[16][ch6][椭球面元素归算至高斯平面1]
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3 1 sin B cos4 B(2 4t 2 2t 4 ) l5
15
令 tan γ x,则 γ arctan x x 1 x3 1 x5
35
l s in
B[1
l2 cos2
3 2
B
(1
3
2
2
4
)
l4 cos4
15 4
B
(2
t
2
)]
计算说明：需要知道某点的近似大地坐标（B，L）
12 13 P1(x1, y1)
o
y
计算说明：需要知道两点的平面近似坐标
较精密公式：适用于二等三角测量计算0.01"
δ
1 2R2
( x2
x1 )
y1
QP2
sin(α ε ) 3
QP2
sin(α ε )
P1P2 sin( β ε ) P1P2
3
3
QP2 sinT P1P2
δ12 (α δ T )
2Rm2
( x2
x1 )
近似公式：适用于三、四等三角测量计算0.1"
12
ym
2Rm2
( x2
x1), 21
ym
2Rm2
( x2
x1 )
x
N
x3 x1 D13 cosT13 y3 y1 D13 sin T13 ...............................
D12
T12
P
近12 (似y1公式y：2 )(适x用2 于x三1)、四等三角测量计算0.1"
ym (x2 x1)
ym (x2 x1) 2Rm2
ym (x2 x1)
2Rm2
360 3怎60么 计12算？21
12 21
2
P 2R2
P 2Rm2
12
ym
2Rm2
( x2
x1), 21
ym
由大地坐标（B，L）计算平面子午线收敛角0.001"
l
sin
B[1
l2 cos2
3 2
B
(1
3
2
2
4
)
l4 cos4
15 4
B
(2
t
2
)]
公式分析：
1）l=0或B=0，γ=0，即参考椭球上中央子午线或赤道上 的点，投影到高斯平面上，它们的平面子午线收敛角 为0；
第十六讲
椭球面元素归算 至高斯（一）
• 画图说明按高斯－克吕格投影， 椭球面上经纬线投影后的形状 （5点）
• 画图说明垂足纬度
• 应用要求：高斯投影反算
• 应用要求：高斯投影平面坐标 的邻带换算
• 应用要求：高斯投影平面坐标 的3度带到6度带的换算
• 应用要求：高斯投影平面坐标 的6度带到3度带的换算
6.5 椭球面元素归算至高斯平面
确定水平坐标的流程
已知坐标 （L，B）
已知坐标 （X，Y）
水平方向 垂直角 地面距离 天文经纬度 天文方位角
水平方向 大地线长 大地方位角
水平方向 平面距离 平面方位角
布设水平 观测 地面上观 归算 椭球面上 归算 高斯平面
控制网
测元素
的元素
的元素
推算 平差
推算 平差
T
3
α
( y2
y1 )(x2 6R2
x1 )
较精密公式：适用于二等三角测量计算0.01"
12
6Rm2
( x2
x1)(2 y1
y2 )
21
6Rm2
( x2
x1)(2 y2
y1 )
精密公式： 适用于一等三角测量计算0.001"
12
6Rm2
( x2
x1)(2 y1
y2
ym3 Rm2
)
m2 tm
q
l
l
x
tan
γ
l y
l
tan sin B l 1 sin B cos2 B(1 t 2 3 2 2 4 ) l3
3 1 sin B cos4 B(2 4t 2 2t 4 ) l5
15
由大地坐标（B，L）计算平面子午线收敛角0.001"
tan sin B l 1 sin B cos2 B(1 t 2 3 2 2 4 ) l3
水平坐标
大地坐标 （L，B）
平面坐标 （X，Y）
一、椭球面三角网归算至高斯平面
1、真北方向与真方位角
