数字信号处理第一章

(1.2.5)
u(n) (nk)
k0
(1.2.6)
u(n) 1
012 3
… n
图1.2.2 单位阶跃序列
3. 矩形序列
1 RN(n)0
0nN1 其他
(1.2.8)
式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形
如图1.2.3所示。
矩形序列可用单位阶跃序列与单位采样序列表示，
如下式：
RN(n)= u(n)-u(n-N)
x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}
1.2.2 几种典型的序列
1. 单位采样序列
(n)10
n0 n0
(1.2.3)
单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是
筛选性，即在n=0时精确取值为1，其它均为零。它类 似于模拟信号和系统中的单位冲激函数δ(t)，但不同的 是δ(t)为广义函数，在t=0时，取值为对时间t的积分值 1 ，t≠0时取值为零。单位采样序列和单位冲激信号如 图1.2.1所示。
6. 复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n
式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚部表 示如下式：
x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n) 由于n取整数，下面等式成立：
e j(ω0+2πN)n= e jω0n, N=0,±1,±2…
7. 如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式
成立：
x(n)=x(n+N), -∞<n<∞
(1.2.12)
则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。
对于任意序列，可用单位采样序列的移位加权和表
示，即
x(n) x(m)(nm)
m
(1.2.13)
式中
δ(n-m)=
1, n=m 0，n≠m
这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个
很有用的公式。例如：x(n)的波形如图1.2.6所示，可
时域连续信号 连续时间集合上定义的信号，连续变量函数
模拟信号
时间、幅度连续的信号，时域连续信号特例
时域离散信号 离散时ห้องสมุดไป่ตู้集合上定义的信号，序列
数字信号
时间、幅度离散的信号，时域离散信号特例
时域连续系统 处理时域连续信号的系统
模拟系统
处理模拟信号的系统
时域离散系统 处理时域离散信号的系统
数字系统
处理数字信号的系统
{x(n)}+{y(n)}={x(n)+y(n)} 2. 序列积
{x(n)}•{y(n)}={x(n)•y(n)} 序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列 值逐项对应相乘和相加，如图1.2.7所示。 x(n)或y(n)可以为常数。
图1.2.7 序列的加法和乘法
3. 移位、
以下三种情况：
(1) 当2π/ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ω0为周期 的周期序列。例如sin(π/8)n，ω0=π/8，2π/ω0=16,该正弦序 列周期为16。
(2) 2π/ω0不是整数，是有理数时，设2π/ω0 =P/Q，式中 P、Q是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P，则正弦序列是
采样的结果。 为了简化，通常选用x(n)。
x(n)既表示序列，也代表第n个序列值，在 数值上它等于连续信号相应时刻的采样值。
需要说明的是，这里n取整数，非整数时无 定义。
信号随n的变化规律可以用公式表示，也可 以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组 离散数据，则其可以用集合符号表示，例如：
δ(n)
1
n －1 0 1 2 3
(a)
δ(t)
t 0 (b)
图1.2.1 (a)单位采样序列；
(b)单位冲激信号
2. 单位阶跃序列
1 u(n)0
n0 n0
(1.2.4)
单位阶跃序列如图1.2.2所示。它类似于模拟信号 中的单位阶跃函数u(t)。
δ(n)与u(n)之间的关系如下式所示：
δ(n)= u(n)-u(n-1)
1.2 时域离散信号
1.2.1 时域离散信号的表示
时域离散信号在数学上可用数的序列表示如下： {x(nT)}，{x(n)}，x(nT)，x(n)
如果将离散信号看作是对连续信号进行采样的结果，则 {x(nT)}、 x(nT)表示采样间隔为T对x(t)均匀采样的结果； {x(n)}、 x(n)表示对x(t)均匀（采样间隔为T ）或非均匀
图1.2.4 实指数序列
5. 正弦序列 x(n)=Asin(ω0 n+φ)
式中ω0称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表 示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变 化的弧度数。
图1.2.5 正弦序列
若N=(2π/ω0)k（k与N均取整数），且k的取值保证N是 最小的正整数，则正弦序列才是以N为周期的周期序列。有
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言 1.2 时域离散信号 1.3 时域离散系统 1.4 时域离散系统的描述 1.5 模拟信号数字处理方法
1.1 引言
信号是传递信息的函数，通常是具有一个 或多个自变量的函数。如果仅有一个自变量， 则称为一维信号；如果有两个以上的自变量， 则称为多维信号。本课程仅研究一维数字信号 处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多 种形式，可以是时间、距离、温度、电压等， 本课程一般把信号看作时间的函数。
以用(1.2.13)式表示成：
x(n)= -2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)
+1.5δ(n-2) -δ(n-4)+2δ(n-5)+δ(n-6)
图1.2.6 用单位采样序列移位加权和表示序列
1.2.3 序列的运算
在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们 是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。 1. 序列和
(1.2.9)
N1
RN(n)(nk) k0
R4(n) 1
n 01 23
4. 实指数序列
图1.2.3 矩形序列
x(n)=anu(n)，
a为实数
如 果 |a|<1 ， x(n) 的 幅 度 随 n 的 增 大 而 减 小 ， 称 x(n)为收敛序列；如|a|>1，则称为发散序列。其波 形如图1.2.4所示。
以 P 为 周 期 的 周 期 序 列 。 例 如 sin(4/5)πn ， ω0=(4/5)π ， 2π/ω0=5/2，k=2，该正弦序列是以5为周期的周期序列。
(3) 2π/ω0是无理数，任何整数k都不能使N为正整数， 此时的正弦序列不是周期序列。例如，ω0 =1/4，sin(ω0 n) 即不是周期序列。