电路分析的基本方法及定理

§2-10 戴维南定理和诺顿定理
一、戴维南定理
二端网络也称为一端口网络，其中含有电源的二端网络称为有源一端口网络，不含电源的二端网络称为无源一端口网络，它们的符号分别如图2-10-1（a ）（b ）所示。

任一线性有源一端口网络（如图2-10-2（a ）所示）对其余部分而言，可以等效为一个
电压源d U 和电阻d R 相串联的电路（如图2-10-2（b ）所示），其中d U 的大小等于该有源一端口网络的开路电压，电压源的正极与开路端高电位点对应；d R 等于令该有源一端口网络内所有独立源为零（即电压源短接、电流源开路）后所构成的无源一端口网络的等效电阻。

这就是戴维南定理，也称为等效电源定理；d U 与d R 串联的电路称为戴维南等效电路。

下面证明戴维南定理，如图2-10-2（a ）所示，电阻R 上的电压、电流为确定值，利用替代定理，将图2-10-2（a ）中的R 替代为电流源，如图2-10-2（c ）所示。

因为网络A 为线性有源一端口网络，因此，可利用叠加定理，将上述图（c ）中的电压U 看作两组独立源分别作用产生的两个分量之和。

第一个分量是由网络A 中的独立源作用所产生的，即令独立电流源为零，将11'端口断开后在11'端口产生的开路电压d U ，如图2-10-2（d
）所示；
图
2-10-1
图2-10-2
第二个分量是由电流源I 单独作用所产生的，即令网络A 中所有独立源为零后在11'端口产生的电压U '，如图2-10-2（e ）所示，这时有源网络A 即变为相应的网络P ，值得注意的是倘若A 中含受控源，受控源应依然保留在网络P 中。

观察图（e ），设从11'端口向左看的入端等效电阻为d R ，即网络P 的入端等效电阻为Rd ，则有d U R I '=-，两个分量叠加得：d d d U U U U R I '=+=-。

对照图2-10-2（b ）可知，上述图（b ）与图（a ）具有相同的端口特性方程，由此可知图（b ）就是图（a ）的等效电路，戴维南定理得证。

要计算一个线性有源一端口网络的戴维南等效电路，其步骤和方法为：
1、计算d U ：利有电路分析方法，计算相应端口的开路电压；
2、计算d R ：当线性有源一端口网络A 中不含受控源时，令A 内所有独立电源为零后得到的无源一端口网络P 则为纯电阻网络，利用无源一端口网络的等效变换就可求出端口等效电阻；当线性一端口网络A 中含有受控源时，令A 内所有独立电源为零后得到的一端口网络P 中仍含有受控源，这时，可采用加压法和开路短路法求d R 。

（i ）加压法：如图2-10-3（a ）所示，令有源一端口网络A 内所有独立源为零后得到一端口网络P （注意受控源仍需保留），在网络P 的端口加上一个独立电压源U （或独立电流源I ）计算出端口电流I （或端口电压U ），那么d U R I
=。

（ii ）开路短路法：图2-10-3（b ）所示为戴维南等效电路，从中可知：短路电流d d d U I R =
，当然d d d
U R I =。

当求出有源线性一端口网络A 端口的开路电压d U 、短路电流d I 后，d R 也就求出来了（注意d d U I 、的参考方向）。

图2-10-3
例2-10-1 利用戴维南定理求图2-10-4（a ）所示电路中的电流I 为多少？
解：将A 、B 左边部分电路看作有源一端口网络，用戴维南等效电路替代后如图2-10-4（b ）所示。

（1）求d U ：将A 、B 端口开路，得到图2-10-4（c ）所示电路。

由米尔曼公式得： 012/6218/69()1/61/6
d AB U U V -+===+ （2）求等效电阻d R ：令A 、B 以左的三个独立源为零，得到图2-10-4（d ）所示电路，则A 、B 端口的等效电阻为：6//63()d R ==Ω
（3）从图2-10-4（b ）中求I ：
141()(4//(31))431
d d U I A R +=⨯=++++
图2-10-4 例2-10-1附图
例2-10-2 在图2-10-5（a ）所示电路中，已知4,S I A =11R =Ω，23R =Ω，求A 、B 端
口的戴维南等效电路。

