2016年北京大学自主招生数学试题

2016年北京大学自主招生数学试题

一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知

()π202sin 1cos cos 1sin 2

2

<<=--

-x x

x x

x ，则x 的取值范围是（）

A．⎪

⎭

⎫ ⎝⎛2,0πB．⎪

⎭

⎫

⎝⎛ππ,2C．⎪

⎭⎫ ⎝

⎛23,ππD．前三个答案都不对2．()()()()12121212201632++++ 的个位数字是（

）

A．1B．3C．5D．前三个答案都不对

3．点P 位于ABC ∆所在的平面内，使得P AB ∆,PBC ∆,PCA ∆的面积相等，则满足题意的点P 有（）A．1个B．3个C．5个D．前三个答案都不对4．记()n f 为最接近n 的整数，其中*∈N n ．若()()()201612111=+++m

f f f ，则正整数m 的值为（）A．1015056

B．1017072C．1019090D．前三个答案都不对

5．实数x ,y ,z 满足2016=++z y x ，2016

1

111=++z y x ，则()()()=

---201620162016z y x （）A．0

B．1C．−1D．前三个答案都不对6．方程组()

⎪⎩⎪⎨⎧+==--c b a abc c b a 2,

32333的非负整数解有（

）

A．1组B．4组C．5组D．前三个答案都不对

7．4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为（）A．2

22+B．3

22+C．6

22+D．前三个答案都不对

8．将1,2,⋯,100分成三组，使得第一组数的和为102的倍数，第二组数的和为203的倍数，第三组和为304的倍数．则不同的分法共有（）A．1种B．2种C．3种D．前三个答案都不对二、填空题．

9．已知()432+-=x x x f ，()x g 为整系数多项式，()()a x x x x x g f ++++=6950183234,则()x g 的各项系数之和为_______．

10．54张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第_______张．

11．用高斯函数[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则方程[][]

12001200212001200222+=+n n 的正整数解有_______个．

12．空间中的一点()z y x P ,,满足*∈∃N n ，使得183≤++n

n n z y x 成立，则所有满足要求的点

P 所形成的空间几何体的体积为_______．

参考答案与解析

1．B．

根据题意，有0sin >x ，0cos

因为5122=+，且对于任意正整数k ，都有12+k 为奇数，所以

()()()()()

10mod

512121212201632

≡++++ .

3．D．

考虑到平面内使△PAB 和△PBC 的面积相等的点的轨迹为直线BM 以及过点B 且与AC 平行的直线，其中M 为边AC 的中点，因此满足题意的点P 有4个：△ABC 的重心，或者由P,A,B,C 四点所构成的平行四边形的顶点．

4．B．

若()k n f =，则k k n k k +≤≤+-221,所以

()()()()()(),

,26543,

121 ======f f f f f f ,进而有()()()1008

1

201631621412121112016⋅

++⋅+⋅+⋅=+++=

m f f f

,故10170722016642=++++= m ．

5．A．

7．C．

棱长为a 的正四面体的内切球半径为

a 12

6

．设4个半径为1的球的球心分别为1O ，2O ,3O ,4O ,则正四面体4321O O O O 的棱长为2，故其内切球半径为

6

6

．设这4个球的外切正四面体为ABCD ，则正四面体ABCD 的内切球半径为6

6

1+

，故正四面体ABCD 的棱长为622+．8．D．

假设这样的分法存在，设三组数的和分别为x 102,y 203,z 304，*∈N z y x ,,，则

5050304203102=++z y x ,

即

()()5010132101⨯=+++++z y x z y x ,

于是

z y x ++|101,

因此101≥++z y x ．而此时

()5050102304203102>++>++z y x z y x ,

矛盾．故不存在满足题意的分法．

易知()x g 为二次多项式，设()r qx px x g ++=2，则

()()()()()

()4366363432223422+-+-+-+++=+-=r r x q qr x p pr q pqx x p x g x g x g f ,

对比系数，依次解得1=p ，3=q ，4=r ，48=a ．故()x g 的各项系数之和为8．10．44．

每一轮剩下的牌依次是

2,4,6,⋯,52,54,4,8,12,⋯,48,52,4,12,20,⋯,44,52,

12,28,44,12,44,44.

11．4002．

所以200120021200120022⋅=+．于是原方程等价于

解得2001120012++

12．3

1．

考虑第一卦限，只需要()1,0,8,3∈z y x 即可．因此所有满足要求的点P 所形成的空间几何体为