八年级数学下册42提取公因式学案2北师大版

提公因式法
课题：第四章因式分解
第二节提公因式法（第2课时）
学习目标1、经历探索多项式各项公因式的过程，能确定多项式各项的公因式（多项式因式）。

2、会用提取公因式法进行因式分解（多项式因式）。

重点提公因式法分解因式的方法
难点准确找出公因式，并能正确进行分解因式.
教学流程学校年级组
二备教师课前备课
自主学习，
尝试解决
1、a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有，
因此可以把作为公因式.
2、（x－y）与（y－x）是关系，如果把其中
一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如 y－x= （x－y）.
3、把下列各式分解因式：
（1）x（a+b）+y（a+b）
（2）3a（x－y）－（x－y）
合作学习，
信息交流“–”号，使等式成立：
a= （
x= （
b+a= （
–a）2= （
n= （
= （
（1）a（x－3）+2b（x－3）
3、先因式分解，再计算求值：
4x(m-2)-3x(m-2),其中x=1.5,m=6
课堂达标训练（5至8分钟）（要求起点低、分层次达到课标要求）。

1、观察下列各式:
①2a＋b和a＋b
②5m（a－b）和－a＋b
③3（a＋b）和－a－b
④x2－y2和x2+y2
其中有公因式的是（）
A．①② B. ②③
C．③④ D．①④
2、把2x2﹣4x分解因式为（）
A．2x（x﹣2）B．2（x2﹣2x+1）
C．2x（x﹣4）2D．2（2x﹣2）2
3、把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）
A．（x－y）（x－y－1）
B．（y－x）（x－y－1）
C．（y－x）（y－x－1）
D．（y－x）（y－x＋1）
4、把下列各式因式分解：
（1）3a（x–y）–（x–y）
（2）6（p+q）2–12（q+p）
（3）a（m–2）+b（2–m）
（4）2（y–x）2+3（x–y）
学习小结,
引导学生整
理归纳
这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
课后作业，巩固提升1、必做题P98习题4.3 1、2
2、选做题P98 问题解决
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．已知关于x 的不等式（2﹣a ）x ＞1的解集是x ＜1
2a
-；则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0
B ．a ＜0
C ．a ＜2
D ．a ＞2
2．如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到点E ，使AE=AC ，则∠BCE 的度数是（ ）
A ．22.5°
B ．25°
C ．23°
D ．20°
3．以下图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A ．三角形
B ．菱形
C ．等腰梯形
D ．平行四边形
4．函数()()143y m x m =+--的图像经过一、二、四象限，则m 的取值范围是( ) A ．34
m <
B ．314
m -<<
C ．1m <-
D ．1m >-
5．下列命题正确的是（ ）
A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．对角线相等的四边形是矩形
D ．一组邻边相等的矩形是正方形
6．如图，正方形ABCD 中，AB=12，点E 在边CD 上，且BG=CG ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S △FGC =725
.其中正确结论的个数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
7．如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥BC ，且AB ＝10，AD ＝6，则OB 的长度为（ ）
A．213B．4 C．8 D．413
8．计算的结果是( )
A．6 B．3 C．D．
9．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（）
A．∠BCA＝45°B．AC＝BD
C．BD的长度变小D．AC⊥BD
10．把一根长7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管，如果保证没有余料，那么截取的方法有（）A．2种B．3种C．4种D．5种
二、填空题
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝3，点D是BC边上一点，∠DAC＝30°，点E是AD边上一点，CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接DF，DF的最小值是___．
12．若某组数据的方差计算公式是S2=1
4
[（7-x）+（4-x）2+（3-x）2+（6-x）2]，则公式中x=______．
13．直线y=kx+b（k＞0）与x轴的交点坐标为（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是_____．14．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩________分．
15．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了_____ cm.