真北方向：高斯投影平面
上过某点的真子午线（大
xຫໍສະໝຸດ Baidu
地子午线）北端所指的方
向，即指向椭球北极的方
向。
真方位角：高斯投影平面
上过某点的真北方向与大
地线投影线的夹角。
o
y
一、椭球面三角网归算至高斯平面
2、坐标北方向与坐标方位角
二、方向改正
1、定义 椭球面上两点间的大地线方 向，归算到高斯投影平面上 相应两点间直线方向所加的 改正，也称曲率改正，如
δ12。主要因为大地线投影
为曲线所引起，为便于平面 计算，需对经过三差改正后 的大地线方向加此改正。
二、方向改正
2、公式推导 近似公式：适用于三、四等三角测量计算0.1"
计算：由大地坐标（B，L） 或平面坐标计算。
xy由tddyxaXNyxn大71γcN2fNfo212地0Ns0(2(qyxqddqsBc,yx,坐islnddoli))nqqslB标5BBccN（o6(yxlo5ssc5BddoBBll，1s(836lLtB212）(dd1yx52计tN844tt2算s2iyx1ln4平ddtB4l2l2c面))llo63s子538B午(25t线2)tl收25 敛9角2 0.4004 )1l"4
δAB δBC
δC δCB δCA
180 0 A B C 180 0
A B C
二、方向改正
3、方向改正检核公式
三、坐标方位角的计算
1、平面子午线收敛角 子午线收敛角：高斯平面 上过某点真北方向与坐标 北方向的夹角。
产生原因：除中央子午线 以外所有子午线投影后都 是曲线。
Rm3
( y2
y1) ym2
21
6Rm2
( x2
x1)(2 y2
y1
ym3 Rm2
)
m2 tm
Rm3
( y2
y1) ym2
计算说明：需要知道两点的平面近似坐标
二、方向改正
3、方向改正检核公式
ε a2 sin B0 sin C0 ρ 2Rm2 sin A0
角度改正
δδAB
δAC δBA
坐标北方向：高斯平面上 x 过某点平行于纵坐标轴的 直线北端所指的方向。
坐标方位角：高斯平面上
过该点的坐标北方向与某
一直线方向的夹角，从坐
标北方向顺时针量取。
o
y
一、椭球面三角网归算至高斯平面
3、子午线收敛角
子午线收敛角：高斯平面
上过某点真北方向与坐标
x
北方向的夹角，从真北方
向顺时针量取为正，如
γ1。
子午线收敛角、真方
位角、坐标方位角间的关
系？
o
y
一、椭球面三角网归算至高斯平面
4、椭球面三角网归算到高斯平面的计算内容 x
N
A12 S12 P1(B1, L1)
D12
T12
12 13 P1(x1, y1)
o
y
(B , L) 大地方位角
(x , y)
大地线长
坐标方位角 大地线方向
平面弦长 平面弦线方向
15
令 tan γ x,则 γ arctan x x 1 x3 1 x5
35
l s in
B[1
l2 cos2
3 2
B
(1
3
2
2
4
)
l4 cos4
15 4
B
(2
t
2
)]
计算说明：需要知道某点的近似大地坐标（B，L）
12 13 P1(x1, y1)
o
y
计算说明：需要知道两点的平面近似坐标
较精密公式：适用于二等三角测量计算0.01"
δ
1 2R2
( x2
x1 )
y1
QP2
sin(α ε ) 3
QP2
sin(α ε )
P1P2 sin( β ε ) P1P2
3
3
QP2 sinT P1P2
δ12 (α δ T )
2Rm2
( x2
x1 )
近似公式：适用于三、四等三角测量计算0.1"
12
ym
2Rm2
( x2
x1), 21
ym
2Rm2
( x2
x1 )
x
N
x3 x1 D13 cosT13 y3 y1 D13 sin T13 ...............................
