电路分析的基本方法及定理

§2-10 戴维南定理和诺顿定理

一、戴维南定理

二端网络也称为一端口网络，其中含有电源的二端网络称为有源一端口网络，不含电源的二端网络称为无源一端口网络，它们的符号分别如图2-10-1（a ）（b ）所示。

任一线性有源一端口网络（如图2-10-2（a ）所示）对其余部分而言，可以等效为一个

电压源d U 和电阻d R 相串联的电路（如图2-10-2（b ）所示），其中d U 的大小等于该有源一端口网络的开路电压，电压源的正极与开路端高电位点对应；d R 等于令该有源一端口网络内所有独立源为零（即电压源短接、电流源开路）后所构成的无源一端口网络的等效电阻。这就是戴维南定理，也称为等效电源定理；d U 与d R 串联的电路称为戴维南等效电路。

下面证明戴维南定理，如图2-10-2（a ）所示，电阻R 上的电压、电流为确定值，利用替代定理，将图2-10-2（a ）中的R 替代为电流源，如图2-10-2（c ）所示。因为网络A 为线性有源一端口网络，因此，可利用叠加定理，将上述图（c ）中的电压U 看作两组独立源分别作用产生的两个分量之和。第一个分量是由网络A 中的独立源作用所产生的，即令独立电流源为零，将11'端口断开后在11'端口产生的开路电压d U ，如图2-10-2（d

）所示；

图

2-10-1

图2-10-2

第二个分量是由电流源I 单独作用所产生的，即令网络A 中所有独立源为零后在11'端口产生的电压U '，如图2-10-2（e ）所示，这时有源网络A 即变为相应的网络P ，值得注意的是倘若A 中含受控源，受控源应依然保留在网络P 中。观察图（e ），设从11'端口向左看的入端等效电阻为d R ，即网络P 的入端等效电阻为Rd ，则有d U R I '=-，两个分量叠加得：d d d U U U U R I '=+=-。对照图2-10-2（b ）可知，上述图（b ）与图（a ）具有相同的端口特性方程，由此可知图（b ）就是图（a ）的等效电路，戴维南定理得证。

要计算一个线性有源一端口网络的戴维南等效电路，其步骤和方法为：

1、计算d U ：利有电路分析方法，计算相应端口的开路电压；

2、计算d R ：当线性有源一端口网络A 中不含受控源时，令A 内所有独立电源为零后得到的无源一端口网络P 则为纯电阻网络，利用无源一端口网络的等效变换就可求出端口等效电阻；当线性一端口网络A 中含有受控源时，令A 内所有独立电源为零后得到的一端口网络P 中仍含有受控源，这时，可采用加压法和开路短路法求d R 。

（i ）加压法：如图2-10-3（a ）所示，令有源一端口网络A 内所有独立源为零后得到一端口网络P （注意受控源仍需保留），在网络P 的端口加上一个独立电压源U （或独立电流源I ）计算出端口电流I （或端口电压U ），那么d U R I

=。 （ii ）开路短路法：图2-10-3（b ）所示为戴维南等效电路，从中可知：短路电流d d d U I R =

，当然d d d

U R I =。当求出有源线性一端口网络A 端口的开路电压d U 、短路电流d I 后，d R 也就求出来了（注意d d U I 、的参考方向）。

图2-10-3

例2-10-1 利用戴维南定理求图2-10-4（a ）所示电路中的电流I 为多少？

解：将A 、B 左边部分电路看作有源一端口网络，用戴维南等效电路替代后如图2-10-4（b ）所示。

（1）求d U ：将A 、B 端口开路，得到图2-10-4（c ）所示电路。

由米尔曼公式得： 012/6218/69()1/61/6

d AB U U V -+===+ （2）求等效电阻d R ：令A 、B 以左的三个独立源为零，得到图2-10-4（d ）所示电路，则A 、B 端口的等效电阻为：6//63()d R ==Ω

（3）从图2-10-4（b ）中求I ：

141()(4//(31))431

d d U I A R +=⨯=++++

图2-10-4 例2-10-1附图

例2-10-2 在图2-10-5（a ）所示电路中，已知4,S I A =11R =Ω，23R =Ω，求A 、B 端

口的戴维南等效电路。

解：（1）求d U ：图2-10-5（a ）中A 、B 端口处于开路状态，列写KVL 方程：

22

202(13)42 2()

36()

d AB I I I A U U I V +⨯=+===⨯= （2）求等效电阻d R ：下面分别用两种方法求解。

（i ）开路短路法：开路电压已在（1）中求得，现求A 、B 端口的短路电流。将A 、B 端口短接，如图2-10-5（b ）所示，从图中易看出：

230I ⨯=， 即20I =

则受控源220,I =则有： 4/1

4()d I A == / 1.5()d d d R U I ==Ω

（ii ） 加压法：将独立电压源置零后，然后再在A 、B 端口加上一个电压源，如图2-10-5（c ）所示。

列写KVL 方程： 212312I I I ⨯-⨯=

21I I =

又因为： 23

U I = 所以： 12

d U U R I I I =

=+ (

图2-10-5 例2-10-2附图

2 1.5223

U U U

I ===Ω⨯⨯（） 最后，得到A 、B 端口的戴维南等效电路如图2-10-5（d ）所示。

二、最大功率的传输条件：

当一个线性有源一端口网络化为戴维南等效电路后，在其端口接上可变电阻R ，如图2-10-6所示。当d d U R 、已知，那么当R 为多少时它能获得最大功率？获得的最大功率又为多少？

2R P I R =

2()()d d U R f R R R

=⨯=+

令()0df R dt

=，得到：d R R = （式2-10-1 ） 此时 2max 4d R d

U P P R == （式2-10-2） （式2-10-1）就是最大功率的传输条件。若d R 是信号源内阻，R 是负载电阻，则当满足最大功率传输条件时，传输效率为50%，即有一半功率消耗在信号源内阻上。

例2-10-3 在图2-10-7（a ）所示电路中，两个有源一端口网络1A 、2A 串联后与R 相连，R 从0→∞改变，测得0R =Ω时，0.2I A =；50R =Ω时，0.1I A =。

（1）当R 为多少时，能获得最大功率？

（2）当将图2-10-7（b ）所示电路代替R 接于A 、B 端口时，12320R R R ===Ω，VCVS 的控制系数 3.6μ=，求端口电压AB U 。

图2-10-6