随机变量的方差、协方差与相关系数4-2讲解学习

⑵ 两随机变量X 与Y 对各自均值的偏差以差之乘积的形 式给出的平均波动，称为二者的协方差，记为 Cov(X,Y) ,
亦即 C o v ( X , Y ) E { [ X E ( X ) ] [ Y E ( Y ) ] } .
⑶ 两随机变量X 与Y 的协方差与该二变量标准差乘积的
比值，称为二者的相关系数，记为 X ,Y , 亦即
D (X Y ) D (X ) D (Y ).
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方差与协方差（含相关系数）重要性质选证三 证
C o v ( X , Y ) C o v [ X E ( X ) , Y E ( Y ) ]
D (X ) D (Y)C ov[XE (X ),YE (Y)]D (X ) D (Y )C ov(X *,Y *) D (X ) D (Y)
XY
Cov(X,Y) .
D(X) D(Y)
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2. 方差与协方差的理论计算公式
⑴ 对离散型变量
D(X) [xi E(X)]2pi 或 D(X) [xi E(X)]2pij ;
i1
j1i1
C o v(X ,Y ) [x iE (X )][yjE (Y )]p ij
i 1j 1
⑵ 对连续型变量
2) D(C) 0
DXCD(X)
2) Cov(C1,C2)0
Cov(C1,Y)0, Cov(X,C2)0
3) D(CX)C2D(X)
3) C o v (C 1 X ,C 2 Y ) C 1 C 2 C o v (X ,Y )
C o v(C X ,C Y ) C 2 C o v(X ,Y )
4) D (X Y ) D (X )D (Y )
Cov(X,Y) E (X Y )E (X )E (Y ) 从而, 作为协方差的特例，方差也应有
D ( X ) C o v ( X , X ) E ( X X ) E ( X ) E ( X ) E ( X 2 ) [ E ( X ) ] 2 .
又∵ X 与Y 相互独立时, 总有 E (X Y )E (X )E (Y ),
C o v ( X ,X ) D ( X ) ;C o v ( Y , Y ) D ( X ) ;
并且显然还有 C o v (X ,Y ) C o v (Y ,X ). 返回
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( 设 C 是常数 )
方差
协方差（含相关系数）
1) D (X )E (X 2)[E (X )]2
1) C o v (X ,Y ) E (X Y ) E (X ) E ( Y )
D (X ) [xE (X )]2f(x)dx或 D (X ) [x E (X )]2f(x ,y )d x d y .
C o v ( X ,Y ) [ x E ( X ) ] [ y E ( Y ) ] f ( x ,y ) d x d y .
易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广
| C o v ( X , Y ) | D ( X )D ( Y ) | C o v ( X * , Y * ) | D ( X )D ( Y ) ,
C o v2(X ,Y )D (X )D (Y ) ,
|XY |
|Cov(X,Y)| 1. D(X) D(Y)
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其中 X* 与 Y * 是标准随机变量, 并且显然满足
D(X*)D(Y*)1 以及
D(X*Y*)0,
即满足 D ( X * ) D ( Y * ) 2 C o v ( X * , Y * ) 2 2 C o v ( X * , Y * ) 0 ,
1C ov(X *,Y*)0, |Cov(X*,Y*)| 1. 可见
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方差与协方差（含相关系数）重要性质选证一 证
C o v ( X , Y ) E { [ X E ( X ) ] [ Y E ( Y ) ] }
E { X Y X E ( Y ) Y E ( X ) E ( X ) E ( Y ) }
E ( X Y ) E ( Y ) E ( X ) E ( X ) E ( Y ) E ( X ) E ( Y )
随机变量的方差、协方差与相关 系数4-2
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一 二 三 四
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1. 方差、协方差与相关系数的定义
⑴ 随机变量X 对其均值的偏差以差的平方的形式所给出
的波动，称为该随机变量的方差，记为 D ( X ) , 亦即 D (X )E {[X E (X )]2}.
方差的算术平方根 D ( X ) 称为随机变量的标准差.
E ( X 2 ) 2 E ( X Y ) E ( Y 2 ) { [ E ( X ) ] 2 2 E ( X ) E ( Y ) [ E ( Y ) ] 2 }
E ( X 2 ) [ E ( X ) ] 2 E ( Y 2 ) [ E ( Y ) ] 2 2 [ E ( X Y ) E ( X ) E ( Y ) ]
∴ 当 X 与Y 相互独立时, 恒有
Cov(X,Y)0 以及
XY
Cov(X,Y) 0. D(X) D(Y)
返回Leabharlann 退出方差与协方差（含相关系数）重要性质选证二 证
D ( X Y ) E [ ( X Y ) 2 ] E [ ( X Y ) ] 2
E [X 2 2 X Y Y 2 ] [ E (X ) E ( Y ) ] 2
D ( X ) D ( Y ) 2 [ E ( X Y ) E ( X ) E ( Y ) ]
D (X ) D (Y ) 2 C o v (X ,Y ) ∴ 一般而论, 总有
D ( X Y ) D ( X ) D ( Y ) 2 C o v ( X ,Y )
惟当 X 与Y 相互独立时, 由于 Cov(X,Y)0, 故此时必恒有
2Cov(X,Y) 当 X 与Y 相互独立时, 恒有
4) Cov(X1X2, Y)
Cov (X1,Y)Cov (X2,Y) 当 X 与Y 相互独立时, 恒有
D (X Y ) D (X )D (Y ) Cov(X,Y)0, XY 0
( 5 )C o v 2 ( X ,Y ) D ( X ) D ( Y ) ,|X Y | 1 .