D12
T12
P
近12 (似y1公式y：2 )(适x用2 于x三1)、四等三角测量计算0.1"
ym (x2 x1)
ym (x2 x1) 2Rm2
ym (x2 x1)
2Rm2
360 3怎60么 计12算？21
12 21
2
P 2R2
P 2Rm2
12
ym
2Rm2
( x2
x1), 21
ym
由大地坐标（B，L）计算平面子午线收敛角0.001"
l
sin
B[1
l2 cos2
3 2
B
(1
3
2
2
4
)
l4 cos4
15 4
B
(2
t
2
)]
公式分析：
1）l=0或B=0，γ=0，即参考椭球上中央子午线或赤道上 的点，投影到高斯平面上，它们的平面子午线收敛角 为0；
第十六讲
椭球面元素归算 至高斯（一）
• 画图说明按高斯－克吕格投影， 椭球面上经纬线投影后的形状 （5点）
• 画图说明垂足纬度
• 应用要求：高斯投影反算
• 应用要求：高斯投影平面坐标 的邻带换算
• 应用要求：高斯投影平面坐标 的3度带到6度带的换算
• 应用要求：高斯投影平面坐标 的6度带到3度带的换算
6.5 椭球面元素归算至高斯平面
确定水平坐标的流程
已知坐标 （L，B）
已知坐标 （X，Y）
水平方向 垂直角 地面距离 天文经纬度 天文方位角
水平方向 大地线长 大地方位角
水平方向 平面距离 平面方位角
布设水平 观测 地面上观 归算 椭球面上 归算 高斯平面
控制网
测元素
的元素
的元素
推算 平差
推算 平差
T
3
α
( y2
y1 )(x2 6R2
x1 )
较精密公式：适用于二等三角测量计算0.01"
12
6Rm2
( x2
x1)(2 y1
y2 )
21
6Rm2
( x2
x1)(2 y2
y1 )
精密公式： 适用于一等三角测量计算0.001"
12
6Rm2
( x2
x1)(2 y1
y2
ym3 Rm2
)
m2 tm
q
l
l
x
tan
γ
l y
l
tan sin B l 1 sin B cos2 B(1 t 2 3 2 2 4 ) l3
3 1 sin B cos4 B(2 4t 2 2t 4 ) l5
15
由大地坐标（B，L）计算平面子午线收敛角0.001"
tan sin B l 1 sin B cos2 B(1 t 2 3 2 2 4 ) l3
水平坐标
大地坐标 （L，B）
平面坐标 （X，Y）
一、椭球面三角网归算至高斯平面
1、真北方向与真方位角
真北方向：高斯投影平面
上过某点的真子午线（大
xຫໍສະໝຸດ Baidu
地子午线）北端所指的方
向，即指向椭球北极的方
向。
真方位角：高斯投影平面
上过某点的真北方向与大
地线投影线的夹角。
o
y
一、椭球面三角网归算至高斯平面
2、坐标北方向与坐标方位角
二、方向改正
1、定义 椭球面上两点间的大地线方 向，归算到高斯投影平面上 相应两点间直线方向所加的 改正，也称曲率改正，如
δ12。主要因为大地线投影
为曲线所引起，为便于平面 计算，需对经过三差改正后 的大地线方向加此改正。
二、方向改正
2、公式推导 近似公式：适用于三、四等三角测量计算0.1"
计算：由大地坐标（B，L） 或平面坐标计算。
xy由tddyxaXNyxn大71γcN2fNfo212地0Ns0(2(qyxqddqsBc,yx,坐islnddoli))nqqslB标5BBccN（o6(yxlo5ssc5BddoBBll，1s(836lLtB212）(dd1yx52计tN844tt2算s2iyx1ln4平ddtB4l2l2c面))llo63s子538B午(25t线2)tl收25 敛9角2 0.4004 )1l"4
δAB δBC
δC δCB δCA
180 0 A B C 180 0
A B C
二、方向改正
3、方向改正检核公式
三、坐标方位角的计算
1、平面子午线收敛角 子午线收敛角：高斯平面 上过某点真北方向与坐标 北方向的夹角。
产生原因：除中央子午线 以外所有子午线投影后都 是曲线。
Rm3
( y2
y1) ym2
21
6Rm2
( x2
x1)(2 y2
y1
ym3 Rm2
)
m2 tm
Rm3
( y2
y1) ym2
计算说明：需要知道两点的平面近似坐标
二、方向改正
3、方向改正检核公式
ε a2 sin B0 sin C0 ρ 2Rm2 sin A0
角度改正
δδAB
δAC δBA
坐标北方向：高斯平面上 x 过某点平行于纵坐标轴的 直线北端所指的方向。
坐标方位角：高斯平面上
过该点的坐标北方向与某
一直线方向的夹角，从坐
标北方向顺时针量取。
o
y
一、椭球面三角网归算至高斯平面
3、子午线收敛角
子午线收敛角：高斯平面
上过某点真北方向与坐标
x
北方向的夹角，从真北方
向顺时针量取为正，如
γ1。
子午线收敛角、真方
位角、坐标方位角间的关
系？
o
y
一、椭球面三角网归算至高斯平面
4、椭球面三角网归算到高斯平面的计算内容 x
N
A12 S12 P1(B1, L1)
D12
T12
12 13 P1(x1, y1)
o
y
(B , L) 大地方位角
(x , y)
大地线长
坐标方位角 大地线方向
平面弦长 平面弦线方向