初等数论课程教学大纲新

《初等数论》课程教学大纲

一、课程的性质与地位

“初等数论”课程是宿迁高等师范学校数学学科专业必修的一门课程。数学专业的学生学习初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（elementary number theory）。

初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。

近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王”。可见高斯对数论的高度评价。

由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。

二、课程教学目标

初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。

数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、数论函数及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。

三、教学基本内容及要求

第一章数的整除性

（一）教学目的与要求

1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解质因数分解定理，熟练掌握用裴蜀恒等式求最大公因子、最小公倍数的方法。

2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。

3、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质整数。

（二）教学内容

1、整除性、公因数、公倍数

两个整数整除的概念、剩余定理；最大公因子的概念、性质及求最大公因子的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。

2、素数与整数的素因子分解

素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法（筛法）。

3、抽屉原理

抽屉原理的简单与一般形式、抽屉原理在构造具有特殊性质整数方面的应用。

重点：整除、公因子、素数的概念及性质，裴蜀恒等式，求最大公因子的方法，整数的素数分解定理。

难点：整数的素数分解定理的理解与运用函数[x]、{x}的概念及其应用。

（三）教学形式与方法

本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式

（四）作业布置

1．设四个自然数只和为1989，求证：它们的立方和不是偶数。

2．试证明：不存在2个自然数，它们的和与差的乘积等于1990。

3．设是一组数，他们中的每一个都取+1或-1，而

证明：n必须是4的倍数。

4．设n证明：能够表示成n个连续的奇数的和。

5、搜索中小学关于此类问题的题目，理解与体会方法的运用。

6、查寻奇数，偶数在中小学问题中的运用，拓展思维，灵活运用。

7、求（1）（5767，4453）

（2）（3141，1592）

8、求[144，480]

9、求证：若，则

（1）

（2）或

10、求出能使成立的两个整数。

11、二数之和是432，它们的最大公约数是36，求此二数。

12、对于任意的整数，证明：总可以找到个连续的合数

13、求72与480的最大公约数与最小公倍数。

14、（1）迪泼瓦尔曾断言：

对所有n≥1，6n+1和6n-1中至少有一个是质数、

举例说明他的断言错了。

（2）证明：有无穷多个n使6n-1和6n+1同时为合数。

15、设P是合数n是最小素因数，证明：若P＞，则是素数

16、容易验证90、91、92、93、94、95、96是7个相邻的合数。

试写出9个相邻的合数。

17、检验539是否为质数

18、证明：在n＞2时，n与n！之间一定有一个质数

分析：由于（n！-1.n！）=1，则1到n中的所有质数均不能整除n！-1，那么必存在质数p，p＞n，且p＜n！

第二章同余理论

（一）教学目的与要求

1、理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练运用同余的基本性质，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。

2、理解剩余类、完全剩余系的概念，熟练掌握判断剩余系的方法。

3、了解Fermat小定理，熟练运用之。

4、理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同余式方程组的方法。

（二）教学内容

1、同余的概念及性质

整数同余的概念、同余的基本性质，利用同余简单验证整数乘积运算的结果。

2、剩余类、完全剩余系

剩余类、完全剩余系的概念，判断剩余系的方法。

3、费马小定理

费马小定理及其应用，求余数的方法。

4、中国剩余定理

中国剩余定理，中国剩余定理的应用，求解同余式方程组。

重点：剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理，同余性质的运用。

难点：剩余系的判定，中国剩余定理，费马小定理应用。

（三）教学形式与方法

本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式

（四）作业布置

1、若k≡1（mod4），问6k+5与0.1.2.3中哪一个mod4同余？

2、在3145×92653=291□93685中，积有一位数字遗漏，而其它数字是正确的，遗漏数字是什么？

3、求被7除的余数。

4、证明：15不能整除。

5、除以7，余数是多少？

6、证明：若a和b均不被质数n+1整除，则被n+1整除。

7、证明：645是伪质数。

8、证明：若a和b均不被质数n+1整除，则被n+1整除。

9、对于一切a满足的合数n，称为绝对伪质数，最小的绝对伪质数为561，验证：341不能整除，从而341不是一个绝对伪质数。

10、解同余方程组

11、试用同余方程的解法，求解不定方程