第六章6.4 最 大 流 问题
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到收点的最大流流量等于该网 络最小割的割容量。
＃
四、标记化方法（标号算法） 步骤与举例：
1．确定初始可行流。
如果没有给定，也难以观察得出，则 将零流作为初始可行流； 2．标号过程（目的是用标号法寻求增广链） （1）标号的意义——符号vi（vj , i）表示 vi点的标号是（vj，i） ，其中vj表示点vi 的标号来自vj ， i 表示流量的修正量。
3． 割（割集、截集）： 设V为网络中所有顶点的集合， 将V剖分为两个子集 S 和 S ，满足:
S S S S V sS t S 称弧集 (S , S )为分离起点和终点的的割集。组
成割集的各条弧容量之和称为割容量（截 量），所有割集中容量最小的割集称为最 小割。
4、弧的分类
（1）在可行流X={xij}中，按流量的特征 分有： ①饱和弧——xij=bij ②非饱和弧——xij<bij ③零流弧——xij=0 ④非零流弧——xij>0
（2）在容量网络中从起点vs到收点vt 的一条链中，按弧的方向分 ①前向弧（正向弧）——与链的方向 一致的弧。前向弧全体记为μ+；
②后向弧（反向弧）——与链的方向 相反的弧。后向弧全体记为μ_； 其中,链的方向规定为:
从起点vs指向终点vt。
(3)按点来分 任一顶点vi处，流入的弧称为对 节点vi的后向弧，流出的弧称为对节 点vi的前向弧。
重复步骤二，但要注意把vs换成已得
到标号的点；可能出现两种结局： a.标号过程中断，收点得不到标号。 说明该网络中不存在增广链，现行的可 行流就是最大流； b.收点得到标号，反向追踪即可找到 一条从起点到收点由标号点及相应的弧连 接而成的增广链。
3．调整过程：
j
修改流量，其中流量调整量 min j ，
给出初始流如下
(2)标号过程
给起点标上标号（-，+∞）；
考察起点的所有相邻未标号点：
对正向弧(vs,vj ) ， 检查其是否饱和？
是，则不加标记；不是，则加标记为(vs+, j)， 其中 j =csj-xsj；
对反向弧检查其是否是零流弧？ 是，则不加标记；不是，则加标记为(vs-, j)， 其中 j =xsj；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
j指增广链上所有弧的流量修正量；
调整方法： 在增广链的正向弧上增加 ； 反向弧上减少 ； 其它弧上流量不变。
（3）用上述同样的方法对修正流量后的网 络图再次进行标记化工作，得各顶点的标 号如下：
起点vs（- ， ），顶点v2（vs+，2） 顶点v3、v4、v5、v6等都不能标记。因 此，终点也就得不到标记，即已不存在流 量修正路线。故流量修正工作到此为止。
二、什么是最大流问题？
在满足容量限制条件和中间点平 衡条件的要求下，求取流量值达到 最大的可行流的一类优化问题。简 言之，是求容量网络中具有最大流 量值的可行流问题。
所求出的该可行流称为最大流。
三、Ford-Fulkerson标记化方法的 理论基础——最大流最小割定理 （最大流量最小截量定理）
在任一容量网络中，从发点
6-4 最 大 流 问 题
一、基本概念
1．容量网络：
– （1） 容量：有向图中，每条弧上给出 的最大通过能力（即加在每条弧上的最 大可能负载）称为该弧的容量。记为: C（vi，vj）或Cij，也常记为bij。 – （2） 容量网络：对所有的弧都给出了 容量的有向网络，记为D=（V，A，C） 或D=（V，A，B）。
（3）可行流：在容量网络上，满足容量限 制条件和中间点平衡条件（连续性定理）的图 上的流。 即 0≤Xij≤bij;
is f xij x ji 0 i s, t ( i , j )A ( j ,i )A f it
其中f为网络中从起点s到终点t的流量。 问： 零流是不是可行流？
例：
S e6 e1
V1
e7
e8
V3
e5 e4
V4
e2
V2
T
e3
e9
：{S，e1，V1，e2，V2，e3，V4，e4，V3，e5，T}
5.增广链（流量修正路线）： 设χ是一可行流，μ是从起点vs到终点 vt的一条链，若μ满足下面两个条件，则 称μ为关于可行流χ的一条增广链（或流 量修正路线）： ①在弧（vi，vj）∈μ+上， 0≤xij<bij（即前向弧均为非饱和弧） ②在弧（vi，vj）∈μ-上， 0 < xij≤bij（即后向弧均为非零流弧）
（1）求v1到v10的最大流及最大流量； （2）求最小割集和最小割量。
2．流与可行流
（1）流：①弧上的流——网络中加在弧上的负载 量。记为fij或xij。 ②图上的流——加在网络中各条弧上
的一组负载量（即定义在弧集上的一个函数）。 记为 f={f（vi，vj）}={fij}或X={xij} （2）零流：若网络上所有弧上的流均为0，即对 所有的i和j，都有xij=0，则称相应的图上的流为 零流。
图2就是最大流量网络图，由图中可 知最大流流量为20。
第一轮标号：得到一条增广链，调整量等 于5，如下图所示
调整流量。
第二轮标号：得到一条增广链，调整量等 于2，如下图所示
调整流量。
第三轮标号：得到一条增广链，调整量等 于3，如下图所示
调整流量。
第四轮标号：不存在增广链，最大流量等 于45，如下图所示
取
V1 {v1, v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v8},V1 {v7 , v9 , v10}
