复变函数与场论

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一、共形映射
重合W平面及Z平面；Arg w '(t0) - Arg z '(t0) = Arg f '(z0) Z0映射成为W0； 则原切线正向与映射后切线 正向之间的夹角可理解为曲 线C经过w=f(z)映射后在z0处 的转动角, 则上式表明: 1、导数f ‘(z0)0的辐角Arg f ’(z0)是曲线C经过w=f(z)映射 后在z0处的转动角; 2、转动角大小与方向跟曲线 C的形状与方向无关. 所以这 种映射具有转动角的不变性.
y x Z平面 v W=f(Z)
u w平面 lexu@mail.xidian.edu.cn F&C (Z)≡(W)
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一、共形映射
例：C1: x 2 y 2 1
C2 : x y 2 C 3: xy 1 C 4 : xy 2
2 2
w z2
u iv ( x 2 y 2 ) i 2 xy
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一 、 共形映射 §2 映射
y y=f(x)
实变函数
y W=f(Z) v
x
复变函数
x u
Z平面 lexu@mail.xidian.edu.cn F&C
w平面
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一 、 共形映射 §2 映射
W=f(Z)的反函数z=φ(w)是逆映射 若w=f(z)及其逆映射z=φ(w)都单值，则映射称之为一一的
导数 级数 留数 积分
w f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y )
u x v y, u y v x
几何角度看解析
积分应用
计算规则
留数定理
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定义
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一 wenku.baidu.com 共形映射 §1、背景
映射：将复杂区域转化到简单区域求解。 共形映射是复变函数论中最重要的概念之一，与 物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许 多领域有重要的应用。 应用共形映射成功地解决了流体力学与空气动力 学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他 方面的许多实际问题。不但如此，20世纪中亚音 速及超音速飞机的研制促成了从共形映射理论到 拟共形映射理论的发展。
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一、共形映射
y Z平面 s P z r z0 x O v W平面 Q w C Q0


P0 O
w0 u
根据复合函数求导法, 有 w ‘(t0) = f ’(z0)z ‘(t0) 0 因此, 在上点w0处也有切线存在, 且切线正向与u轴正向的夹角是 Arg w ’(t0) = Arg f ‘(z0) + Arg z ’(t0) 即 Arg w '(t0) - Arg z '(t0) = Arg f '(z0) lexu@mail.xidian.edu.cn F&C
y
P C z(t0+t) P0 z ( t0 )
O
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x
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一、共形映射
当P沿C无限趋向于P0, 割线P0P的 极限位置就是C上P0处的切线
z (t0 Δ t ) z (t0 ) z(t0 ) lim Δ t 0 Δt
该向量与C相切于点z0=z(t0), 且方 向与C的正向一致. 如果我们规定 这个向量的方向作为C上点z0处的 切线的正向, 则我们有： 1、Arg z '(t0)就是z0处C的切线正 向与x轴正向间的夹角; 2、相交于一点的两条曲线C1与C2正
复变函数与场论
主讲：徐乐
第22讲 共形映射 共形映射
解析函数导数的几何含义 共形映射的概念
分式线性映射
保角性 保圆性 保对称性 唯一决定分式线形映射的条件
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Review
复变函数 解析函数 数性分析 应用
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w z w0 O z0 C

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一、共形映射
y (z) v (w)
z0
w0
O
x
O
u
通过z0点的可能的曲线有无限多条, 其中的每一条都具有这样的性质, 即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Arg f '(z0).
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向之间的夹角就是它们交点处切线 正向间夹角。
y
P P P C z(t0+z t ) z(t0+t) (t0+t) P z(t0+t) P0 z ( t0 )
O
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x
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一、共形映射
解析函数的导数的几何意义 设函数w=f(z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且f ‘(z0)0. 又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线, 它的参数 方程是: z = z (t), a t b 它正向为参数t增大的方向, 且z0=z(t0), z ’(t0)0, a <t0< b. 则 映射w=f(z)将C映射成w平面内通过点z0象点w0=f(z0)的一条 有向光滑曲线, 它的参数方程是 w = f [ z ( t ) ], a t b 正向相应于参数t增大的方向.
v x
C1: u 1 C2 : u 2 C3 : v 2 C4 : v 4
y
u
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一、共形映射 §3 解析函数导数
z平面内的任一条有向曲 线C可用: z=z(t), atb 表示, 它的正向取为t增大 时点z移动的方向, z(t)为一 条连续函数. 如果z '(t0)0,a<t0<b, 则表 示z '(t)的向量(把起点放取 在z0. 以下不一一说明)与C 相切于点z0=z(t0).
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z '(t0) z(t0) z(a) z(b)
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一、共形映射
事实上 , 如果通过 C 上 两点 P 0 与 P 的割线 P 0 P 的正向对应于 t 增大的 方向, 则这个方向与 表示的方向相同.
z (t0 Δ t ) z (t0 ) Δt