16．为了了解某校九年级学生的体能情况，随机抽查额其中50名学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，进行整理后绘制成如图所示的统计图(注：15~20包括15，不包括20，其他同)，根据统计图计算成绩在20~30次的频率是__________．
17．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现在剪下一个腰长为4cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形一腰上的的高为_____________．
三、解答题
18．为弘扬中华传统文化，了解学生整体听写能力，某校组织全校1000名学生进行一次汉字听写大赛初赛，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：
分组/分频数频率
50≤x＜60 6 0.12
60≤x＜70 a 0.28
70≤x＜80 16 0.32
80≤x＜90 10 0.20
90≤x≤100 c b
合计50 1.00
（1）表中的a=______，b=______，c=______；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整，并画出频数分布折线图；
（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加进入决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．
19．（6分）如图，经过点A （6，0）的直线y ＝kx ﹣3与直线y ＝﹣x 交于点B ，点P 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速运动． （1）求点B 的坐标；
（2）当△OPB 是直角三角形时，求点P 运动的时间；
（3）当BP 平分△OAB 的面积时，直线BP 与y 轴交于点D ，求线段BD 的长．
20．（6分）如图，在矩形ABCD 中，，．将矩形ABCD 沿过点C 的直线折叠，使点B 落在对
角线AC 上的点E 处，折痕交AB 于点F ．
（1）求线段AC 的长． （2）求线段EF 的长．
（3）点G 在线段CF 上，在边CD 上存在点H ，使以E 、F 、G 、H 为顶点的四边形是平行四边形，请画出，
并直接写出线段DH 的长． 21．（6分）计算或化简：（12
34212-（2(
)
22a b
a
a b
22．（8分）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ． （1）连接BF ，求证：CF ＝EF ．
（2）若将图①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求
证：AF+EF＝DE．
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．
23．（8分）化简或计算：
（1）（
2
2
a
b c
）2•（﹣
2
2
bc
a
）
（2）20÷5
2
﹣
1
3
×12
24．（10分）如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；
（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，
①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．
25．（10分）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F．
（1）如图①，证明：BE＝BF．
（2）如图②，若∠ADC＝90°，O为AC的中点，G为EF的中点，试探究OG与AC的位置关系，并说明理由．
（3）如图③，若∠ADC＝60°，过点E作DC的平行线，并在其上取一点K（与点F位于直线BC的同侧），使EK＝BF，连接CK，H为CK的中点，试探究线段OH与HA之间的数量关系，并对结论给予证明．
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．D
【解析】
【分析】
根据已知不等式的解集，结合x的系数确定出1-a为负数，求出a的范围即可．【详解】
∵关于x的不等式（1﹣a）x＞1的解集是x＜
1
2a
，
∴1﹣a＜0，
解得：a＞1．
故选：D．
【点睛】
考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
2．A
【解析】
【分析】
根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠BCA=45°；
△ACE中，AC=AE，
则：∠ACE=∠AEC=
1
2
（180°﹣∠CAE ）=67.5°； ∴∠BCE=∠ACE ﹣∠ACB=22.5°． 考点：正方形的性质． 3．B 【解析】 【分析】
关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．绕一个点旋转180度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形． 【详解】
解：A 、三角形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； B 、菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形； C 、等腰梯形是轴对称图形； D 、平行四边形是中心对称图形. 故选B. 【点睛】
掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4．C 【解析】 【分析】
函数y=（m+1）x-（4m-3）的图象在第一、二、四象限，可得m+1<0，截距-（4m-3）>0，解不等式组可得答案． 【详解】
由已知得,函数y=(m+1)x−(4m−3)的图象在第一、二、四象限，
有10(43)0m m +<⎧⎨-->⎩
解之得：m<−1. 故答案选C. 【点睛】
本题考查已知一次函数经过的象限，求参数的取值范围.熟记一次函数(0)y kx b k =+≠，k 和b 与函数图象所在象限的关系是解决此题的关键. 5．D 【解析】
【分析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故A选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形也可能是一般四边形，故B选项错误；
