2019-2020学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2讲义：第二章 2.2 数学归纳法

数学归纳法

预习课本P92～95，思考并完成下列问题

(1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？

(2)数学归纳法的证题步骤是什么？

[新知初探]

1．数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．

2．数学归纳法的框图表示

[点睛]数学归纳法证题的三个关键点

(1)验证是基础

数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命

题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．

(2)递推是关键

数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的

变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．

(3)利用假设是核心

在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命

题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( )

(2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( )

(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )

答案：(1)× (2)× (3)√

2．如果命题p (n )对所有正偶数n 都成立，则用数学归纳法证明时须先证n ＝________

成立．

答案：2

3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52

，f (16)＞3，f (32)＞72

，由此推测，当n ＞2时，有______________． 答案：f (2n )＞n ＋22

[典例] 用数学归纳法证明：

121×3＋22

3×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)

(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，12

1×3＝1×22×3

成立． (2)假设当n ＝k (n ∈N *)时等式成立，即有

121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)

， 则当n ＝k ＋1时，121×3＋22

3×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)

＋ (k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2

(2k ＋1)(2k ＋3)

＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)

， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．

由(1)(2)可得对于任意的n ∈N *等式都成立．

用数学归纳法证明恒等式应注意的三点

用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；二是弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n ＝k ＋1时结论也

成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋1证明目标的表达式变形．

[活学活用]

求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n (n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12

， 右边＝11＋1＝12

，左边＝右边． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2

＋ (12)

， 则当n ＝k ＋1时，

⎝⎛⎭⎫1－12＋13－14

＋…＋12k －1－12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝⎛⎭

⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2

. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．

综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立.

用数学归纳法证明不

等式

[典例] *

求证：1＋12＋13＋…＋1n ＞n ＋1. [证明] (1)当n ＝3时，左边＝1＋

12＋13，右边＝3＋1＝2，左边＞右边，不等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥3)时，不等式成立，

即1＋12＋13

＋…＋1k ＞k ＋1. 当n ＝k ＋1时，

1＋

12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 ＞k ＋1＋1k ＋1 ＝k ＋1＋1k ＋1＝k ＋2k ＋1 . 因为k ＋2k ＋1 ＞k ＋2k ＋2

＝k ＋2＝(k ＋1)＋1， 所以1＋

12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 ＞(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．

由(1)，(2)知对一切n ∈N *，n ＞2，不等式恒成立．

[一题多变] 1．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为：

1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3

＋…＋13n ＞56(n ≥2，n ∈N *)，如何证明？ 证明：(1)当n ＝2时，13＋14＋15＋16＞56

，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立． 即1k ＋1＋1k ＋2

＋…＋13k ＞56. 则当n ＝k ＋1时，

1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2

＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋3×13k ＋3－1k ＋1＝56

. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．

由(1)，(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *都成立．

2．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为：