初中数学专题课程：相似三角形知识点总结

⑴画位似图形的一般步骤： ①确定位似中心； ②分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）； ③根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置； ④顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.
⑵位似中心的选取： ①位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外； ②位似中心可取在多边形的一条边上； ③位似中心可取在多边形的某一顶点上. 说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第
2、相似三角形的判定方法 预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理的基本图形语言：
数学符号语言表述是： DE // BC ∴ ADE ∽ ABC．
判定定理 1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述 为：两角对应相等，两三角形相似. 判定定理 2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形 相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定定理 3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简 述为：三边对应成比例，两个三角形相似. 判定定理 4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．
d :b = c:a．
知识点 3：比例线段的有关定理
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.（三角形中位线定理的逆定理）
推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.（梯形中位线定理的逆定理）
相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫 做相似比（或相似系数）
注意： （1）相似三角形是相似多边形中的一种； （2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； （3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；
（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”； （5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．
A
E
D B
1 C
D
2 A
1
C
B
③旋转型：已知 BAD = CAE ， B = D ，则△ ADE ∽△ ABC ，下图为常见的基本图形．
A E
D
B
C
④垂直型：已知 ACB = 90，AB ⊥ CD ，则△ CBD ∽△ ABC ∽△ ACD ．
C
补充：一线三垂直模型
A
D
B
A
C
B
E
D
解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形． 知识点6：与位似图形有关的概念 1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
拓展： （1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3）位似图形的对应边互相平行或共线. 2、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
拓展：位似图形有许多性质，它具有相似图形的所有性质. 3、画位似图形
相似三角形的判定及有关性质
知识点 1：比例线段的相关概念
比例线段：对于四条线段 a、b、c、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a = c bd
（或 a : b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．
⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．
⑶比例线段是有顺序的，如果说 a 是 b, c, d 的第四比例项，那么应得比例式为： b = d ． ca
知识点 2：比例的性质
基本性质：(1) a : b = c : d ad = bc ；(2) a : c = c : b c2 = a b ．
bd f
n
b+ d + f ++ n b
注意：实际上，由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如 ad = bc ，除
了可化为 a : b = c : d ，还可化为 a : c = b : d ，c : d = a : b ，b : d = a : c ，b : a = d : c ，c : a = d : b ，d : c = b : a ，
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
SAS
SSS
AAS（ASA）
HL

相似三角形的判定
两边对应成比 三边对应成比例 两角对应相等
例夹角相等
一条直角边与斜边对应成比例
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相 似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌 握的方法. 3、相似三角形的性质定理： （1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形的周长比等于相似比； （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方； （4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4、相似三角形的等价关系
放大或缩小.
重要总结 相似三角形中有关证明题或者求解题规律与辅助线作法 1、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理 (3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系 2、证明题常用方法归纳： （1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似” （2）找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母， 并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相 似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论. （3）找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字 母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代 换、等比代换、等积代换. 即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。
(1)反身性：对于任一 ABC有 ABC∽ ABC． (2)对称性：若 ABC∽ A' B'C' ，则 A' B'C' ∽ ABC． (3)传递性：若 ABC∽ A' B'C ，且 A' B'C ∽ ABC ，则 ABC∽ ABC ．
5、相似直角三角形 引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这两条直线平行于三角形的 第三边.（与三角形的中位线定理类似） 定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似. 定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 6、直角三角形的射影定理 从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段 的两个端点在这条直线上的正射影间的线段. 点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在 斜边上的射影与斜边的比例中项. 推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.
a = m , c = m ( m 为中间比) a = m , c = m , n = n'
①b n d n n
② b n d n'
a
=
m,
c
=
m'
(m =
m' , n
= n'或 m
=
m' )
③ b n d n'
n n'
（4） 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以 上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止. 注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即 得平行线）构造相似三角形或比例线段。 （5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
三边．
知识点:4：黄金分割
把线段 AB 分成两条线段 AC, BC( AC BC) ，且使 AC 是 AB和BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金
分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中 AC = 5 −1 AB 0.618AB ． 2
知识点 5：相似图形 1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）.
C
A
D
B
经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型
①平行线型：常见的有如下两种， DE ∥ BC ，则△ ADE ∽△ ABC
A
E
D
A
D
E
B
C
B
C
②相交线型：常见的有如下四种情形，如图，已知 1=B ，则由公共角 A 得，△ ADE ∽△ ABC
A
E C
B
1
D
A
E B
1D C
如下左图，已知 1=B ，则由公共角 A 得，△ ADC ∽△ ACB ；如下右图，已知 B = D ，则由对顶 角 1 = 2 得，△ ADE ∽△ ABC
反比性质(把比的前项、后项交换)： a = c b = d ． bd ac
合比性质： a b
=
c d
ab b
=
cd d
．发生同样和差变化比例仍成立．如：
a b
=
c d
b − a
a
a
−
b
a + b
= =
d −c c
c−d c+d
等等．
等比性质：如果 a = c = e = = m (b + d + f + + n 0) ，那么 a + c + e + + m = a ．