第十四章 应力分析

例题
属于 压缩类应变；J3ˊ>0属于伸长类应变）
5.等效应力
主轴坐标系下：
任意坐标系下：
特点 等效应力是一个不变量。 等效应力在数值上等于单向拉伸（或压缩）时的拉伸（或压缩） 应力 等效应力并不代表某一实际平面上的应力，故不能在某一特定 平面上表示出来。 等效应力表示了三个主应力的综合效果，可以理解为代表一点 的应力状态中应力偏张量的综合作用。


作用力（拉、压、剪切） 反作用力（工具对金属作用） 摩擦力
图2-1 镦粗时的受力分析 a）在平模具间镦粗 b）在凹模内镦粗 c）在凸模内镦粗
体积力 重力 磁力 惯性力
内力：在外力的作用下， 变形体内各质点之间 产生的相互作用的力
二、直角坐标系中一点的应力状态分析 点的应力状态 一、应力分析的截面法
主切应力：
最大切应力：
2）主切应力平面上的正应力：
NOTE:
1）若1= 2= 3= + ，即球应力状态时，主切应力为零，
即： 12 = 23 = 31 =0 2） 若三个主应力同时增加或减少一个相同的值时，主切应 力值将保持不变。 3） m = ( 1+2 + 3)/3= ( x +y + z)/3=J1/3
第四节 应力平衡微分方程
直角坐标中一点邻区的应力平衡
质点的应力平衡微分方程式：
简记为
第五节 应力莫尔圆——表示点的应力状态
1、平面应力状态
特点：①某一作用面（如Ｚ面）上的应力为零，应力为零的方 向为主方向。 ②所有应力沿Ｚ向均布。即应力分量与Ｚ轴无关，对Ｚ 轴的偏导数为零。
应用：薄壁管扭转、薄壁容器承受内压，某些板料成形工序等。
2
只有在σ1和σ2的大 小相等方向相反 的时候τ12才是最 大切应力
可写出主应力的方向与Ｘ轴的夹角α
xy 1 ＝ arctan 2 x y
3.三向应力莫尔圆
注：① 每个圆周分别表示某方向余弦为零的斜切面上的
正应力σ和切应力τ的变化规律。 ② 三个圆所围绕的面积内的点，表示l、m、n都不 等于零的斜切面上的正应力σ和切应力τ的值。故应力莫 尔圆形象地表示出点的应力状态。
平面应力状态的应力张量为
应力平衡微分方程
三个不变量： J1 = σx +σy ； J2 = -σx σy + τ2xy ； J3 = 0 主切应力
2.平面应力状态的莫尔圆
x y 莫尔圆圆心：C : ,0
2
半径：
R
x y 2
2
2 xy
得到应力状态的特征方程 3-J12-J2-J3=0 三实根即为σ1、σ2、σ3 将σ1、σ2、σ3代入（2-9）中 任意两式并与（2-10）联解， 即可求的三个正交的主方向
2.应力张量不变量
J1= x + y + z zx x yx J2= — + z xy y J3= Tij y yz zy x z xz

塑性理论(塑性力学)：研究金属在塑性状态 的力学行为 假设： 1、变形体连续：可保证应力、应变、 位移等均连续 2、变形体均质且各向同性：可保证微 元体的物理性质不变 3、变形瞬间力平衡：可导出平衡方程 4、忽略体积力：可使计算简化



第一节：张量的基本知识 第二节：外力、应力和点的应力状态 第三节：主应力和主切应力 第四节：应力平衡微分方程 第五节：应力莫尔圆
4.应力球张量和应力偏张量 1）应力张量的分解
应力张量分解的物理意义可以进一步用图来表示：
2、应力球张量和应力偏张量
对于σijˊ (应力偏张量)亦有：J2ˊ、J3ˊ仿J2、J3得出 Note: 1. J1ˊ=0，应力分量中已无静水应力成分 2. J3ˊ<0 J2ˊ与屈服准则有关
3. J3ˊ决定了应变类型（J3ˊ=0属于平面应变；
zy
作 用 方 向 为 Y
z
作 用 方 向 为 Z
NOTE:
负 能
1） σi、τij 的命名规则 2）截面正负，与应力分量的正 3） 切应力互等定理 4）九个应力分量有六个独立， 完全确定一个应力状态 5）应力分量能在不同的坐标系 间进行转换
之
ij=ຫໍສະໝຸດ Baidu
x yx zx
xy xz y yz zy z
应力张量
式中： 1） ij 是二阶张量的缩写记号 2） ij 为二阶对称张量 3）张量可以合并、分解；有主方向，有主值及不变量 4〕张量可以利用圆柱坐标/球坐标表达
三、任意斜面上的应力
图2-7 任意斜面上的应力
Sx=xl+yxm+zxn Sy=xyl+ym+zyn Sz=xzl+yzm+zn
+
J1、J2、J3为单值，不随坐标而变 主轴坐标系：
σ1 0
σ2 0 0 0 σ3
0
σij＝ 0
3.主切应力和最大切应力
1）主切应力
主切应力：主切应力平面
取σ1、σ2、σ3为坐标轴（主轴坐标系）设任意斜面法矢为l,m,n，则 该面上的切应力由（2-8a）得
2=S2-2=21l2+22m2+23n2-(1l2+2m2+3n2)2
代入（2-6）得齐次线性方程 （ x-）l+ yxm+ zxn=0 xyl+（ y-）m + zyn=0 xzl+ yzm+（ z-）n =0 且 l2+m2+n2=1
(2-9) (2-10)
求非零解，则 △=0 （2-11） 展开行列式△，且设 J 1= x + y + z zx x yx y zy x J 2= — + + z xy y yz z xz J3= Tij
以n2=1-l 2-m2代入上式，分别对l,m,求偏导数并令其为零，设 σ1>σ2>σ3，经化简得：
l {(1-3)-2[(1-3)l2+(2-3)m2]}=0
m{(2-3)-2[(1-3)l2+(2-3)m2]}=0
联立l2+m2+n2=1 ，可得三组方向余弦。 同理，消去l或m ，还可解出另外三组方向余弦。
由图中的几何关系，可方便地得到主应力、主切应力公式：
2 1 x y x y 2 xy 2 2 2
12
x y 2 1 ＝ 2 2
23
2
2
31
1
2
2 xy
应力：单位面积上的内力。
单向拉伸时任意 斜面上的应力
全应力S=o cos 正应力=ocos2 切应力=0.5osin2
二、三维坐标系中的应力分量和应力张量
图2-5 直角坐标系中单元体上的应力分量
x
yx
xy
y
xz
yz
作用面为X 作用面为Y 作用面为Z
zx
作 用 方 向 为 X
第一节 张量的基本知识

1.角标符号和求和约定 回忆
i 1
xi yi
3
＝x1 y1 x2 y2 x3 y3
xi y j (i、j 1， 2， 3) ＝x1 y1 x2 y1 x3 y1 ......

2.张量的基本概念
第二节 外力、应力和点的应力状态
一、外力和应力
Sx Sy Sz
=(l m n) ij
S2=S2x+S2y+S2z =Sxl+Sym+Szn=xl2+ym2+zn2+2(xylm+yzmn+zxnl) 2=S2-2
第三节 主应力和主切应力
1.主应力：
主平面上： =0 =S 故 Sx=Sl=l Sy = Sm=m Sz= Sn=n