C、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故C选项错误．
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊四边形的特点．
6．D
【解析】
【分析】
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；根据角的和差关系求得∠GAF=45°；在直角△ECG中，根据勾股定理可证CE=2DE；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；
求出S△ECG，由S△FCG=3
5GCE
S
即可得出结论．
【详解】
①正确．理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由：
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE．
又∵∠BAD=90°，∴∠EAG=45°；
③正确．理由：
设DE=x，则EF=x，EC=12-x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得：（12﹣x）2+62=（x+6）2，解得：x=4，∴DE=x=4，CE=12-x=8，∴CE=2DE；
④正确．理由：
∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；
⑤正确．理由：
∵S△ECG=1
2
GC•CE=
1
2
×6×8=1．
∵S△FCG=3
5GCE
S
∆
=
3
24
5
⨯=
72
5
．
故选D．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．7．A
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质和勾股定理易求AC的长，进而可求出OB的长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，OA=OC，
∵AC⊥BC，AB=10，
∴2222
1068
AC AB BC
=-=-=，
∴
1
4
2
AO CO AC
===，
∴2222
64213
OB BC OC
+=+=；
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案
【详解】 解：
，
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
9．B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质即可判断；
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
又∵AB ⊥BC ，
∴∠ABC ＝90°，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴AC ＝BD ．
故选B ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．B
【解析】
【分析】
可设截得的2米长的钢管x 根，截得的1米长的钢管y 根，根据题意得27x y +=，于是问题转化为求二元一次方程27x y +=的整数解的问题，再进行讨论即可.
【详解】
解：设截得的2米长的钢管x 根，截得的1米长的钢管y 根，根据题意得27x y +=，
因为x 、y 都是正整数，所以
当x=1时，y=5；
当x=2时，y=3；
当x=3时，y=1；
综上共3种方法，故选B.
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用和二元一次方程的整数解，正确列出方程并逐一讨论求解是解题的关键.
二、填空题
11．33
.
【解析】
【分析】
先依据条件判定△ACE≌△BCF，可得∠CBF＝∠CAE＝30°，即可得到点F在射线BF上，由此可得当DF⊥BF
时，DF最小，依据∠DBF＝30°，即可得到DF＝1
2
BD＝
3-3
【详解】
由旋转可得，FC＝EC，∠ECF＝90°，
又∵∠ACB＝90°，BC＝AC＝3，
∴∠CAE＝∠CBF，
∴△ACE≌△BCF，
∴∠CBF＝∠CAE＝30°，
∴点F在射线BF上，
如图，当DF⊥BF时，DF最小，
又∵Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝3＝BC，∴CD＝3，
∴BD＝3﹣3，
又∵∠DBF＝30°，
∴DF＝1
2
BD＝3-33，
故答案为3-3
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，得到点F的运动轨迹是本题的难点.
【解析】
【分析】 根据x 代表的是平均数，利用平均数的公式121()n x x x x n =
+++即可得出答案． 【详解】 由题意，可得1(7436)54x =
⨯+++=． 故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查平均数，掌握平均数的公式是解题的关键．
13．x ＞2
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质得出y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，y ＞1，即可求出答案．
【详解】
解：∵直线y=kx+b （k ＞1）与x 轴的交点为（2，1），
∴y 随x 的增大而增大，
当x ＞2时，y ＞1，
即kx+b ＞1．
故答案为x ＞2．
【点睛】
本题主要考查对一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
14．1
【解析】
【分析】
【详解】
根据题意得： 85×2235+++80×3235+++90×5235
++=17+24+45=1（分）， 答：小王的成绩是1分．
故答案为1．
15．2.
【解析】
根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【详解】
Rt△ACD中，AC＝1
2
AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故答案为2.
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．16．0.7
【解析】
【分析】
根据频率的求法，频率=
频数
数据总和
，计算可得到答案.
【详解】
频率=1520
0.7 50
+
=.
