(完整版)Barbalat引理证明

Barbalat 引理证明

一、Barbalat 引理的基本形式：

引理1 设:[0,)x R ∞→为一阶连续可导，且当t →∞时有极限，则如果

(),[0,)x t t →∞&一致连续，那么lim ()0t x t →∞

=&。

如果()x t &

&存在且有界，那么引理1中()x t &的一致连续性条件可用()x t &&的有界性来代替，从而可以得到如下形式的引理。

引理 2 设:[0,)x R ∞→为一阶连续可导，且当t →∞时有极限，则如果

(),[0,)x t t →∞&&存在且有界，那么lim ()0t x t →∞

=&。

可以得到如下推论。

推论1 若:[0,)x R ∞→一致连续，并且0lim ()t

t x d ττ→∞

⎰存在且有界，那么

lim ()0t x t →∞

=。

其中引理1的证明如下：

因为(),[0,)x t t ∈∞&一致连续，所以：

0ε∀>0δ∃>，对任意的1t 有：

11()()2

x t x t ε

δ+-<

&&

另外由lim ()t x t K →∞

=可知：

对于给定的ε，0t ∃，当10t t >时有：

1()4

x t K δ

ε-<

同理：

1()4

x t K δ

δε+-<

利用泰勒展开则：

11()()()x t x t x δξδ+=+&其中：11(,)t t ξδ∈+

所以：

11()()()4

x t K x t K x δ

δξδε+-=-+<

&

由此可知：

1()()42

x x t K δδ

ξδεε<+-<&

则：

()2

x ε

ξ<

&

显然：1t ξδ-<

所以由()x t &的一致连续性可知：

1()()2

x x t ε

ξ-<

&&

则：

1()()2

x t x ε

ξε<

+<&&

即：对于0ε∀>，0t ∃，当10t t >时有：

1()x t ε<&

由此得证：lim ()0t x t →∞

=&

二、Barbalat 引理的集中变形形式：

Barbalat 引理的基本形式虽然在一定程度上能判断系统的渐近收敛性，但由于不易与Lyapunov 理论相结合，故在实际应用中具有一定局限性。为此，对Barbalat 基本形式进行延展和变形，得到如下集中Barbalat 引理的表达形式。

引理 3 若:[0,)x R ∞→一致连续，且存在[1,)p ∈∞，使得p x L ∈，那么

lim ()0t x t →∞

=。

注：:{:[0,)p L x x R =∞→，且1/0(})p

p x t dt ∞⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

<∞⎰，[1,)p ∈∞。

证明：

当1p =时，因2121x x x x -≤-，则由x 的一致连续性可知x 亦为一致连续的。令()0()d ,0t

F t x t ττ=≥⎰。则应用引理1易证()()F t x t =，进而得到()x t 的

收敛性。

当1p >时，用反证法证之。假设lim ()0t x t →∞

=不成立，那么存在常数00ε>，

对任意0T >,存在0T t >，有0()T x t ε≥。基于此，可以得到无限时间序列

{},1,2,i t i Ω==L ，使0()i x t ε≥，i t ∀∈Ω。因为()x t 是一致连续的，故对给定的

0ε，存在0()0ηε>，使得对任意的{,:,,[0,)}t t t t t t η-≤∈''''''''∞'都有如下关系式：()()0

2

x t x t ε'''-≤

。由此知，对任意{:,[0,),}i i t t t t t t B ηη-∞∈≤∈∈Ω@，都有

()()()()()()()2

i i i i x t x t x t x t x t x t x t ε=+-≥--≥

，即0(),2

p

p

p

x t t B εη≥

∀∈。

由()x t 的连续性可知在域B η内，()x t 恒为正或恒为负，所以，对所有的i t ∈Ω，有

000

()(2())22i i i i i i p

p

t t t t p

p

p

p

p

t t x t dt x t dt x t dt dt η

η

η

η

η

η

εεη

+-++--≥≥-=⎰

⎰

⎰

⎰

，这意味着

0,lim

(22)i i i i p

t p

p

t t t x t dt η

η

η

ε+-→∞∈Ω≥⎰

。而已知当t →∞时，()0

d t

p

x t t ⎰存在极限，记为p ∞，

即()0

d p

p t x t ∞

∞=<∞⎰，故

,,,lim

()lim

()lim

()0i i i i i i i i i i t t t p

p

p

t t t t t t t x t dt x t dt x t dt p p η

η

η

η

++-∞∞-→∞∈Ω→∞∈Ω→∞∈Ω=-=-=⎰

⎰

⎰

这与上式相矛盾。

引理 4 设:[0,)x R ∞→平方可积，即20lim ()t

t x d ττ→∞

<∞⎰，则如果

(),[0,)x t t ∈∞&存在且有界，那么lim ()0t x t →∞

=⎰。

引理5 设:[0,)x R ∞→为p L ，[1,)p ∈∞的，且(),[0,)x t t ∈∞&有界，那么lim ()0t x t →∞

=⎰。

引理 6 设:[0,)x R ∞→绝对连续，则如果(),[1,)p x t L p ∈∈∞，且

(),[0,)x t t ∈∞&对任意紧集[0,)C ∈∞一致局部可积，那么lim ()0t x t →∞

=⎰。

引理7 设:R R α++→连续、非减，且仅当0x =时，(0)0α=。则如果

:[0,)x R ∞→为一致连续且1(())x t L α∈，那么lim (())0t x t α→∞

=，进而lim ()0t x t →∞

=⎰。

引理8 如果连续可导的二元函数:[0,)n V R R ⨯∞→有下界，(,)V x t 半负定，且(,)V x t 关于时间t 是一致连续的，那么lim ()0t x t →∞

=⎰。

三、Barbalat 引理在系统渐进稳定性分析中的应用：

考虑二阶系统：112()x x x w t =-+&，21()x x w t =-&，

其中w 是一有界连续函数，