曲线轨迹方程的五种方法

一、直接法

如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。

例1 长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。

解：设点P的坐标为（x，y），

则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a得

2)

2

x-

2(y

+

-=2a

2

0(

)0

化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程

点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。

二、定义法

如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。

例2 动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（）

A、直线

B、椭圆

C、双曲线

D、抛物线

解法一：由题意，动点P到点M（2，0）的距离等于这点到直线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。

解法二：设P点坐标为（x，y），则

|x+4|-2

2

-=2

x+

(y

)2

当x ≥-4时，x+4-22)2(y x +-=2化简得

当时，y 2=8x

当x ＜-4时，-x-4-22)2(y x +-=2无解

所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x

点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显，解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。

三、 代入法

如果轨迹点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程，此法称为代入法。

例3 P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线19

1622=-y x 上运动，则△F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是 。

解：设P （x 0，y 0），G （x ，y ），则有

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧++=+-=)00(31)4(3100y y x x x 即⎩⎨⎧==y y x x 3300，代入 191622=-y x 得19

91692

2=-y x 即116

922

=-y x 由于G 不在F 1F 2上，所以y ≠0

四、 参数法

如果轨迹动点P （x ，y ）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关的点可用时，可先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。

例4 已知点M 在圆13x 2+13y 2-15x-36y=0上，点N 在射线OM 上，且满足|OM|·|ON|=12，求动点N 的轨迹方程。

分析：点N 在射线OM 上，而同一条以坐标原点为端点的射线上两点坐标的关系为（x ，y ）与（kx ，ky ）（k ＞0），故采用参数法求轨迹方程。

解：设N （x ，y ），则M （kx ，ky ），k ＞0

由|OM|·|ON|=12得

)(222y x k +·22y x +=12

∴k （x 2+y 2）=12，又点M 在已知圆上，

∴13k 2x 2+13k 2y 2-15kx-36ky=0

由上述两式消去x 2+y 2得

5x+12y-52=0

点评：用参数法求轨迹，设参尽量要少，消参较易。

五、 交轨法

若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点方程，此法称为交轨法。

例5 已知A 1A 是椭圆12222=+b

y a x （a ＞b ＞0）的长轴，CD 是垂直于A 1A 的椭圆的弦，求直线A 1C 与AD 的交点P 的轨迹方程。

解：设P （x ，y ），C （x 0，y 0），D （x 0，-y 0），（y 0≠0）

∵A 1（-a ，0），A （a ，0），由A 1、C 、P 共线及A 、D 、P 共线得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=+a

x y a x y a x y a x y 0000 两式相乘并由122

0220

=+b y a x ，消去x 0，y 0，得，所求轨迹方程为122

22=+b

y a x （y ≠0） 点评：交轨法的难点是消参，如何巧妙地消参是我们研究的问题。