常微分方程教案(东北师大版)1_7高阶可降阶方程

dx
y arcsin = b ± x
a
y = a sin(b ± x)
通讯作者：席伟
2
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或 三、恰当导数方程
y = C1 sin x + C2 cos x
方程形式：
F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0
若存在ϕ，满足
将换元y(k) = z代入，得
y(k) = z(x, C1, · · · , Cn−k) 积分k次，得原方程通解.
例：求解方程
d5y 1 d4y dx5 − x dx4 = 0
解：设z
=
d4y dx4
，则方程化为
dz z =
dx x
通解为z = Cx，代入换元得 积分四次，得原方程通解
d4y dx4 = Cx
d Φ(x, y, y′, · · · , y(n−1)) = 0 dx
称方程为恰当导数方程.
解法：方程降阶为
ϕ(x, y, y′, · · · , y(n−1)) = C
例：求解方程
yy′′ + y′2 = 0
解：方程化为
d (yy′) = 0 dx
所以，得yy′ = C1，积分，得通解
y2 = C1x + C2
dy
求解，得p = p(y, C)，代入换元，得
y′ = p = p(y, C)
积分，可求得通解.
例：求解方程
y′′ + y = 0
解：设y′
=
p，则y′′
=
p
dp dy
，代入方程，得
dp p +y=0
dy
积分，得
p2 = a2 − y2
从而，有 积分，得原方程通解 化简，得
p
=
dy
=
√ ± a2
− y2
解：设y′ = p，代入，得
pp′′ − p′2 = 2p′2
方程两端同乘
1 p2
，化简，得
( p′ )′ = 2( p′ )2
p
p
积分，得 积分，得 解得 即，有 积分，得通解
p′
1
−=
p 2x + C1
1 ln|p| = − 2 ln|2x + C1| − ln|C2|
1 p= √
C2 2x + C1 y′ = √ 1
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第一章 初等积分法
§1.7 高阶可降阶方程
一、类型1
方程形式：
F (x, y(k), y(k+1), · · · , y(n)) = 0 (k ≥ 1)
解法：设y(k) = z，原方程化为
F (x, z, z′, · · · , z(n−k)) = 0
求解，得通解 z = z(x, C1, · · · , Cn−k)
例：求解方程
yy′′ − y′2 = 0
解：方程化为
yy′′ − y′2 d y′
y2
= ( )=0 dx y
所以，y′ = C1y，积分，得通解
y = C2eC1x
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四、课堂练习
例：求解方程
3y′′2 − y′y′′′ = 0
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即，得
yy′ − xy′ − y − (x + cos x) = C
或 (y − x)dy − (C + y + x + cos x)dx = 0
方程为全微分方程，取(x0, y0) = (0, 0)，原方程通解为
y2 − 2xy = x2 + 2 sin x + C1x + C2
五、作业
P 49 1, 2, 4, 5, 7
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y = C1x5 + C2x3 + C3x2 + C4x + C5
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二、类型2
方程形式：
F (y, y′, y′′) = 0
解法：设y′ = p，则
y′′
=
dp
=
dp dy
=
dp p
dx dy dx dy
代入，得
dp F (y, p, p ) = 0
C2 2x + C1 √ y = C2 2x + C1 + C3
例：求解方程
(y − x)y′′ + y′2 − 2y′ = 1 − sin x
解：原方程化为
(yy′)′ − (xy′)′ − y′ = (x + cos x)′
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