第5章 刚体的定轴转动

F3 r F1 d r1 F2
M M1 M 2 M n
是各分力产生的力矩的代数和. （4） 一对内力对转轴的力矩 由于成对内力大小相等,方向相反 则其力臂必相同.故力矩大小相等.
M1 F1 r1 sin 1 F1d M 2 F2 r2 sin 2 F2 d
L J J 0 0
5.2.5、刚体定轴转动的角动量守恒定律 dL 在M 中，若M 0 dt 则L 常矢量，即L （J C） 0
当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量 保持不变。——角动量守恒定律 角动量守恒的条件
M = 0的原因，可能 F＝0；r = 0; F∥r ； 在定轴转动中还有M ≠0，但力与轴平行，即Mz=0 ,
5.2.1力对转轴的力矩 (1) 力在转动平面内 Z Mz O r f d P
转动平面 力矩 M z r f
M z rf sin
M z rf
方向：右手螺旋法则
转动平面
任意方向Байду номын сангаас力对转轴 的力矩
取其在转动平面内的分力 f 2 产生力矩。
（3） 几个外力产生的合力矩 M M1 M 2 M n 如果是定轴转动:
J A A J B B JA JB
为两轮啮合后共同转动的角速度
在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分 机械能将转化为热量，损失的机械能为 1 1 1 2 2 E J A J B J A J B 2
例：某种电动机启动后转速随时间变化的关系为： t 0 9 0rad s 1 0 (1 e ), 式中 2 0s
求： ⑴t =6 · s时的转速 ； 0 ⑵角加速随时间变化的规律； ⑶启动后6 · s 内转过的圈数。 0 解：⑴根据题意转速随时间的变化关系， 将t =6 · s 代入，即 0 t 得： 1
1 2 0 0 t t 2
但是 非匀变速转动时：
2

积分
求导

积分
求导

三、角量与线量的关系
线量 速度、加速度
v r at r v a n r r
2 2
角量
角速度、角加速度
一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都相同； 各点的线速度 v 与各点到转轴的距离 r 成正比， 距离越远，线速度越大；同样，距离越远处，其切 向加速度和法向加速度也越大。
例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一
静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子 弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l ,质量为M. 解: 以 f 代表棒对子弹的阻力,对子弹有: 3 fdt m(v v0 ) 4 mv0 子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为： M

因
f ' f ， 由两式得
f 'ldt l f ' dt J
3mv0l 9mv0 1 2 这里J Ml 4J 4Ml 3
v0
m
v
请问:子弹和棒的总动量守恒吗? 不守恒—上端有水平阻力 总角动量守恒吗?
v0 mv0l m l J 4
例2 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转 动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动 惯量为JA，B的转动惯量为JB 。开始时A轮的转速为nA，B轮静止 。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮 A A B B 的机械能有何变化？
对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守 恒。
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止， 原来转动的将永远转动下去。
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 统的角动量依然守恒。J 大→ 小,J 小→ 大。
C C 解 以飞轮A、B和啮合器C作为 一系统来考虑，在啮合过程中， 系统受到轴向的正压力和啮合器 A 间的切向摩擦力，前者对转轴的 力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受 到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得
J A A J B B＝ J A J B
当M z 0时， Lz J11 J 2 2 恒量
例如：花样滑冰运动员的“旋”动作，当运 动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢； 收臂时转动惯量减小，转速加快。 再如：跳水 c.角动量守恒定律，不仅适用于宏观、低速 领域，而且通过相应的扩展和修正后也适用 于微观、高速（接近光速）的领域，是比牛 顿力学理论更为普适的物理定律
d 加速转动 方向一致 减速转动 方向相反 dt 线速度与角速度的关系： v r

在刚体作匀变速转动（角加速度是 常量）时， 相应公式: 类似于 0 t 2 2 匀变速直线运动 0 2 ( 0 ) 0
0
P

0
o
x
刚体的角位移
明确：
0
参考方向
角位移较大时是标量；
角位移很小时是矢量。
0
时是矢量。
刚体运动学中所用的角量关系如下：


角速度
r
角加速度 v d d 2 dt dt 2
d dt
角量方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。角速度 是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示 角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向。
5.1.3 刚体的运动及描述
（只讨论定轴转动） 定轴转动：刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动。
o
转轴
各质元均作圆周运动，其圆心 都在一条固定不动的直线（转 轴）上。各质元的线量一般不 同（因为半径不同）但角量 （角位移、角速度、角加速度） 都相同。
∴描述刚体整体的运动用角量最方便。
角位移:描写刚体位臵变化的物理量。 刚体初始角坐标 末态角坐标
如果略去滑轮的运动 ，即T1=T2=T 、J=0 ，有：
m1 m2 a g m1 m2
2m1m2 T T1 T2 g m1 m2
上题中的装臵叫阿特伍德机，是一种可用来测量 重力加速度g的简单装臵。
5.2.2、刚体定轴转动的角动量 质点对点的角动量为：
ri
Z
m i
vi
0 (1 e ) 0 95 0 8 6(rad s )
d 0 t t e 4 5e (rad s 2 ) ⑵角加速度随时间变化的规律为： dt
⑶ t =6 · s 时转过的角度为 0
t

