卡尔曼滤波在目标跟踪中的研究与应用

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引言
随着现代航空航天技术的飞速发展， 各种飞行
生机动时， 通过检测新息对目标进行检测， 并对目标 利用卡尔曼滤波器进行滤波与预测 。
器的航行速度和机动性越来越高 ， 在此背景下， 如何 提高对高速高机动目标的跟踪性能成为现代雷达防 空中一个越来越重要的问题， 因此迫切需要研究性 能更为优越的跟踪滤波方法。虽然现在已有不少目 标跟踪算法， 但专门针对高速高机动目标跟踪的研 究还不多， 本文着重研究利用交互多模 （ IMM ） 卡尔 曼滤波算法来实现对机动目标的跟踪 。
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x （ k） ， y （ k） ， 动时， 状 态 变 量 为 X （ k ） = ［x （ k ） ， · T y （ k） ］ ， x（ k） 、 y（ k） 分别为表示目标在 x 轴、 y 轴的 x （ k） 、 y （ k） 分别为 x 轴、 y 轴的速度。 则状态 位移， 方程和观测方程为：
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{
Z（ k） = H m X m （ k） + V m （ k） 0 0 T 1 0 0 0 0 Wm T2 / 2 T
2 0 0 T /4 T/ 2 0 0 2 2 T / 2 m 0 T / 4 ， G = 0 T T/ 2 0 1 0 0 1 1
中图分类号： TN953
文献标识码： A
文章编号： 1009 － 2552 （ 2011 ） 10 － 0174 － 04
卡尔曼滤波在目标跟踪中的研究与应用
刘 静，姜 恒，石晓原
（ 72465 部队，济南 250022 ）
摘
要： 卡尔曼滤波算法是现阶段雷达信号处理中最常用的跟踪算法 ， 结合雷达跟踪的空中目 标的实际情况，针对目标运动模型中的线性运动和非线性运动模型 ， 分别设计了两种模型， 并
^ — — —— — — 2 1 M 2 x （ k） － x i （ k / k） ］ －［ ex （ k） ］ ∑［ Mi =1 i M 为蒙特卡罗模拟次数， k = 1， 2， …， M， 其中， 本例 中 M 取 50 。 ^ ^ ^ ^
]
以上两种模型是目标运动模型中最基本的模 ， 型 也是目标跟踪中采用最多的模型， 其计算量小， 适合实时跟踪的需要。 对于匀速、 匀加速直线运动 匀加速的运动， 上述模型能够达到相 或者近似匀速、 当高的跟踪精度。在实际的应用中也可以用 CV 模 型来近似描述目标的机动状态。用 CV 模型表示目 它经常用在目标 标机动模型是一种最简单的方法， 的机动较小或随机的场合。 2． 2 基于 Matlab 的软件设计及数值仿真 为了验证模型的有效性， 设计如下的情景和条 并采用交互多模 （ IMM ） 跟踪算法建立雷达目标 件， 的跟踪模型进行仿真分析。 （ 1 ） 试验设计： 使用一部二坐标雷达对平面上 运动的一个目标进行观测。 目标的起始点为 （ 2000 10000 米） ； 目标在 t 以 0 ～ 400 秒沿 Y 轴作恒速 米， 运动速度为 － 15 米 / 秒； 在 t 以 400 ～ 600 直线运动， 秒向 X 轴方向做 90° 的慢转弯， 加速度为 ux = uy = 2 0． 075m / s ， 完成慢转弯后加速度降为 0 ； 从 t = 610 2 秒开始做 90° 的快转弯， 加速度为 0． 75m / s ， 在 660 秒结束转弯， 加速度降为 0 ， 然后一直恒速运动到 t = 1500 秒。 雷达扫描周期 T = 2 秒。 X 和 Y 独立的 观测噪声的标准差 （ 即方差的平方根 ） 均 进行观测， 为 100 米。采用蒙特卡罗方法对跟踪滤波器进行仿 仿真次数为 100 次。 真分析， （ 2 ） 系统仿真： 在跟踪的开始采用常规 Kalmam — 176 —
图2 卡尔曼滤波的计算回路和更新回路
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踪数学模型决定。 在建立目标跟踪的数学模型时， 一般总的原则是使所建立的模型既要符合目标的实 现， 又要便于实时性处理。 跟踪的主要困难在于跟 踪设定的目标运动模型与实际的目标运动模型的匹 配问题。因此大多数情况下， 人们对目标机动的先 验知识了解很少， 很难用数学表达式精确表示， 只能 在各种假设条件下用近似方法予以描述 。 2． 1． 1 恒速（ CV） 模型（ 非机动模型） 假定雷达的扫描周期为， 当目标以恒定速度运
