《理论力学》第八章 刚体的平面运动习题解
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八章 刚体的平面运动习题解
[习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。
解：
椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为：
t r r x C 0cos cos ωϕ== t r r y C 0sin sin ωϕ==
t 0ωϕ-=（顺时针转为负）。
[习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点
的平面运动方程。
解：
αω
=dt
d dt d αω=
1C t +=αω
100C +⨯=α 01=C
t αω=
t dt
d αωϕ
== tdt d αϕ=
222
1C t +=αϕ
22021
0C +⨯=α
02=C
22
1t αϕ=
2cos )(cos )(2
t r R r R x A αϕ+=+= 2
sin
)(sin )(2
t r R r R y A αϕ+=+=
A A r t r R OA v ωαω=⋅+=⋅=)(
t r
r
R A αω⋅+=
t r
r
R dt d A αϕ⋅+= dt t r
r
R d A ⋅⋅+=
αϕ 32
2
C t r r R A +⋅⋅+=αϕ
32020C r
r
R +⨯⋅+=
α 03=C
22t r
r
R A αϕ⋅+=
故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为：
2
cos )(2
t r R x A α+= 2
sin
)(2
t r R y A α+=
22t r
r
R A αϕ⋅+=
[习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。
已知：如图所示，CB AC =，
→A v ，→
B v
求证：)(2
1→
→→
+=B A C v v v
证明：
→
1
v
→
→→→→⋅+=+=AB A BA A B AB v v v v ω
)(21)(2121→
→→→→→→
→
→→+=-+=⋅+=+=B A A B A AB A CA
A C v v v v v A
B v v v v ω 。本题得证。
[习题8-4] 两平行条沿相同的方向运动，速度大小不同：ｖ1＝６ｍ／ｓ， ｖ２＝２ｍ／ｓ。齿条之间夹有一半径ｒ＝０.5ｍ的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心Ｏ的速度。 解：
运动分析如图所示。其中，I 为速度瞬心。
1
5
.0262=--o v )/(4242
1
0s m v =+⨯=
（齿轮中心O 的速度，方向如图所示。） 266
1-=
AI )(5.1m AI =
齿轮的角速度为：
)/(45
.16
1s rad AI v ===
ω [习题8-5] 用具有两个不同直径的鼓轮组成的铰车来提升一圆管，设ＢＥ∥ＣＤ，轮轴的转速ｎ＝１０ｒ／ｍｉｎ，ｒ＝５０ｍｍ，Ｒ＝１５０ｍｍ，试求圆管上升的速度。 解：
)/(047.160
10
14.32602s rad n =⨯⨯==
πω )/(05.157047.1150s mm R v E =⨯==ω（向上）
→
E
v D
x
)/(35.52047.150s mm r v D =⨯==ω（向下）
钢管作平面运动，其中心的速度（习题8－3结论）为：
)/(35.52)35.5205.157(2
1
0s mm v =-=
（方向：向上。） [习题8-6] 两刚体Ｍ，Ｎ用铰Ｃ连结，作平面平行运动。已知ＡＣ＝ＢＣ＝６００ｍｍ，在图示位置，ｖＡ＝２００ｍｍ／ｓ， ｖＢ＝１００ｍｍ／ｓ，方向如图所示。试求Ｃ点的速度。 解：
→
→
→
+=CB B C v v v BC C BC B v v ][][→
→
= Cx v =0 0=Cx v
→
→→+=CA A C v v v AC C AC A v v ][][→
→
=
0030cos 30cos cy A v v -=
)/(200s mm v v A cy =-=
s mm v v cy C /200-==（方向沿着负y 轴方向）
[习题8-7] 题8-６中若ｖＢ与ＢＣ的夹角为６０°，其它条件相同，试求Ｃ点的速度。
→
B
v x
x
解：运动分析如图所示。
→
→→+=CB B C v v v BC C BC B v v ][][→
→= Cx B v v =060cos
)/(505.0100s mm v Cx =⨯=
→
→→+=CA A C v v v AC C AC A v v ][][→
→
=
00060cos 30cos 30cos cx cy A v v v +-=
5.05086
6.0866.0200⨯+⨯-=⨯cy v 25866.02.173+⨯-=cy v
)/(13.171866
.02
.17325s mm v cy -=-=
)/(29.178)13.171(50222
2
s mm v v v cy cx c =-+=+=
071.7329
.17850arccos arccos
===c cx v v α
[习题8-8] 杆ＯＢ以ω＝２ｒａｄ／ｓ的匀角速度绕Ｏ转动，并带动杆ＡＤ；杆ＡＤ上的Ａ点沿水平轴Ｏｘ运动, Ｃ点沿铅垂轴Ｏｙ运动。 已知ＡＢ＝ＯＢ＝ＢＣ＝ＤＣ＝１２０ｍｍ，求当φ＝４５°时杆上Ｄ点的速度。