6s
0
dt 0 (1 e )dt

t
t0
L Mdt dL L L0
L0
Mdt dL
冲量矩（角冲量） 单位： 牛顿· 秒 米· 表示合外力矩在t0t 时间内的累积作用。
角动量定理
J不变时， Mdt L J J 0
t t0
作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。
J 改变时
转轴
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4
刚体的运动及描述 刚体定轴转动 转动惯量的计算 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动及描述
•刚体（rigid body） 任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位臵保持不变。 （或任意两点之间的距离始终保持不变） •自由度 ——完全描述运动所需的独立坐标数 （确定物体的空间位置）
式中J MR
1 2
2
且由角量与线量的关系，有：a =R ⑷ 解联立方程组⑴、⑵、⑶和⑷ ，可得：
m1 m2 a g 1 m1 m2 2 M
2m2 1 M 2 T1 m1 g 1 m1 m2 2 M
2m1 1 M 2 T2 m2 g 1 m1 m2 2 M
dM 阻 dmgx
1 M 阻 mgl 2
1 2
l M 阻 dM 阻 0 gxdx gl2
由细杆质量
m l 有
第二类问题：已知J 和力矩M ：求出运动情况a和 及F。 N 如图，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳 M R 的两端分别悬有质量为m1 和m2的物体， T2 且m1 ＞m2 。设定滑轮是一质量为M ，半 T1 P a a 径为R的圆盘 。绳的质量略去不计 ，且绳 T1 与滑轮无相对滑动 。试求物体的加速度和 m1 T2 绳的张力 。如果略去滑轮的运动，将会得 m2 到什么结果？ 解：分别作出滑轮M、物体m1和m2的受 m2g 力图。 由于绳索质量不计，且长度不变， m1 g 故m1和m2两物体运动的加速度大小相等，但方向相反。 ⑴ 对m1 ： m1g –T1=m1a 应用牛顿第二定律 对m2 ： T2–m2g = m2a ⑵ 对M ：（T1–T2）R=J ⑶ 应用转动定律
r2
F1 F2
一对内力对转轴的合力矩为零. 由于刚体中的内力都是成对出现的.故整个刚体的合 内力矩为零.
M M1 M 2 0
刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出
设刚体中质元mi受外力Fi ,内力fi 作用
Fi 由牛顿定律 • mi 在自然坐标中,切向分量为: dvi Fit fit Δ mi ait 其中 ait ri dt 即 Fit fit Δ mi ri 则刚体转动定律为 2 变形有 Fit ri fit ri Δ mi ri M J 对所有质元求和: Fit ri fit ri ( mi ri2 ) 上式表明: 刚体绕定轴转动时,刚 这里 Fit ri M i M 外 体的角加速度与它所 fit ri 0 受的合外力矩成正比. 2 定义 J Δ mi ri 叫转动惯量
L r p r mv
2
刚体上的一个质元△mi ,绕固 定轴做圆周运动角动量为：
Li ri mi vi ri mi
2 i
所以整个刚体绕此轴的角动量为：
i
L Li ( mi ri ) J
5.2.4、刚体定轴转动的角动量定理 d dL d ( J ) 转动定律 M J J M dt dt dt
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。 力F 是使物体平动状态发生改变而产生加速度的原因。
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学 的联系---- ，从而求出 M或 F。 例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水 平桌面上转动，求摩擦力的力矩 解：杆上各质元均受摩擦力作用， 但各质元受的摩擦阻力矩不同。 l dm m o x 细杆的质量密度 m dx x l 质元质量 dm dx 质元受阻力矩 细杆受的阻力矩
Fi fi Δ mi ai
fi
ri
2、刚体定轴转动的转动定律
d ( J ) dL M J dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
地位相当 M＝ J 与 F m a m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性
t
6s
0
5 87圈 则 t =6 · s 时电动机转过的圈数 N 0 2
0 [t e ]6 s 9[(6 2 0 05) (0 2)] 36 9rad 0
5.2
刚体的转动定律
(2) 力在转动平面外 Z f f1 f2 O r P