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只要给定初值X0 和 P0 ， 根据 K 时刻的量测 Yk ， 就 2， …） 。 可递推计算得 K 时刻的状态估计Xk （ k = 1， 1． 3 交互多模型（ IMM） 算法 由于目标实际运动的复杂性， 难以单独采用一 Barshalom 和 个模 型 来 描 述 目 标 的 运 动。 为 此， Blom 等人在广义伪贝叶斯算法的基础上， 提出了一 种具有马尔可夫切换系数的交互式多模型 （ IMM ） 滤波算法， 其中多个模型并行工作， 模型之间以概率 矩阵进行转移， 目标状态估计是多个滤波器交互作 用的结果， 该算法不需要机动检测， 达到了全面自适 应能力，IMM 算法是目前机动目标跟踪中最有效的 算法之一。 交互多模算法的基本思想是用马尔可夫链过程 同时对多个模型的 Kalman 滤波 描述模型间的转换， 输入输出进行加权。交互多模算法是目前混合估计 算法研究的主流， 其算法具有明显的并行结构， 便于 有效地并行实现。 3 － 4］ ， 根据文献［ 本文给出如图 3 所示的 IMM 算法的循环。 交互多模型（ IMM ） 滤波算法是递推的， 每步递 推主要由四步组成。 （ 1 ） 模型条件重初始化。 （ 2 ） 模型条件滤波。 （ 3 ） 模型概率更新。 （ 4 ） 估计融合。
图1 机动目标跟踪系统基本框图
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1． 1
目标跟踪的基本内容及算法
机动目标跟踪的基本内容 目标跟踪基本上包含量测数据形成与处理 、 机
1． 2
卡尔曼滤波理论 卡尔曼滤波理论突破了经典维纳滤波理论和方
法的局限性， 引入了系统的状态变量和状态空间的 概念， 提出了时域上的状态空间方法， 标志着现代控 制理论的诞生。它给出了一套在计算机上容易实时 实现的递推滤波算法， 适合处理多变量系统、 时变系
收稿日期： 2011 － 03 － 24 作者简介： 刘静（ 1986 － ） ， 男， 助理工程师， 研究方向为雷达装备性 能测试与故障诊断。
动目标建模、 机动检测与机动辨识、 滤波与预测、 跟 踪坐标系的选取、 跟踪门规则、 数据关联、 航迹起始 与终止等内容。机动目标跟踪系统的基本框图如图 1 所示。 本文主要研究对机动目标进行建模， 当目标发 — 174 —
统及非平稳随机过程， 是线性系统的最优估计理论。 1 － 2］ ， 根据文献［ 本文给出了如图 2 所示的卡 尔曼滤波计算过程。
图3
IMM 算法循环图
2 基于 Matlab 的 IMM 卡尔曼滤波算 法的建模与仿真
2． 1 机动目标跟踪的模型建立 任何跟踪算法特别是卡尔曼滤波理论都是以数 跟踪性能的好坏很大程度上由跟 学模型为基础的，
（ 72465 Troops of PLA， Jinan 250022 ， China）
Abstract： The Kalman filtering algorithm is the most use in now stage in radar signal processing． According to the nonlinear sport and the linear sport in goal sport model the paper designs two models combining the actual condition of the air goal of radar tracking． And it realizes interaction multiple model algorithm using Markov state transfer matrix． And finally for interaction multiple model Kalman filtering it carries out emulation and interpretation of result． Key words： Kalman filter； target tracking； interaction multiple module； Matlab
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y 轴的位置， x（ k） 、 y （ k ） 分别为目标在 目标在 x 轴、 x 轴、 y 轴方向的速度， x （ k） 、 x （ k ） 分别为目标在 x y 轴方向的加速度。 轴、 状态方程和观测方程可表示为： X m （ k + 1 ） = Φm X m （ k） + G m W m （ k）
