第三章：量子力学中的力学量_6讲

A的平均值是实数 ˆ ψ）＝（A ˆ ψ，ψ） A A* （ψ，A
令： 1 2
ˆ ( ))＝（A ˆ ( )， ((1 2 )，A (1 2 )） 1 2 1 2 ˆ ψ )+(ψ ，A ˆ ψ )＝（A ˆ ψ ，ψ ）（ ˆ ψ ，ψ ） (ψ1，A + A 2 2 1 1 2 2 1
ˆ ˆ ˆ ( r )A ( r ) dr A ( ,A ) A * ( , ) ( r ) ( r ) dr
算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑
因此，先定义出各种力学量算符是必要的
二、由经典物理引进量子力学量算符
五、线性算符的运算 1. 算符的和： 算符的和运算满足交换律和结合律
ˆ ˆ ˆ ˆ A+B=B+A
ˆ ˆ ˆ A+(B+C) ˆ ˆ ˆ (A+B)+C
2. 算符的积 算符的积不一定满足交换律
ˆˆ x p ˆxx ˆ i xp
3. 算符的对易式, 定义：
ˆ ˆ ˆ ˆ ，称两算符对易，否则称不对易 如果： [A,B]=[B,A]
px



px | c( px ) |2 dpx c ( px ) px c( px )dpx
i px x 1 ( x)e dx px c( px )dpx 2
i px x 1 ( x )e px c( px )dxdpx 2 i px x 1 d ( x)(i )e c( px )dxdpx dx 2
ˆ A
厄密算符作用于一波函数，结果等于这个波函数乘以一个常数， ˆ 的本征值， 为属于 的本征函数，此方程称 则称 是 A ˆ 的本征值方程。全部本征值 { }是且仅是相应力学 为算符 A 量A的所有可能取值（或测量值）.
厄米算符的平均值、本征值、本征函数有如下定理： 1. 厄米算符的本征值为实数。
ˆ E (r ) H (r )dr
*
ˆ E (r )H (r )
*
对于任意一个力学量A，如果知道它的算符，则它的期望值应为：
ˆ ˆ) A ˆ A (r )A (r )dr ( , A
*
如果波函数没有归一化，则
*
定义标积（内积），简化书写
定理3 厄密算符的任意两个属于不同本征值的本征函数正交.
正交归一的表示形式：
n * n d 1 * d 0 m n
分立谱:

m
* n d mn
连续谱：
* d ( )

正交归一系
满足以上条件的函数系 {ψn }或{ψλ } 称 为正交归一系。
i px x d 1 ( x)(i )[ e c( px )dpx ] dx dx 2 d ( x)(i ) ( x)dx dx
d ˆ x i 定义算符：p dx

ˆ x ( x )dx p x ( x ) p
力学量算符与期望值的关系：
ˆ (c c ) c ˆ ） ˆ） A （ A c （ A 1 1 2 2 1 1 2 2
2. 厄密算符的定义 满足如下关系式的算符，称为厄密算符
* ˆ ˆ Ψ Aψdτ= (AΨ) ψdτ *
ˆ ) (A ˆ , ) 用内积表示：(, A
证明：力学量算符是线性算符
根据态叠加原理, c1ψ1+c2ψ2也是本征方程的解：
ˆ (c c ) f (c c ) F 1 1 2 2 1 1 2 2
(1)
(2)
ˆ (c c ) c F ˆ ˆ 所以： F 1 1 2 2 1 1 c2 F 2
得证：
例
例
证明：力学量算符是厄密算符
cnn ck k ...
求展开系数：
k n
(r , t ) cn (t )n (r ) (r , t ) ck (t )k (r ) ...
k n
(n , ) cm (n , m ) cm nm cn
ˆ H E
那么，对于其它各种物理量，比如位置、动量等，是否也可以？
一、统计平均值与算符的引入（力学量期望值，或理论平均值） 经典系统与量子系统的区别：经典系统的力学量有确定 性，遵守因果论；量子系统由于波粒二象性，一般不具有确 定性，但服从统计律，即：虽然每一次测量的值可能不同， 但多次测量的统计平均值具有确定性。 例：若已知波函数 ( x, t ) ，按照波函统计解释，利用统计 平均方法，可求得粒子坐标 x 的期望值：
பைடு நூலகம்
ˆ ˆ) ˆ A f (r , p
H T U (r )
2 ˆ p ˆ) ˆ H U (r 2
Lrp ˆ ˆ ˆ ˆ L r p ir
再论波函数的作用：
波函数完全描述微粒的状态
1. 由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知 道了粒子在空间的概率分布，即 ω(r, t) = |ψ(r, t)|2 2. 已知 ψ(r, t)， 则任意力学量的可能值、相应的概率及它的 统计平均值都知道。也就是说，描写粒子状态的一切力学量 就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。
设ψ1，ψ2是力学量算符F的本征方程
的两个解，有：
ˆ f F 1 1 ˆ f F 2 2 ˆ f F ˆ c f c1F 1 1 1 ˆ c f c2 F 2 2 2
ˆ c F ˆ c f c f f (c c ) c1F 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
六、厄密算符的性质 1. 两厄米算符之和仍为厄米算符
才为 对易时，它们之积 A和B AB 2. 当且仅当两厄米算符 厄米算符。
B 3. 无论两厄米算符是否对易，算符 1 AB A 及 2 都是厄米算符。
1 AB B A 2i


