根轨迹方程闭环系统特征方程

m
(s z j )
j1

i 1
n
(s pi )
(2k 1)
K
*
s pi s zj
j 1
8
n
i 1 m
k 0， 1， 2，
第四章 线性系统的根轨迹法
4-2 根轨迹绘制的基本法则 180度根轨迹：
• 变化参数为根轨迹增益 K *
• 相角遵循 180 2k 条件
7
卢p68;胡p140
4、根轨迹方程
1 G( s) H ( s) 0 闭环系统特征方程: 当系统有m个开环零点和n个开环极点时,上式等价为
根轨迹方程
充要条件
K

(s z
j 1 n i 1
m
j
) 1
(s p )
i
相角条件
模值条件
1 1e
j ( 2 k 1)
( s zi ) ( s pi )
i 1
l j 1 h
f
i 1 q
反馈通路根轨迹增益
* H (s) K H
(s z )
j
TT
2 1 2
(s p )
j j 1
第四章 线性系统的根轨迹法
6
卢p67;胡p139
3、闭环与开环零、极点的关系

系统的开环传递函数
根轨迹起点：p1=0,p2=-4, p3=-1+j , p4=-1-j 终点：z1=-1、无穷远处
1
K 0
-4 -3 -2
K
-1
K 0
K 0
-1
根轨迹有max{m=4,n=1} =4条分支,且对称于实轴.
-2
-3
第四章 线性系统的根轨迹法
13
4－2－1 根轨迹绘制的基本法则
第四章 线性系统的根轨迹法
11
4－2－1 根轨迹绘制的基本法则

法则3
根轨迹的渐近线
a
n>m时,有n-m条渐近线 渐近线与实轴交角：
(2k 1) a ； nm
n m
k 0， 1， 2， n m 1
n-m=1: =2: =3: =4:
a
0
渐近线与实轴交点：
a
p z
3
胡p137
1、根轨迹的定义
R( s)
K s (0.5s 1)
C (s)
j
K
闭环传递函数为
C ( s) 2K ( s ) 2 R( s ) s 2s 2 K
特征方程式为
K=2.5

2
K=1
k=0.5
1 K=0
K=0 -2 -1 K=1
s 2 2s 2K 0
i 1 i j 1
j
nm
180° ±90 ° ± 60 °, 180 ° ±45 °, ± 135 °
12
第四章 线性系统的根轨迹法
胡p143
4－2－1 根轨迹绘制的基本法则
R(s)

例题1
j
3
K ( s 1) s ( s 4)( s 2 2 s 2)

C (s)
2
K 0
K 0
0
K K 0
0
根轨迹起点
(a) (n>m)
根轨迹起点, 第三条轨迹 起于无穷远
(b) (n<m)
第四章 线性系统的根轨迹法
10
4－2－1 根轨迹绘制的基本法则

法则2
根轨迹的分支数、对称性和连续性
根轨迹的分支数=max(m,n) m开环有限零点数，n开环有限极点数 根轨迹分支是连续的且对称于实轴
G( s) H ( s) K *
开环根轨迹增益
( s zi ) ( s z j ) ( s pi ) ( s p j )
j 1 j 1 i 1 q j 1 h
f
l

系统的闭环传递函数
G( s) ( s) 1 G( s) H ( s)
* KG n
( s zi ) ( s p j )
i 1 j 1 m * j 1
f
n=q+h, m=f+l
h
( s pi ) K ( s z j )
i 1
结论 1）闭环根轨迹增益＝K*＝ KG* KH* 2）闭环零点＝{zi , pj}
第四章 线性系统的根轨迹法
3）闭环极点＝{zj , pi ,K*}
特征方程式的根为 s1 1 1 2 K s 2 1 1 2 K
第四章 线性系统的根轨迹法
0 -1

K=2.5
-2
K
4
卢p66;胡p138
2、根轨迹与系统性能
j
K
R( s)
2
K s (0.5s 1)
C (s)
K=2.5
K=1
k=0.5
1 K=0
s 2 2s 2K 0
K=0开环极点闭环极点
K=0 -2 -1 K=1
0 -1


K=2.5 -2

稳定性－k0 稳态性能－极点位置容许范
围；根轨迹增益
K

动态性能－阻尼状态
5
第四章 线性系统的根轨迹法
卢p67;胡p139
3、闭环与开环零、极点的关系
R(s) G(S) H(s)
前向通路增益
2 2 2 2 2 2
第四章 线性系统的根轨迹法
2
卢p65
1、根轨迹的定义
根轨迹
开环系统某一参数从零变化到无穷时,闭环系统特征 方程式的根在s平面上变化的轨迹.
注意：当开环零、极点相消时， 闭环特征方程的根 闭环系统的极点 优点：避免高阶方程求根； 开环零、极点如何变化才能满足系统性能的要求。
第四章 线性系统的根轨迹法
第四章 根轨迹法
本章在课程中的地位：
数学模型->系统分析->系统设计
分析系统的方法－ 时域分析法 复域分析法－根轨迹法 频域分析法
根轨迹的基本概念 根轨迹的基本法则 广义根轨迹 系统性能的分析

第四章 线性系统的根轨迹法
1
4-1
根轨迹法的基本概念
本节内容



根轨迹的定义 根轨迹与系统性能 闭环与开环零、极点的关系 根轨迹方程
本节内容：

根轨迹绘制的基本法则 闭环极点的确定
9
第四章 线性系统的根轨迹法
4－2－1 根轨迹绘制的基本法则

法则1
根轨迹的起点和终点
根轨迹起于开环极点，终于开环零点. 无限零点、无限极点
根轨迹终点,其余 两个终点为无穷远
j
j
根轨迹终点
K 0
K 0
K 0 K
K
C(s)
闭环传递函数：
G( s) ( s) 1 G( s) H ( s)
前向通路根轨迹增益
K G ( 1s 1)( s 2 2 2 s 1) * G ( s) v KG s (T1s 1)(T s 2 2T2 s 1)
K KG
G 2 1 2