§6_伴随矩阵及习题

❖练习 求矩阵 X使满足
AXB C
其中
1
A


2
3
2 2 4
3 1 3
2 B 5
1 3
1 C 2
3
3 0 1
解：若
B 1式，有
即
A1, 存B在1 ，则用 左乘A上式1 ， A1 AXBB1 A1CB1
X A1CB1
( A E)施行初等行变换,当把A变成E时,原来的E就
变成了 A1 .
或者对分块矩阵
A E
施行初等列变换,当把A
变成E时,原来的E就变成了A1 .
即， A, E 初等行变换 E，A1

A E

初等列 变换
E A1

§ 6 伴随矩阵及相应习题
伴随矩阵
❖ 伴随矩阵 设n阶方阵
a11
A


a21
a12 a22
L L
a1n
a2n

M M
M


an1 an2 L ann
由方阵 A中元素 的a代ij 数余子式
Aij (i 1,2,L ,n; j 1,2,L , n)
按转置方式排成的 阶n方阵，称为方阵 的A伴随矩
3 0 5
例3：设 4 阶方阵 A , 2 , 3 , 4 , B , 2 , 3 , 4 ,
其中 , , 2 , 3 , 4 均为 4 维列向量，且已知行列式
A 4, B 3, 求行列式 A B .
分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求
7. 初等矩阵与初等变换的关系：
初等变换
初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
定理：设A是m n矩 阵 ， 对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 ，
相 当 于 在A的 左 边 乘 一 个 相 应 的m阶 初 等 矩 阵 ； 对A施 行 一 次 初 等 列 变 换 ，相 当 于 在A的 右 边 乘 一 个 相 应 的n阶 初 等 矩 阵 。
阵，记作
A11
A*


A12
M
A21 L A22 L
M

A1n
A2n
L
An1
An
2

M
Ann

❖定理 n阶方阵 可逆A 的充分必要条件是
并且当 可A 逆时， 的A逆矩阵可表示为
A1 1 A * | A|
| A | 0
其中， A是* 的A伴随矩阵．
上述定理不仅说明了方阵可逆的条件，而且在方阵 可逆的情况下，给出了应用伴随矩阵求逆矩阵的方 法．
当 m 2k 1 时
Am A2k1 A2k A 22k E4 A 2m1 A
1 0 0 1 0 0
例5：已知
求A
AP
与
A5
PB, .
B


0 0
0 0
0 1

,
P


2 2
1 1
0 1

解： P 0 P 1存在
3 AB A B
转置矩阵: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A .
满足：1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
对称矩阵和反对称矩阵：
1 1 1
A PBP1
A2 PBP1 PBP1 PB2P1 A3 PB2P1 PBP1 PB3P1
A5 PB5P1
1 0 0
1 0 0
又
B2


0 0
0 0
0 1

,
B3


0 0
0 0
0 1
9. 解矩阵方程的初等变换法 (1)AX B
初等行变换
( A B) ~ (E A1 B) X A1 B
(2)XA B
~

A B

初等列变换 E

B
A1

X
BA1
或者
~ ( AT
初等行变换
BT )
(E
(
AT
1
)
BT
)

XT

(
AT
1
)
BT
X B A1
乘法满足 ( AB)C A(BC );
( AB) (A)B A(B), (其中为数);
A(B C ) AB AC , (B C )A BA CA; E m Amn Amn Amn E n .
矩阵乘法不满足：交换律、消去律
方阵的幂： A是n 阶方阵， Ak A AA
a m
1
a m2

a mn

实矩阵: 元素是实数
复矩阵： 元素是复数
一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵
2. 矩阵的基本运算
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）
加法满足
11 ri k (ci k ) ri (k)r j(ci (k)c j)
6. 初等矩阵
初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵： 初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵
初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
E(i, j)1 E(i, j) E(i(k ))1 E(i( 1 )) E(ij(k))1 E(ijk(k))
A


1 1
1 1
1 1
1 1
求
Am .