最小截集{(3,7),(4,7),(6,9),(8,10)，最小截量等于45。
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四、标记化方法（标号算法） 步骤与举例：
1．确定初始可行流。
如果没有给定，也难以观察得出，则 将零流作为初始可行流； 2．标号过程（目的是用标号法寻求增广链） （1）标号的意义——符号vi（vj , i）表示 vi点的标号是（vj，i） ，其中vj表示点vi 的标号来自vj ， i 表示流量的修正量。
3． 割（割集、截集）： 设V为网络中所有顶点的集合， 将V剖分为两个子集 S 和 S ，满足:
S S S S V sS t S 称弧集 (S , S )为分离起点和终点的的割集。组
成割集的各条弧容量之和称为割容量（截 量），所有割集中容量最小的割集称为最 小割。
4、弧的分类
（1）在可行流X={xij}中，按流量的特征 分有： ①饱和弧——xij=bij ②非饱和弧——xij<bij ③零流弧——xij=0 ④非零流弧——xij>0
（2）在容量网络中从起点vs到收点vt 的一条链中，按弧的方向分 ①前向弧（正向弧）——与链的方向 一致的弧。前向弧全体记为μ+；
②后向弧（反向弧）——与链的方向 相反的弧。后向弧全体记为μ_； 其中,链的方向规定为:
从起点vs指向终点vt。
(3)按点来分 任一顶点vi处，流入的弧称为对 节点vi的后向弧，流出的弧称为对节 点vi的前向弧。
重复步骤二，但要注意把vs换成已得
到标号的点；可能出现两种结局： a.标号过程中断，收点得不到标号。 说明该网络中不存在增广链，现行的可 行流就是最大流； b.收点得到标号，反向追踪即可找到 一条从起点到收点由标号点及相应的弧连 接而成的增广链。
3．调整过程：
j
修改流量，其中流量调整量 min j ，
给出初始流如下
(2)标号过程
给起点标上标号（-，+∞）；
考察起点的所有相邻未标号点：
对正向弧(vs,vj ) ， 检查其是否饱和？
是，则不加标记；不是，则加标记为(vs+, j)， 其中 j =csj-xsj；
对反向弧检查其是否是零流弧？ 是，则不加标记；不是，则加标记为(vs-, j)， 其中 j =xsj；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
j指增广链上所有弧的流量修正量；
调整方法： 在增广链的正向弧上增加 ； 反向弧上减少 ； 其它弧上流量不变。
（3）用上述同样的方法对修正流量后的网 络图再次进行标记化工作，得各顶点的标 号如下：
起点vs（- ， ），顶点v2（vs+，2） 顶点v3、v4、v5、v6等都不能标记。因 此，终点也就得不到标记，即已不存在流 量修正路线。故流量修正工作到此为止。
二、什么是最大流问题？
在满足容量限制条件和中间点平 衡条件的要求下，求取流量值达到 最大的可行流的一类优化问题。简 言之，是求容量网络中具有最大流 量值的可行流问题。
所求出的该可行流称为最大流。
三、Ford-Fulkerson标记化方法的 理论基础——最大流最小割定理 （最大流量最小截量定理）
在任一容量网络中，从发点
6-4 最 大 流 问 题
一、基本概念
1．容量网络：
– （1） 容量：有向图中，每条弧上给出 的最大通过能力（即加在每条弧上的最 大可能负载）称为该弧的容量。记为: C（vi，vj）或Cij，也常记为bij。 – （2） 容量网络：对所有的弧都给出了 容量的有向网络，记为D=（V，A，C） 或D=（V，A，B）。
（3）可行流：在容量网络上，满足容量限 制条件和中间点平衡条件（连续性定理）的图 上的流。 即 0≤Xij≤bij;
is f xij x ji 0 i s, t ( i , j )A ( j ,i )A f it
其中f为网络中从起点s到终点t的流量。 问： 零流是不是可行流？
例：
S e6 e1
V1
e7
e8
V3
e5 e4
V4
e2
V2
T
e3
e9
：{S，e1，V1，e2，V2，e3，V4，e4，V3，e5，T}
5.增广链（流量修正路线）： 设χ是一可行流，μ是从起点vs到终点 vt的一条链，若μ满足下面两个条件，则 称μ为关于可行流χ的一条增广链（或流 量修正路线）： ①在弧（vi，vj）∈μ+上， 0≤xij<bij（即前向弧均为非饱和弧） ②在弧（vi，vj）∈μ-上， 0 < xij≤bij（即后向弧均为非零流弧）
（1）求v1到v10的最大流及最大流量； （2）求最小割集和最小割量。
2．流与可行流
（1）流：①弧上的流——网络中加在弧上的负载 量。记为fij或xij。 ②图上的流——加在网络中各条弧上
的一组负载量（即定义在弧集上的一个函数）。 记为 f={f（vi，vj）}={fij}或X={xij} （2）零流：若网络上所有弧上的流均为0，即对 所有的i和j，都有xij=0，则称相应的图上的流为 零流。
图2就是最大流量网络图，由图中可 知最大流流量为20。
第一轮标号：得到一条增广链，调整量等 于5，如下图所示
调整流量。
第二轮标号：得到一条增广链，调整量等 于2，如下图所示
调整流量。
第三轮标号：得到一条增广链，调整量等 于3，如下图所示
调整流量。
第四轮标号：不存在增广链，最大流量等 于45，如下图所示
取
V1 {v1, v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v8},V1 {v7 , v9 , v10}
最小截集{(3,7),(4,7),(6,9),(8,10)，最小截量等于45。