解：（1）求d U ：图2-10-5（a ）中A 、B 端口处于开路状态，列写KVL 方程：
22
202(13)42 2()
36()
d AB I I I A U U I V +⨯=+===⨯= （2）求等效电阻d R ：下面分别用两种方法求解。

（i ）开路短路法：开路电压已在（1）中求得，现求A 、B 端口的短路电流。

将A 、B 端口短接，如图2-10-5（b ）所示，从图中易看出：
230I ⨯=， 即20I =
则受控源220,I =则有： 4/1
4()d I A == / 1.5()d d d R U I ==Ω
（ii ） 加压法：将独立电压源置零后，然后再在A 、B 端口加上一个电压源，如图2-10-5（c ）所示。

列写KVL 方程： 212312I I I ⨯-⨯=
21I I =
又因为： 23
U I = 所以： 12
d U U R I I I =
=+ (
图2-10-5 例2-10-2附图
2 1.5223
U U U
I ===Ω⨯⨯（） 最后，得到A 、B 端口的戴维南等效电路如图2-10-5（d ）所示。

二、最大功率的传输条件：
当一个线性有源一端口网络化为戴维南等效电路后，在其端口接上可变电阻R ，如图2-10-6所示。

当d d U R 、已知，那么当R 为多少时它能获得最大功率？获得的最大功率又为多少？
2R P I R =
2()()d d U R f R R R
=⨯=+
令()0df R dt
=，得到：d R R = （式2-10-1 ） 此时 2max 4d R d
U P P R == （式2-10-2） （式2-10-1）就是最大功率的传输条件。

若d R 是信号源内阻，R 是负载电阻，则当满足最大功率传输条件时，传输效率为50%，即有一半功率消耗在信号源内阻上。

例2-10-3 在图2-10-7（a ）所示电路中，两个有源一端口网络1A 、2A 串联后与R 相连，R 从0→∞改变，测得0R =Ω时，0.2I A =；50R =Ω时，0.1I A =。

（1）当R 为多少时，能获得最大功率？
（2）当将图2-10-7（b ）所示电路代替R 接于A 、B 端口时，12320R R R ===Ω，VCVS 的控制系数 3.6μ=，求端口电压AB U 。

图2-10-6
解：（1）首先将两个有源一端口网络12A A 、化为戴维南等效电路，分别记为1d U 、
1d R 、2d U 、2d R ，再将1d U 、2d U 等效为一个电压源，记为d U ，将串联的1d R 、2d R 等效为一个电阻d R ，于是串联的两个有源一端口网络12A A 、最后等效为一个电压源d U 和一个电阻d R 的串联，如图2-10-7（c ）所示。

()d d I R R U +=
代入已知条件： 0.2(0)d d R U ⨯+=
0.1(50)d d R U ⨯+=
解之得： 50(), 10()d d R U V =Ω=
所以当50d R R ==Ω时，获得最大功率：
22max 100.5()4450
d d U P W R ===⨯ （2）将图2-10-7（b ）所示电路接于A 、B 端口，利用节点电压法，由米尔曼公式得：
23123
0.20.091110.095d d AB AB d U U R R U U R R R R μ++==+++ 其中： 221212AB AB U U R U R R =
⨯=+ 最后得到： 40()AB U V =
三、诺顿定理
任一线性有源一端口网络（如图2-10-8（a ）所示）对其余部分而言，可以等效为一个电流源d I 与一个电阻d R 相并联的电路（如图2-10-8（b ）所示），其中d I
的大小等于有源一
图2-10-7例2-10-3附图
端口网络端口的短路电流，电流的方向从高电位点流出；d R 等于戴维南定理中的d R ，即等于令有源一端口网络内所有独立源为零后所构成的无源一端口网络的等效电阻。