1
1
1
1

解： （递推法）
4

A2

4 4



4 E4

22 E4

4

A3 A2 A 22 A
所以，当 m 2k 时
Am A2k
A2
k

22 E4 k 22k E4 2m E4
AA A A A E.
3. 逆矩阵
定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 AB BA E
则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的） 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
判定定理: n阶方阵A可逆 A 0 且 A1 1 A A
解： A B ,2 2,2 3,2 4 8 , 2, 3, 4 8( , 2, 3, 4 , 2, 3, 4 )
8( A B ) 56
2. 方阵的幂 1 1 1 1
例4：设
推论：设A、B为同阶方阵，若 AB E, 则A、B都可逆，且 A1 B，B1 A
满足规律： ( A )1 1 A, ( AT )1 ( A1)T,
(
A)1

1

A1(

0)
A1 A 1
逆矩阵求法：（1）待定系数法 （2）伴随矩阵法 （3）初等变换法


B
B5 B
A5 PB5P1 PBP1 A
1 0 0
又P 1


2 4
1 1
0 1

来自百度文库1 0 0

A5

A


2 6
0 1
01
3. 逆矩阵的求解、证明 例6: 求A的逆矩阵． A


0 1
2 1 1 2

,
得
ac

c
b
d
d



a c
a b
c

d

c 0,a d
a

X


0
b
a

,
其中a，b为实数
1 0 0
例2：设
A


0 3
1 0
0 3

,
求 (2E A)T (2E A)1(4E A2 ) 的行列式。
一. 主要内容
1. 矩阵的定义
由m n个数 aij (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)
排成的m行n列的数表，

a 11
a 12
a 1n

简称m n矩阵.
记作
A


a21
a22
a2n
A a 简记为
或 A ij mn
mn

4. 分块矩阵
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．
5. 初等变换
对换变换、倍乘变换、倍加变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换．
初
等
变
换逆
变
换
ri r j (ci c j) ri k(ci k) ri k r j(ci k c j)
ri r j (ci c j)
A是对称矩阵 AT A A是反对称矩阵 AT A
幂等矩阵： A为n阶方阵，且 A2 A
伴随矩阵：行列式 A 的各个元素的代数余子式
构成的如下矩阵
Aij 所
A11
A


A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2 Ann
可解得 | A，| 2 ，| B故|知1 都可逆A．, B且
右乘上
21
A11 4
2 3
23
A21 4
6 3
2 A12 3
1 3
3
1 A22 3
3 6
3
2 A13 3
得
2 2
4
12
A23 3
2 4
2 6 4
A* 3 6
5
8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵
定理： 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积
推论2：如果对可逆矩阵 A 和同阶单位矩阵 E 作同样的初等 行变换，那么当 A 变成单位矩阵 E 时，E 就变成 A1。
要求可逆矩阵A的逆矩阵, 只需对分块矩阵
数乘满足 ()A (A); ( )A A A; ( A B) A B.
矩阵与矩阵相乘：设 A (aij)ms, B (bij)sn, 规定 AB C (cij)mn,
s
其中 cij ai1b1 j ai 2b2 j L aisbsj aikbkj k 1 (i 1,2,L ,m; j 1,2,L n)

2 2 2
23
A31 2
4 1
13
A32 2
5 1
12
A33 2
2 2
所以
1 3 1
A1
1
A*


3
3
5

| A| 2
2
1 1 1
同样可得出
B 1

|
1 B
|
B*

3

5
1
2

于是
1
X

A1CB 1


3
2
1
3 3
1
1
5

2
1
1 2 3
3
0 1
3 5
1
2

1 0
0
1
2 2

3 5
1
2


2

10
10
1 4 4
矩阵习题
一. 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题
1 交换律：A B B A.
2 结合律：A B C A B C . 3 A 0 A,其中A与O是同型矩阵. 4 A A O.
数与矩阵相乘：数 与矩阵 A的乘积记作 A 或 A ，规定为 A A (aij )
并且
k个
Am Ak Amk
Am k Amk （m,k为正整数）
方阵的多项式：
f (x)

ak x k

a x k 1
k 1

a1 x a0
f
( A)

a Ak k

a A k 1
k 1

a Aa E
1
0
方阵的行列式：
满足: 1 AT A; 2 A n A;
1. 矩阵的基本运算
二. 典型例题
2. 方阵的幂 3. 逆矩阵的求解、证明
1. 矩阵的基本运算
4. 矩阵方程 5. 矩阵的分块运算
例1：设矩阵
A


1 0
1 1 , 求与A可交换的所有矩阵。
分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求
解：设所求矩阵为 X 由 AX XA,

a

c
b d
分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算
解： (2E A)T (2E A)1(4E A2 )
(2E A)T (2E A)1(2E A)(2E A)
(2E A)T (2E A) (2E A)T (2E A)
3 0 02
(2E A) 2 0 3 0 2025