故答案为：0.7.
【点睛】
本题考查了随机抽样中的条形图的认识，掌握频率的求法是解题的关键.
17．4
【解析】
【分析】
分三种情况进行讨论：（1）△AEF为等腰直角三角形，得出AE上的高为AF=4；（2）利用勾股定理求出AE边上的高BF即可；
（3）求出AE边上的高DF即可
【详解】
解：分三种情况：
（1）当AE=AF=4时，
如图1所示：
△AEF的腰AE上的高为AF=4；
（2）当AE=EF=4时，
如图2所示：
则BE=5-4=1，
BF=2222
-=-=；
EF BE
4115
（3）当AE=EF=4时，
如图3所示：
则DE=7-4=3，
DF=22
22437
EF DE=-=
-，
故答案为4或15或7.
【点睛】
本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度.
三、解答题
18．（1）14；0.08；4；（2）详见解析；（3）80.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布表确定出总人数，进而求出a，b，c的值即可；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整，并画出频数分布折线图，如图所示；
（3）根据样本中90分及90分以上的百分比，乘以1000即可得到结果．
【详解】
解：（1）根据题意得：a=6÷0.12×0.28=14，b=1﹣（0.12+0.28+0.32+0.20）=0.08，c=6÷0.12×0.08=4；故答案为：14；0.08；4；
（2）频数分布直方图、折线图如图，
（3）根据题意得：1000×（4÷50）=80（人），
则你估计该校进入决赛的学生大约有80人．
【点睛】
此题考查了频数（率）分布折线图，用样本估计总体，频数（率）分布表，以及频数（率）分布直方图，弄清题中的数据是解本题的关键.
19．（1）点B 的坐标（2，－2）；（2）当△OPB 是直角三角形时，求点P 运动的时间为2秒或4秒；（3）当BP 平分△OAB 的面积时，线段BD 的长为5．
【解析】
【分析】
（1）根据点A 的坐标，利用待定系数法可求出直线AB 的解析式，联立直线AB 及OB 的解析式成方程组，通过解方程组可求出点B 的坐标；
（2）由∠BOP=45°可得出∠OPB=90°或∠OBP=90°，①当∠OPB=90°时，△OPB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出OP 的长，结合点P 的运动速度可求出点P 运动的时间；②当∠OBP=90°时，△OPB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出OP 的长，结合点P 的运动速度可求出点P 运动的时间．综上，此问得解；
（3）由BP 平分△OAB 的面积可得出OP=AP ，进而可得出点P 的坐标，根据点B ，P 的坐标，利用待定系数法可求出直线BP 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D 的坐标，过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，利用勾股定理即可求出BD 的长．
【详解】
（1）直线y ＝kx ﹣3过点A （1,0），
所以，0＝1k －3，解得：k ＝
12， 直线AB 为：12
y x =－3， 132y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
，解得：22x y =⎧⎨=-⎩， 所以，点B 的坐标（2，－2）
（2）∵∠BOP=45°，△OPB 是直角三角形，
∴∠OPB=90°或∠OBP=90°，如图1所示：
①当∠OPB=90°时，△OPB 为等腰直角三角形，
∴OP=BP=2，
又∵点P 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速运动，
∴此时点P 的运动时间为2秒；
②当∠OBP=90°时，△OPB 为等腰直角三角形，
∴OP=2BP=4，
又∵点P 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速运动，
∴此时点P 的运动时间为4秒．
综上，当△OPB 是直角三角形时，点P 的运动时间为2秒或4秒．
（3）∵BP 平分△OAB 的面积，
∴S △OBP =S △ABP ，
∴OP=AP，
∴点P 的坐标为（3，0）．
设直线BP 的解析式为y=ax+b （a≠0），
将B （2，-2），点P （3，0）代入y=ax+b ，得：
2230a b a b +=-⎧⎨+=⎩
， 解得：26
a b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BP 的解析式为y=2x-1．
当x=0时，y=2x-1=-1，
∴点D 的坐标为（0，-1）．
过点B 作BE⊥y 轴于点E ，如图2所示．
∵点B的坐标为（2，-2），点D的坐标为（0，-1），
∴BE=2，CE=4，
∴BD=22
BE DE
=25，
∴当BP平分△OAB的面积时，线段BD的长为25．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、三角形的面积以及勾股定理，解题的关键是：（1）联立直线AB及OB的解析式成方程组，通过解方程组求出点B的坐标；（2）分∠OPB=90°和∠OBP=90°两种情况，利用等腰直角三角形的性质求出点P的运动时间；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出直线BP的解析式．
20．（1）；（2）；（3）见解析，.