利用戴维南定理，将网络A 化为d U 、d R 串联电路，再根据实际电压源与实际电流源模型的等效变换，将d U 、d R 串联组成的实际电压源模型化为由d I 、d R 并联组成的实际电流源模型，其中d d d
U I R =
，显然，从图2-10-8（b ）中易看出d I 就是网络A 的短路电流，诺顿定理得证。

下面再利用替代定理、叠加定理，采用证明戴维南定理对偶的方法来证明诺顿定理。

如图2-10-8（a ）所示，电阻上的电流为确定值，利用替代定理，用一个电压源U 替代电阻R ，如图2-10-9（a ）所示。

因为有源一端口网络A 为线性有源二端网络，利用叠加定理，将图2-10-9（a ）中的电流I 看作两组独立源分别作用产生的两个分量之和：第一个分量是A 中所有独立源作用、令电压源U 为零时产生的电流，即A 的短路电流d I ，如图2-10-9（b ）所示；第二个分量是电压源U 单独作用、令A 中所有独立源为零时产生的电流I '，如图2-10-9（c ）所示，假设令A 中所有独立源为零（若含有受控源，受控源依然保留）后所形成的网络P 的入端电阻为d R ，则d U I R '=-，两分量叠加得到：d d d
U I I I I R '=+=-。

比较图2-10-9（a ）与图2-10-8（b ），线性有源一端口网络A 与电流源d I 、电阻d R 并联电路在端口11'
上
图2-10-8
图2-10-9
具有完全相同的端口特性方程，因此它们对其余部分而言彼此等效，故而诺顿定理成立。

要计算一个线性有源一端口网络A 的诺顿等效电路，只要求出网络A 的短路电流d I 、令网络A 中所有独立源为零后的网络P 的入端等效电阻d R 即可。

诺顿定理中的d R 与戴维南定理中的d R 是完全相同的，因此求解方法也完全相同。

例2-10-4 利用诺顿定理计算图2-10-10（a ）所示电路中的电流I 。

解：（1）求短路电流d I ：将A 、B 端口短接，右边4Ω的电阻被短接，得到图2-10-10（b ）所示电路。

1123()(3//6)(3//6)
I A ==+ 2162()36
I I A =⨯=+ 3131()36
I I A =⨯=+ 231()d I I I A =-=
（2）求等效电阻d R ：令左边12V 的电压源为零，左边4Ω电阻被短接，如图2-10-10（c ）所示。

[(3//6)(3//6)]//42()d R =+=Ω
（3）画出AB 端口以左电路的诺顿等效电路，如图2-10-10（d ）所示。

()0.52
d d d R I I A R =⨯=+
图2-10-10例2-10-4附图
例2-10-5 求图2-10-11（a ）所示电路的诺顿等效电路。

解：（1）求短路电流d I ：将A B 、两端短接，如图2-10-11（b ）所示。

由KVL 有： 62I ⨯= 1()3
I A = 由KCL 有： 13d I I I +=+ 141()3d I I A =-=
（2） 求A 、B 端口的等效电阻：令2V 的电压源、1A 的电流源为零，受控源仍然保留，得到图2-10-11（c ）所示电路。

6()AB U I =⨯-
34AB I I I I =--=-
1.5()AB d AB
U R I ==Ω 戴维南定理和诺顿定理是线性电路中的重要定理，它可将任意复杂的线性有源一端口网 络化为等效的、简单的含内阻的电压源或电流源。

当只需求电路中某支路的电流或电压时，可将该支路拉出，其余部分看作一端口有源网络A ，将A 化为戴维南或诺顿等效电路，则被拉出支路的电流或电压就易于求解了。

当有源一端口网络的拓扑结构和参数都未知，用一个方框（也称为所谓黑匣子）表示时，如果知道它是线性的，就可以用两个参数d U 、d R 或d I 、d R 来描述它，并可以用实验方法求出其戴维南或诺顿等效电路。

图2-10-11例2-10-5附图。