导数含参问题

导数切线及含参问题讨论

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 切线问题分类及解法：

题型一：已知切点，求曲线的切线方程；

此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．

曲线3231y x x =-+在点(1

1)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =-

题型二：已知斜率，求曲线的切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．

与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）

Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 题型三：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，待定切点法。 求过曲线x x y 23

-=上的点（1.-1）的切线方程。

题型四：已知过曲线外一点，求切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程． 变式1、已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则

(1)(1)f f '+= 。

变式2、

导数含参问题讨论

题型一：求导后，考虑函数为零是否有实根，进行分类讨论。 1.

，讨论函

数F （x ）的单调性

2.设a>0,讨论函数x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2

---+=的单调性

3.已知函数ax x x f -=ln )(求单调区间

4.已知函数x ax x f +=22

1)(，求单调区间 题型二：求导后，不知道导数为零的根是否落在定义域内，进行分类讨论。 用导数解决函数问题若求导后，研究函数的导数问题时能转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按△＞0、△=0、△＜0；在△＞0时，求导函数的零点再根据零点是否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论

1.设函数22ln )1()(x a x a x f ++=，求其单调区间

2.已知a 是实数，函数)()(a x x x f -=

（1）求单调区间

（2）设g （a ）为f （x ）在区间[0.2]上的最小值。

写出g （a ）表达式

求a 的取值范围，使2)(6-≤≤-a g

3.已知函数x a x x a x f )1(2

13)(23-+-=

，求单调区间 题型三：求导后，导数为零的根有参数且落在定义域内，但不知实根大小关系进行分类讨论。 用导数解决函数问题若求导后，研究函数的导数问题时能转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按△＞0、△=0、△＜0；在△＞0时，求导函数的零点再根据零点是否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论 1.ax x a x x f 2)2(2

131)(23++-=，求单调区间 2.)(1

12)(22R x x a ax x f ∈++-=，当0≠a 时，求单调区间 题型四：求参数的范围时由于不能分离出参数而引起的对参数进行的讨论?

1.已知x a ax x x f 2

2396)(+-=，当a>0时，a x f x ≤∈∀)(]3,0[，有恒成立，求实数a 的取值范围.

2.设函数)1ln()(2++=x b x x f ，求极值点

3.已知函数()()321f x x ax x a R =+++∈ （1）讨论()f x 的单调区间；

（2）若函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭

内单调递减，求a 的取值范围。 题型五：结合函数的图像与性质求参数的取值范围问题

1.设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+。

（1）求()f x 的极值；

（2）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点。

2.．已知函数43219()42

f x x x x cx =+-+有三个极值点。证明：275c -<<； 解题方法：结合函数图像求解参数问题，题目中一般出现零点，根，)()(21x f x f 和等关键词，利用二次函数图像或数轴穿根的方法，将利用导数所求的极值点标在图像上，根据题意求解问题。

题型六：导数解决不等式问题

1．对于函数()()3220.32

a b f x x x a x a =+-> （1）若函数()f x 在2x =处的切线方程为720y x =-,求,a b 的值；

（2）设12,x x 是函数)(x f 的两个极值点,且122x x +=,证明：9b ≤

2.函数ax(a 0)->,解不等式f(x)≤1

3.已知函数a 9f (x)(

(a R)x

=+∈,对f(x)定义域内任意的x 的值，f(x)≥27恒成立，求a 的取值范围 解题方法：题中出现不等式符号时，一般利用不等式构造函数方程，将所含参数代数式移到不等式一侧，构造函数方程并求导，利用极大值大于最大值，极小值小于最小值解题。 题型七：已知区间单调或不单调，求解参变量的范围

1.设函数()()0.kx f x xe k =≠

(1) 求曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程；

（2）求函数()f x 的单调区间

（3）若函数()f x 在区间()1,1-内单调递增，求k 的取值范围。

2.已知函数()()321f x x ax x a R =+++∈ （1）讨论()f x 的单调区间；

（2）若函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭

内单调递减，求a 的取值范围。