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理计算AC的长；
（2）设EF=x，在Rt△AEF中，由勾股定理列方程可解答；
（3）先正确画图，根据折叠的性质和平行线的性质证明CH=GH可解答．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD矩形，.
在中，；
（2）设EF的长为x．
由折叠，得，，，
，，，
在中，，即，
解得．．
（3）如图，∵四边形EFGH是平行四边形，
∴EF∥GH，EF=GH=3，
∴∠EFC=∠CGH ，
∵AB ∥CD ，
∴∠BFC=∠DCF ，
由折叠得：∠BFC=∠EFC ，
∴∠CGH=∠DCF ，
∴CH=GH=3，
∴DH=CD-CH=8-3=1．
故答案为：（1）
；（2）；（3）见解析，. 【点睛】
本题是四边形的综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
21．（13（2）2a 【解析】
【分析】
（1）选逐项化简，再合并同类项或同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式的乘法和除法，再合并同类项即可.
【详解】
（1234212-+33 3
（2()
22a b a a b =a+a =a 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解答本题的关键.
22．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接BF ，证明Rt △BCF ≌Rt △BEF ，根据全等三角形的性质即可证得CF ＝EF ；（2）连接BF ，证明Rt △BCF ≌Rt △BEF ，根据全等三角形的性质可得CF ＝EF ，由此即可证得结论；（3）连接BF ，证明
Rt △BCF ≌Rt △BEF ，根据全等三角形的性质可得CF ＝EF ，由此即可证得结论.
【详解】
（1）证明：如图1，连接BF ，
∵△ABC ≌△DBE ，
∴BC ＝BE ，
∵∠ACB ＝∠DEB ＝90°，
在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，
BC BE BF BF
=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt △BCF ≌Rt △BEF （HL ），
∴CF ＝EF ；
（2）如图2，连接BF ，
∵△ABC ≌△DBE ，
∴BC ＝BE ， AC ＝DE,
∵∠ACB ＝∠DEB ＝90°，
在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，
BC BE BF BF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △BCF ≌Rt △BEF （HL ），
∴EF ＝CF ，
∴AF+EF ＝AF+CF ＝AC ＝DE ；
（3）如图3，连接BF ，
∵△ABC ≌△DBE ，
∴BC ＝BE ，AC ＝DE,
∵∠ACB ＝∠DEB ＝90°，
∴△BCF 和△BEF 是直角三角形，
在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，
BC BE BF BF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △BCF ≌Rt △BEF （HL ），
∴CF ＝EF ，
∵AC ＝DE ，
∴AF ＝AC+FC ＝DE+EF ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，证明Rt △BCF ≌Rt △BEF 是解决问题的关键.
23．（1）﹣3
32a b
；（1）2﹣1． 【解析】
【分析】
（1）先算乘方，再算乘法即可；
（1）先算除法和乘法，再化简即可.
【详解】
（1）原式＝42422a bc b c a ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭
＝﹣3
32a b
； （12205⨯1123
⨯84
＝
﹣1．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握分式和二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应.
24．（1）见解析；（2）①7；②1．
【解析】
【分析】
(1)根据平行四边形的性质得出CF平行ED,再根据三角形的判定方法判定△CFG≌△EDG,从而得出FG=CG,根据平行四边形的判定定理,即可判断四边形CEDF为平行四边形.