4. …
七、厄密算符的本征值与本征函数 厄密算符的本征值方程
ˆ r r ˆ p i ( ) i x y x
经典物理学中，一般力学量都是坐标与动量的函数，可以 依据如下对应关系定义这些力学量的算符
A f (r , p)
如： p2 T 2 2 2 ˆ p ˆ T 2 2 2
封闭性是完备性的充要条件：
( x) cnn ( x)
n
cn ( x) ( x) dx
m m
cnn (n , )n
n n
展开系数 cn 的物理意义（1）： 处于本征态 的概率
n
态对力学量A进行测量， 展开系数 cn 的物理意义（2）：在 测得本征值an 的概率
证明：计算力学量A的期望值
ˆ ) ( , A ˆ c ) ( , c A ( , A nn n ˆ n ) ( , cn ann )
定理4 属于同一本征值的多个简并本征函数可经重组后正交归一化：
如果对于同一本征值有多个独立的本征函数
ˆ a , A ai ai
(i 1, 2,3,..., f )
则称本征值a是f重简并的，
这f个函数不一定是彼此正交的，但它们可以重新组合 成f个独立而彼此正交的新函数，这些新函数依然是本征 值a的本征函数。
x x | (x , t ) | dx
2

(x , t )x (x , t )dx
*
同样，若已知波函数 c( px , t ) ，可求粒子动量
px 的期望值：
px px | c( px , t ) | dpx
2
问题：如何在知道波函数 ( x, t ) 的情况下求 px 的期望值？
3. 知道体系初始时刻的态函数及其所处的力场，由Schrodinger 方程即可确定以后各时刻的态函数。
三、算符的定义 算符：作用于一态函数，把这个态函数变成另一个态函数
ˆ A
四、力学量算符是线性厄密算符（ Hermitian） 1. 线性算符的定义 满足如下运算法则的算符，称为线性算符
x

*
(x )x (x )dx
* ˆ r (r )r (r )dr
ˆ p (r ) p (r )dr
ˆ x ( x)dx px ( x) p

ˆ E H
ˆ (r ) * (r ) E (r ) * (r ) H ˆ (r ) * (r ) (r ) E * (r ) H ˆ (r ) 1E * (r ) H
( cmm , cn ann )
m n
n
n
n
c*mcn an mn c*ncn an
|cn |2 an
n
m, n
n
证毕！
|cn | 1
2 n
证毕！
小结：
在任一态（叠加态）下对随意力学量A进行测量，得到的只能 是它的本征值之一！ 测得这个本征值的概率就是展开式中对应本征函数前的系数！
力学量A的期望值为
A

ˆ d *A
取上式的复共轭
* ˆ * * * ˆ ） ˆ ） A* （ *） （ A ） d＝ （A d＝（A d
因为可观测力学量的期望值应为实数，即
AA
*

* ˆ d＝ （A ˆ ） *A d
得证：
结论：所有力学量算符都是线性厄密算符 因此，我们只需要研究 (1) 线性算符的运算特点、 (2) 厄密算符的性质 (3) 厄密算符的本征值 等问题，就可知道所有力学量算符的基本性质
例
1. 找正交归一化函数
2. 看它们是否依然简并
定理3 厄密算符的任意两个属于不同本征值的本征函数正交. 定理4 属于同一本征值的多个简并本征函数可经重组后正交归一化 由以上两定理，可以认定厄密算符的本函数是彼此正交的
定理5 厄密算符的本征函数具有完备性，构成完备系. 定理6 厄密算符的本征函数具有封闭性. 体系的任一态函数都可用在任一力学量的本征函数集上展开， 不再需要添加其他任何波函数。
取： 1 1eia , 2 2 eib，代入上式,有
e
i ( ab) i ( ab) ˆ ˆ ˆ ψ )-(A ˆ ψ ，ψ )] [(ψ1，Aψ2 )-(Aψ1，ψ2 )]＝e [(ψ2，A 1 2 1
ˆ ψ )=(A ˆ ψ ，ψ ) (ψ1，A 2 1 2 a, b 是任意实数， , 证毕 ˆ ψ )=(A ˆ ψ ，ψ ) ( ψ ， A 2 1 2 1
2. 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米 算符。
3. 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。 4. 厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合 后使它正交归一化。 5. 厄米算符的本征函数系具有完备性。 6. 厄米算符的本征函数系具有封闭性。
定理1 厄密算符的本征值是实数
定理2 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
光电信息学院 李小飞
第三章：量子力学中的力学量
第一讲：力学量的算符表示
引 入
微观粒子具有波粒二象性， 其运动状态用波函数描述，
那么，如何从波函数求体系的性质？
薛定谔说：用算符作用于波函数就行了
比如：对于在势场不显含时间中运动的粒子，其波函数 时间t和位置r可分离，用哈密顿算符H作用于定态波函数 上，就可以得到粒子的能量。