· ·
{
X （ k + 1 ） = ΦX （ k） + GW（ k） Z （ k ） = HX （ k ） + V（ k ） T 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 T /2 1 0 G= ， T 0 1 0
1
式中： 1 0 Φ= 0 0 H= 2 0 ， T /2 1
式中： 1 T 0 0 1 0 0 0 1 m Φ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Hm = 0 0 1 其中， 系统噪声 同。Leabharlann Baidu
[
0 0 1 0 0 0 m m T ， Wm = ［ w1 w2 ］ 0 0 m 及观测噪声 V 与恒速模型相
滤波进行跟踪， 从第 50 次采样开始， 采用三模型的 IMM 算法。本模型中采用的马尔可夫链的转移矩 阵值为： 0． 95 0． 025 0． 025 Pa = 0． 025 0． 95 0． 025 0． 025 0． 025 0． 95 步骤 1 ： 列出目标模型的状态方程和量测方程， 目标模型分为机动模型和非机动模型建立 ， 其建模 方法与 2． 1 节中所述模型相同。 步骤 2 ： 给定状态的起始条件及其统计量 。 步骤 3 ： 为使卡尔曼预测的递推运算能够开始运 ， 行 首先必须确定一个预测协方差矩阵 P （ k | k － 1 | ） 的初始值。 步骤 4 ： 将 P （ 2 /2 ） 代入卡尔曼一步预测基本方 程中可 得 出 卡 尔 曼 预 测 的 初 始 预 测 协 方 差 矩 阵 P （ 3 /2 ） 的值。 步骤 5 ： 得出 X （ 2 ） 后， 根据卡尔曼一步预测基 本方程所示的信号滤波估计值 X（ k ） 与预测值 X （ k + 1 / k） 之间的简单关系， 可从卡尔曼滤波器中提取信号 的预测值 X（ 3 / 2） 。 显然， 上述的递推可不断进行下去， 从而实现对 机动目标的边测量边跟踪。 2． 3 仿真结果分析 目标跟踪系统的数字仿真就是将雷达实际系统 全部用数学模 以及作用于该系统的各种输入信息， 型代替， 并把数学模型变为仿真模型， 在计算机上对 实际系统进行研究的过程。蒙特卡罗仿真是评价跟 踪系统性能的有效方法， 也是衡量系统质量必不可 少的技术手段。 ［6 ］ 蒙 特 卡 罗 方 法 亦 称 为 随 机 模 拟 （ Random Simulation） 方 法， 有 时 也 称 作 随 机 抽 样 （ Random Sampling） 技 术 或 统 计 试 验 （ Statistical Test ） 方 法。 它的基本思想是： 首先建立一个概率模型或随机过 程， 使它的参数等于问题的解， 然后通过对模型或过 程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特性 ， 最后给出所求解的近似值， 而解的精度可用估计值 的标准误差来表示。 Carlo 仿真方法对实验结果进行分 采用 Mente析。滤波误差的均值： M — — —— — — ^ 1 e x （ k） = ∑［ x i （ k） － x i （ k / k） ］ M i =1 滤波误差的标准差：
T w2］
[1 0
， W =［ w 0] 0
系统噪声 W 为零均值、 方差阵为 Q 的高斯随 机序列； 观测噪声 V 为零均值、 协方差阵为 R 的白 V 在两个坐标方向上的加 噪声， 与 W 互不相关。W、 2 速度相互独立并具有相同的方差 σ a ， 即： Q = σ2 E［ W（ k） ］= 0 ， E［ W（ k） W T （ j） ］= Qδ kj a I， — 175 —
利用马尔可夫状态转移矩阵实现交互多模算法 。最后对交互多模型卡尔曼滤波算法进行了 Matlab 仿真及结果分析。 关键词： 卡尔曼滤波； 目标跟踪； 交互多模； Matlab
Study and application of Kalman filtering for target tracking
LIU Jing，JIANG Heng，SHI Xiaoyuan
2． 1． 2
恒加速（ CA） 模型（ 机动模型） 假定雷达的扫描周期为 T， 当目标为恒定的加 x （ k） ， 速度在 运 动， 系 统 的 状 态 变 量 为 X （ k） = ［
T x （ k） ， y（ k） ， y （ k） ， x（ k） ， y（ k） ］ ， x（ k） 、 y（ k） 分别为 ¨ · · ¨ ¨