2021高考数学二轮复习专题练大题每日一题规范练第一周含解析.doc

大题每日一题规范练

星期一(数列) 2021年____月____日

【题目1】 在①b 1＋b 3＝a 2，②a 4＝b 4，③S 5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由.

设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，________，b 1＝a 5，b 2＝3，b 5＝－81，是否存在正整数k ，使得S k ＞S k ＋1且S k ＋1＜S k ＋2?

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 选条件①.

设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5

b 2＝－27，即q ＝－3，

所以b n ＝－(－3)n －

1.

从而a 5＝b 1＝－1，a 2＝b 1＋b 3＝－10， 由于{a n }是等差数列，所以a n ＝3n －16.

因为S k ＞S k ＋1且S k ＋1＜S k ＋2等价于a k ＋1＜0且a k ＋2＞0，

所以满足题意的k 存在当且仅当⎩

⎪⎨⎪⎧3（k ＋1）－16＜0，

3（k ＋2）－16＞0，

即k ＝4. 选条件②.

设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5

b 2＝－27，即q ＝－3，

所以b n ＝－(－3)n －

1.

从而a 5＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝27， 所以{a n }的公差d ＝－28.

因为S k ＞S k ＋1且S k ＋1＜S k ＋2等价于a k ＋1＜0且a k ＋2＞0，此时d ＝a k ＋2－a k ＋1＞0，与d ＝－28矛盾，所以满足题意的k 不存在.

选条件③.

设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5

b 2＝－27，即q ＝－3，

所以b n ＝－(－3)n －

1.

从而a 5＝b 1＝－1，由{a n }是等差数列得S 5＝5（a 1＋a 5）

2，

由S 5＝－25得a 1＝－9. 所以a n ＝2n －11.

因为S k ＞S k ＋1且S k ＋1＜S k ＋2等价于a k ＋1＜0且a k ＋2＞0，

所以满足题意的k 存在当且仅当⎩

⎪⎨⎪⎧2（k ＋1）－11＜0，

2（k ＋2）－11＞0，

即k ＝4.

星期二(三角) 2021年____月____日

【题目2】 已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的单调递增区间；

(2)若关于x 的方程f (x )＝a 在⎣⎡⎦⎤0，π

2上有解，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π

3，k ∈Z .

所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π

3，k ∈Z . (2)由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得－π6≤2x －π6≤5π

6. ∴－1≤2sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π

6≤2. 因为方程f (x )＝a 在⎣⎡⎦⎤0，π

2上有解， 所以实数a 的取值范围是[－1，2].

星期三(概率与统计) 2021年____月____日

【题目3】 微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 或点赞.现从小明的微信好友中随机选取40人(男、女各

20人)，记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如下表：

(1)若某人一天行走的步数超过8 000被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

(2)在小明这40位好友中，从该天行走的步数超过10 000的人中随机抽取3人，设抽取的女性有X 人，求X 的分布列及数学期望E (X ). 附：K 2＝

n （ad －bc ）2

（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）

，

解 (1)2×2列联表如下：

∴K 2＝

40×（13×12－7×8）2

20×20×21×19

≈2.506＜2.706，

∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.

(2)由已知得，小明这40位好友中，该天行走的步数超过10 000的人中男性有6人，女性有2人，现从中抽取3人，抽取的女性人数X 服从超几何分布，

X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 36C 38＝2056＝514，P (X ＝1)＝C 12C 26C 38＝3056＝1528，P (X ＝2)＝C 16C 2

2

C 3

8

＝656＝3

28

，

∴X 的分布列如下：

X 0 1 2 P

5

14

1528

328

∴E (X )＝0×514＋1×1528＋2×328＝3

4

.

星期四(立体几何) 2021年____月____日

【题目4】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点.

(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求二面角N －PC －A 平面角的余弦值.

(1)证明 ∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点，∴MN ∥P A . 又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .

在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°，又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ，CN ，MN ⊂平面CMN ， ∴平面CMN ∥平面P AB .

(2)解 ∵P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面P AC ， ∴平面P AC ⊥平面ACD ，

又DC ⊥AC ，平面P AC ∩平面ACD ＝AC ，DC ⊂平面ACD ， ∴DC ⊥平面P AC .

如图，以点A 为原点，AC 所在直线为x 轴，过点A 且平行于CD 的直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，