第3章 量纲分析及相似原理

第三章 量纲分析和相似律

3.1 量纲分析是分析和研究问题的有力手段和方法

自然现象和工程问题都可用一系列的物理量来进行描述。研究现象或问题的目的是寻求规律。首先，需要把问题所涉及的物理量按属性进行分类；其次，需要找出不同类物理量之间具有什么样的相互联系；最后，进一步找出某些物理量与另外一些物理量之间所存在的因果关系。特别是在研究新现象或新问题的时候，需要对现象和问题中蕴涵的物理环节、关系和过程进行初步的中肯的分析，运用物理学中的基本规律，明确有哪些参数对现象或问题起到控制作用，分析这些参数的作用孰轻孰重，并注意到只有同类的物理量才能比较大小。在上述前提下，进一步分析讨论和确定因果关系，从而在数学上给出尽量多明确的函数关系。

有些现象或问题的研究，可以借助或采用现成的物理和数学模型和方程； 然而，更多的复杂现象或问题，无法利用现成的数学方程来表述，这时就需要进行科学的实验研究和分析来暴露和揭示问题的物理实质，从而明确因果联系。科学实验按其进行的方式分为原型(实物)实验和模型(模拟)实验。由于原型实验所需的费用大，而且受环境自然条件等因素的限制，往往不能及时和有效地进行实验，所以在实验室中进行模型实验是普遍采用的方法。这就需要借助于相似理论和量纲分析方法，相似理论和量纲分析是在多个学科中广泛应用的基础知识，在力学实验中也广为应用。相似理论是模拟实验的基础，量纲分析方法是模型实验的重要手段。

应该指出，运用量纲分析方法必须与对问题的基本物理内涵的中肯分析结合起来。分析越深入，结论越有用。这就需要研究者具有较为丰富的经验和智慧。当然，也需要进行多次试探和修正，最终得到符合实际的满意的结果。

3.2 物理量的度量

物理规律是通过实验或理论，对有关物理量的数据进行分析、归纳和综合得到的。它的正确性则由它的推论是否符合实验或观测而求得验证。

在对规律的认识过程中始终离不开对物理量的度量。度量某一物理量，就意味着以一定方式将该量与一个取作单位的同类量相比较；如果将取作单位的同类量改变，那么度量它的量值也即将随之改变。例如，在度量某一物体的长度L 时，我们可取另一个长度单位，加以比照，得到某物的长度0L L 的值，可以记为l L 0/L l =，或0L lL =；若取另一个长度单位，则1L 1L l L ′= 显

然。我们知道，任何度量都不可能绝对准确，都具有一定的误差。度量的精度取决于采用什么样的度量技术和工具，以及度量者度量时的仔细程度。一般，可以估计出误差的大小l l ′≠l Δ (习惯上取正值)。

对于任何一个物理量A ，如取单位为U ，度量得到的量值为，而其实际量值为，误差为，则可以表示为 ，而且有

a 0a a Δ（>0）A aU =0a a a =±Δ 和 00/1/a a a a ±=Δ

如果需要对两个量值a 和b 进行四则运算，而且已知

0b b b =±Δ 和 00/1/b b b b =±Δ，

则有

00()()a b a b a b +=+±Δ+Δ0000)/()1()/()a b a b a b a b 和(++=±Δ+Δ+a b a b a b −=−±Δ+Δ0000)/()1()/()a b a b a b a b ，

00()()和(−−=±Δ+Δ−，

0000()ab a b a b b a =±Δ+（）Δ和0000()/()1(//)ab a b a a b b =±Δ+Δ，

200000/(/)()/a b a b a b b a b =±Δ+Δ和0000(/)/(/)1(//)a b a b a a b b =±Δ+Δ。

3.3 量纲及量纲分析

1、量纲与单位

在科学实验中，常常要测量各种物理量，为了辨识某类物理量和区分不同类物理量的方便起见，人们采用“量纲”这个术语来表示物理量的基本属性。例如长度、时间、质量显然具有不同的属性，因此它们具有不同的量纲。物理量总可以按照其属性分为两类。一类物理量的大小与度量时所选用的单位有关，称之为有量纲量，例如长度、时间、质量、速度、加速度、力、动能、功等就是常见的有量纲量；另一类物理量的大小与度量时所选用的单位无关，则称之为无量纲量，例如角度、两个长度之比、两个时间之比、两个力之比、两个能量之比等。

在测量中取作标准的量称为测量单位，不同性质的量有不同的测量单位，但是由于现象的内在联系，不同量间表现出函数关系，所以描述某类问题的所有测量单位，并非都是独立的。例如长度单位、时间单位、速度单位就不都是独立的。单位有两个含义，一是表示被测物理量的类型，二是表示测量的“尺度”。单位是度量某一物理量的基值，是预先人为选定的。例如米、

厘米、毫米都属于长度的度量单位，故都可以作为长度这一类物理量的度量单位，但它们的“尺度”是不同的。

不同类型的物理量用量纲来表示，属于同一类型的物理量具有相同的量纲。同一类别的物理量量纲相同，但可以用不同的单位去描述。具体的“数值”和“单位”就准确地表示出了该理量的大小。

对于任何一个物理问题来说，出现在其中的各个物理量的量纲或者是由定义给出，或者是由定律给出。在一个物理问题中，总可以把与问题有关的物理量分成基本量和导出量两类。基本量是指具有独立量纲的那些物理量，它的量纲不能表示为其他物理量的量纲的组合；导出量则是指其量纲可以表示为基本量量纲的组合的物理量。

2、量纲分析

为了简单有效地说明：怎样运用量纲分析的方法来分析问题，从而揭示问题的物理实质，明确其中的因果关系．我们不妨讨论单摆这样个简单例子。

如图3-1所示单摆，细绳的一端悬挂一个质量为的摆锤，细绳的另一端固定不动，而且细绳质量比摆锤质量小得多而可忽略不计，细绳的变形比绳长小得多也可忽略不计。将摆锤从铅垂的自然状态，沿半径为的圆弧移动到初始方位角m l α，然后无初速放开，摆锤在重力的作用下作周期性的振荡。显然，单摆的周期取决于4个控制参数，即摆锤的质量m 、细绳的长度、重力加速度g 以及初始方位角p T l α, 于是有以下函数关系：(,,,)p T f m l g α=

。

图3-l 单摆

这是一个简单的力学系统，在函数f 的自变量中，有三个量纲独立的基本量，即，它们的量纲分别是质量、长度和加速度。在上述函数关系中的,,m l g 和α为角度，其定义是两个长度之比；因变量的量纲是时间，可以表示为基本量l 和的量纲的组合。即(长度/加速度)p T g 1/2，所