(2)①过A作AM⊥BC于M，根据直角三角形边角关系和平行四边形的性质得出DE＝BM，根据三角形全等的判定方法判断△MBA≌△EDC,从而得出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定方法,即可证明四边形CEDF是矩形.
②根据题意和等边三角形的性质可以判断出CE=DE,再根据菱形的判定方法,即可判断出四边形CEDF是菱形.
【详解】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCD＝∠GCD，
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
FCG EDG CG DG
CGF DGE ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△CFG≌△EDG（ASA），
∴FG＝EG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝6，
∴BM＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，
∴DE＝3＝BM，
在△MBA和△EDC中，
BM DE
B CDA AB CD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED＝∠AMB＝90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：7；
②当AE＝1时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD＝10，AE＝1，
∴DE＝6，
∵CD＝6，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法，平行四边形的性质和三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，能够熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的判定方法，找到各个量之间存在的关系.
25．（1）详见解析；（2）GO⊥AC;（3）3
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠E＝∠ADF，∠EFB＝∠EDC，再利用ED平分∠ADC，即可解答
（2）连接BG,AG，根据题意得出四边形ABCD是矩形,再利用矩形的性质，证明△ABG≌△CEG,即可解答（3）连接AK,BK,FK，先得出四边形BFKE是菱形,，再利用菱形的性质证明△KBE,△KBF都是等边三角形,再利用等边三角形的性质得出△ABK≌△CEK，最后利用三角函数即可解答
（1）证明：如图①中，因为四边形ABCD为平行四边形，所以，AD∥EC，AB∥CD，
所以，∠E＝∠ADF，∠EFB＝∠EDC，
因为ED平分∠ADC，
所以，∠ADF＝∠EDC，
所以，∠E＝∠EFB，
所以，BE＝BF
(2)解:如图⊙中,结论:GO⊥AC
连接BG,AG
∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=90°,
四边形ABCD是矩形,
∠ABC=∠ABE=90°,
由(1)可知:BE=BF,
∵∠EBF=90°,EG=FG,
∴∠E=45°,∠GBF=∠GBE=45°,BG=GE=GF,
∵∠DCE=90°
∴∠E=∠EDC=45°,
∴DC=CE=BA,
∵∠ABG=∠E=45°,AB=EC,BG=EG,
∴△ABG≌△CEG(SAS),
∵GA=GC
∴AO=OC.
∴GO⊥AC
(3)解:如图⊙中,连接AK,BK,FK
∵BF=EK,BF∥EK,
∴四边形BFKE是平行四边形,
∵BF=BE,
∴四边形BFKE是菱形,
∵边形ABCD是平行四边形,
∴∠ADC=∠ABC=60°,∠DCB=∠DAB=120°∴∠EBF=120°,
∴∠KBE=∠KBF=60°
BF=BE=FK=EK,
∴△KBE,△KBF都是等边三角形,
∴∠ABK=∠CEK=60°,∠FEB=∠FEK=30
∴∠CDE=∠CED=30°
∴CD=CE=BA,
∵BK=EK,
∴△ABK≌△CEK(SAS)
∴AK=CK,∠AKB=∠CKB
∴∠AKC=∠BKE=60°
∴△ACK是等边三角形
∵OA=OC,CH=HK
∴AK=2OH,AH⊥CK,
∴AH=AK·cos30°=
3
2
AK
∴3OH.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．已知一次函数y =kx +b ，-3<x <1时对应的y 值为-1<y <3，则b 的值是（ ）
A ．2
B ．3或0
C ．4
D ．2成0
2．由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ）
A ．∠A+∠B=∠C
B ．∠A ：∠B ：∠C=1：3：2
C ．a=2，b=3，c=4
D ．(b+c)(b-c)=a²
