13-第十三章压杆稳定讲解

第十三章 压杆稳定

§13.1 压杆稳定的概念

构件受外力作用而处于平衡状态时，它的平衡可能是稳定的，也可能是不稳定的。 一、压杆稳定

直杆在压力作用下，保持原直线状态的性质。 二、失稳（屈曲）

压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡。 三、临界压力

压杆保持其直线状态的最小压力，cr F 。

§13.2 两端铰支细长压杆的临界压力

在压杆稳定性问题中，若杆内的应力不超过材料的比例极限，称为线弹性稳定问题。

图示坐标系中，距原点为x 的任一截面的挠度为y ， 则该截面得弯矩为：y F M(x )cr =

代入挠曲线近似微分方程，即EI

M(x )

-y d 2

2=dx 得： EI

F k k dx cr y ,0y y d 2

22

2==+ 方程通解为：0cos Asin y =+=kx B kx 由杆端的边界条件：0y 0===时，和l x x

求得 ： 0Asin ,0==kx B 解得：

),2,1,0(⋅⋅⋅⋅==

n l

n k π2

2

2

F l EI

n cr π= 除n=0外，无论n 取何值，都有对应的cr F ，1n =压杆失稳时的最小荷载是临界载荷

2

2F l

EI cr π=

上式称为两端铰支细长压杆的临界荷载的欧拉公式。杆越细长，其临界载荷越小，即杆越容易失稳。对两端铰支细长压杆，欧拉公式中的惯性矩I 应是横截面最小的惯性矩，即形心主惯性矩中的做小值m in I

§13.3其他支座条件下细长压杆的临界压力

几种常见约束方式的细长压杆的长度因数与临界载荷

例题：两端铰支压杆如图11-8所示，杆的直径20mm d =，长度800mm l =，材料为Q235钢，200GPa E =，200MPa p σ=。求压杆的临界载荷cr F 。

解：根据欧拉公式

239412

22

20010201024.2kN ()64(10.8)

cr EI F l ππμ-⨯⨯⨯⨯===⨯⨯ 此时横截面上的正应力

3

cr P 26

424.21077MPa 2010

F A σσπ-⨯⨯===≤⨯⨯ 图 11-8

上式表明压杆处于弹性范围，所以用欧拉公式计算无误。

§13.4 压杆的临界压力

一、临界应力和柔度

A

A F 2

2cr ）（l EI cr μπσ== 上式中的惯性矩I 可用横截面面积A 和惯性半径i 表示，即2A I

i =代入上式得：

222

22

22λπμπμπσE i

l E l EIi cr ===）（）（ λ 是一个量纲为1的量，称为压杆的柔度或长细比。 二、欧拉公式的适用范围

欧拉公式的适用范围是临界应力cr σ不超过材料的比例极限p σ，即：

p 22σλ

πσ≤=E cr ， p E σπλ2≥

令： p

p E

σπλ2=

p λ是压杆应用欧拉公式的最小柔度值。满足p λλ≥的压杆，称为大柔度杆或细长杆 p λ仅取决于压杆材料的力学性能，而与截面形状和杆端约束力无关。

三、超过比例极限的压杆稳定性问题

1. 直线公式：λσb a cr

-=（a 、b 是与材料有关的常数）。 令s cr σσ=，则b

a cr

s σλ-=

直线公式的适用范围为： p s λλλ<≤

满足p s

λλλ<≤的压杆称为中柔度杆或中长杆，其临界应力为s σλσ<≤p

2. 抛物线公式 ：2

1

1λσb a cr -=（a 、b 是与材料有关的常数）。 对于中、小柔度压杆的临界应力，也可采用抛物线公式计算。 四、临界应力总图

例题

1. 两端用球铰支撑的钢柱，已知其矩形横截面的尺寸为mm 100mm 60⨯=⨯h b ，钢的弹性模量MPa 200=E ，其比例极限MPa 240=p σ。试用欧拉公式计算压杆稳定问题的最短柱长。

解： mm 3.173

260

12A 3min min ====

bh hb I i 7.9010

240102006

9

22=⨯⨯⨯==πσπλp p E 由p λμλ≥=

i

l

，并注意1=μ，可得：

m 57.13.177.90min =⨯=≥i l p λ

若柱的长度不超过1.57米，它在失稳时的临界应力就不会超过材料的比例极限。

2. 如图11-10所示，压杆的横截面为15mm d =的圆截面，两端铰支，杆长200mm l =，

材料的210GPa E =，200MPa p σ=，240MPa s σ=，304MPa a =， 1.12MPa b =。试求压杆的临界载荷cr F 。

解：梁为两端铰支的圆截面，

故惯性半径4

d i ===，长度因数1μ=，柔度为

441200

8010

l

l i

d μμλ⨯⨯=

=

==。

s

σp σ

s

p

101.8p λ===

304240

57.11.12

s s a b λ--=

==

即p s λλλ<<，该压杆是中柔度杆，其临界应力选用直线公式来计算，为

()304 1.1280214MPa cr a b σλ=-=-⨯=

压杆的临界载荷为

()

2

2

60.012141016

4

4cr cr cr d F A ππσσ==

=

⨯⨯=

§13.5 压杆的稳定校核

一、安全因数法

st cr

n P

P n ≥=

二、折减因数法

[][]σϕσσ=≤=

W A

F

[]st

n cr W σσ=，ϕ是折减因数，并且1≤ϕ

例题：

1. 图11-11所示的钢柱长，两端固定，材料是Q235钢，200GPa E =。规定的稳定安全系数3st n =，横截面由两个10号槽钢组成。试求当两槽钢靠紧［如图11-11（a ）所示］和离开［如图11-11（b ）所示］时钢柱的许可载荷。

x

x