傅里叶变换、数字滤波器设计、标准表插值算法汇总
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傅里叶变换
周期函数)(t f T 可表示为：
∑+∞
=++=1
0)sin cos (2)(n n n T t n b t n a a t f ωω
其中：
⎰-=
2
20)(2T T T
dt t f
T
a
⎰-=
2
2cos )(2T T T
n tdt n t f
T
a ω
⎰-=
2
2
sin )(2T T T
n tdt n t f
T
b ω
周期函数)(t f T 的周期为T 。频率T f 1=，角频率T
πω2=，n 为正整数。
周期函数)(t f T 的直流分量⎰-==2
2
0)(12T T T
dt t f
T
a d 。nf f n =为各次谐波的
频率。
周期函数)(t f T 可化为：(三角函数公式：
B A B A B A sin sin cos cos )cos(-=+) d t n A t f n n n T ++=∑+∞
=1
)cos()(ϕω
其中：
2
2n n n b a A +=
)(n
n n a b
a r c t g -=ϕ
即周期函数)(t f T 可表示为不同频率成分的正弦函数的和。其中频率f
为基波的频率。
根据欧拉公式θθθsin cos i e i +=，有：
2cos θ
θθi i e e -+=
i
e e i i 2sin θ
θθ--=
所以周期函数)(t f T 可表示为：
∑+∞=---+++=10)22(2)(n t
in t in n t in t in n T i
e e b e e a a t
f ωωωω
= )2
2(210t
in n n t in n n n e ib a e ib a a ωω-+∞=++-+∑
而
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-⎰⎰-
-tdt n t f i tdt n t f T ib a T
T
T T T T n n ωωsin )(cos )(122
222 =
dt t n i t n t f
T
T
T T
)sin (cos )(12
2ωω-⎰-
=
dt e t f T
t in T T T ω--
⎰
2
2
)(1
2n n ib a +=⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎰⎰-
-tdt n t f i tdt n t f T T
T
T T T T ωωsin )(cos )(12
222 =
dt t n i t n t f
T
T
T T
)sin (cos )(12
2ωω+⎰-
=
dt e t f T
t in T T T ω⎰
-
2
2
)(1
令
⎰-=
2
2
0)(1T T T
dt t f
T
c
dt e t f
T
ib a c t in T
T T
n n n ω--
⎰=-=
2
2)(1
2
dt e t f T
ib a c t in T T
T n n n ω⎰
-
-=-=
2
2
)(1
2 n 为正整数
则
)()(1
0t in n t in n n T e c e c c t f ωω--+∞
=++=∑
当 n 取整数时，c 可以合写为一个式子
dt e t f T
c t in T T T n ω--
⎰
=
2
2
)(1 （n = 0, ±1，±2，...）
所以有
t
in n n
T e
c t f ω∑+∞
-∞
==
)( n 为整数
非周期函数)(t f ，当+∞→T 时，有
)()(lim t f t f T T +∞
→=
所以
t in n t in T T T T e dt e t f T t f ωω∑⎰∞
+-∞
=--+∞→⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22)(1)(lim
取ωωn n =，T
n n n π
ωωωω21=-=∆=-，当+∞→T 时，0→∆n ω。
从而
t i n t
i T T T n n n n e dt e t f t f ωωωπω∑⎰∞
+-∞
=--→∆⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆=220)(2)(lim 亦即
n t i n t i n n n e dt e t f t f ωπ
ωωω∆⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=∑⎰+∞
-∞=∞+∞--→∆)(21
)(lim
0 令
⎰+∞
∞--=dt e t f F t i n n ωω)()(
则
n t
i n n
n n e F t f ωωπ
ω
ω∆=∑+∞
-∞
=→∆)(21
)(lim
=
⎰+∞
∞-n t i n d e F n ωωπω)(21 =
⎰
+∞
∞
-ωωπ
ωd e F t i )(21
因此有
⎰+∞
∞--=dt e t f F t i ωω)()( (1)
⎰
+∞
∞
-=
ωωπ
ωd e F t f t i )(21)( (2)
称式(1)中函数)(ωF 为函数)(t f 的傅里叶变换，式(2)中函数)(t f 为函数
)(ωF 的傅里叶逆变换。函数)(ωF 即为函数)(t f 的频谱。
图1 是函数y1和y2的函数图。其中 y1=sin(t)。
y2=sin(t)+0.5*cos(3*t)+0.2*sin(8*t)+0.35*cos(15*t)。 y1是标准的正弦函数，y2中加入了高次谐波分量。