3．两个一次函数1y ax b 与2y bx a ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
4．一次函数的图象经过点，且与轴，轴分别交于点、，则的面积是 A ． B ．1 C ． D ．2
5．要得到函数y ＝﹣6x+5的图象，只需将函数y ＝﹣6x 的图象（ ）
A ．向左平移5个单位
B ．向右平移5个单位
C ．向上平移5个单位
D ．向下平移5个单位
6．在实数范围内，下列判断正确的是（ ）
A ．若m n =，则m=n
B ．若22a b >，则a ＞b
C 22(=a b ，则a=b
D 33a b =a=b
7．若关于x 的一元二次方程x 2+mx+n ＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x 2+mx+n 可分解为（ ）
A ．（x+5）（x ﹣6）
B ．（x ﹣5）（x+6）
C ．（x+5）（x+6）
D ．（x ﹣5）（x ﹣6）
8．关于数据－4，1，2，－1，2，下面结果中，错误的是( )
A ．中位数为1
B ．方差为26
C ．众数为2
D ．平均数为0
9．下列说法中，其中不正确的有（ ）
①任何数都有算术平方根；
②一个数的算术平方根一定是正数；
③a 2的算术平方根是a ；
④算术平方根不可能是负数．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
10．某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x 甲=610千克，x 乙=608千克，亩产量的方差分别是2
S 甲="29." 6，2
S 乙="2." 7. 则关于两种小麦推广种植的
合理决策是 （ ）
A ．甲的平均亩产量较高，应推广甲
B ．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广
C ．甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲
D ．甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙
二、填空题
11．甲，乙，丙，丁四人参加射击测试，每人10次射击的平均环数都为8.9环，各自的方差见如下表格：
甲 乙 丙 丁 方差 0.293 0.375 0.362 0.398
则四个人中成绩最稳定的是______．
12．已知等腰三角形的周长为24，底边长y 关于腰长x 的函数表达式(不写出x 的取值范围) 是________． 13．如图，在平面直角坐标系中，∆OAB 是边长为4的等边三角形，OD 是AB 边上的高，点P 是OD 上的一个动点，若点C 的坐标是(0,3)-，则PA+PC 的最小值是_________________.
14．自2019年5月30日万州牌楼长江大桥正式通车以来，大放光彩，引万人驻足.市民们纷纷前往打卡、拍照留念，因此牌楼长江大桥成为了万州网红打卡地.周末，小棋和小艺两位同学相约前往参观，小棋骑自行车，小艺步行，她们同时从学校出发，沿同一条路线前往，出发一段时间后小棋发现东西忘了，于是立即以原速返回到学校取，取到东西后又立即以原速追赶小艺并继续前往，到达目的地后等待小艺一起参观（取东西的时间忽略不计），在整个过程两人保持匀速，如图是两人之间的距离()y m 与出发时间()min x 之间的函数图象如图所示，则当小棋到达目的地时，小艺离目的地还有______米.
15．合作小组的4位同学在课桌旁讨论问题，学生A 的座位如图所示，学生B ，C ，D 随机坐到其他三个座位上，则B 坐在2号座位的概率是 ．
16．函数21
x y x +=
-中，自变量x 的取值范围是 ． 17．若0234a b c ==≠，则a b 的值为__________，a b c a b c +--+的值为________. 三、解答题
18．西蜀图书室近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．
(1)求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？
(2)西蜀图书室计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过4000元，则最多购进甲种图书多少本？ 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 在y 轴上，C 在x 轴上，把矩形OABC 沿对角线AC 所在的直线翻折，点B 恰好落在反比例函数()0k y k x
=
≠的图象上的点'B 处，'CB 与y 轴交于点D ，已知'2DB =，30ACB ∠=． ()1求的度数；
()2求反比例函数()0k y k x
=≠的函数表达式； ()3若Q 是反比例函数()0k y k x
=≠图象上的一点，在坐标轴上是否存在点P ，使以P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．。