第2章_随机过程的基本概念

t1
100
150
200
接收机噪声
随时间变化的随机变量----随机变量的集合
随机过程的直观解释:
对随机相位信号或噪声信号作一次观测相当于做一次随
机试验，每次试验所得到的观测记录结果xi(t)是一个
确定的函数，称为样本函数，所有这些样本函数的全体
构成了随机过程。
在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产
例2. 设随机过程X(t)=tX，X为标准正态分布的随机变量。 试问X(t)是否平稳？
解：
所以X(t)是非平稳的。
2. 平稳随机过程自相关函数的性质 性质：
(5)若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周 期分量，
例3 已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为
求X(t)的均值和方差。 解:
连续型随机过程 连续
时刻
续
离散
离散
连续
离散随机序列
离散
离散
（2）按概率分布分类
高斯随机过程 瑞利随机过程
对数正态随机过程
（3）按统计特性分类
平稳随机过程
非平稳随机过程
§ 2.2 随机过程的统计描述
1.随机过程的概率分布 (1)一维概率分布 X(t)在任意时刻t是一个随机变量，这个随机变量的概率 分布和概率密度定义为随机过程的一维概率分布和概率 密度。
（3）掌握相关函数的性质；
（4）理解白噪声的定义和特点；
本章是本课程的基础和核心
§2.1随机过程的基本概念及定义
1.实际背景
例2.1 分析随机相位信号
X (n) A cos(0 n )
Φ~R（-π， +π）
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
其中，
如果X(t)和Y(t)是联合平稳的，
绝对可积，则
性质：
2.6 典型的随机过程 功率谱密度为常数的平稳随机过程，即
白噪声的功率谱密度和自相关函数
白噪声样本函数波形
2. 正态随机过程 （1） 定义及其分布
如果一个随机过程X(t)的任意n维分布都服从正态分布， 则称该随机过程为正态随机过程。
伪随机码自相关函数
2.随机过程的定义
定义一：设随机试验E的样本空间为S={e}，对其每 一个元素ei(i=1,2,…)都以某种法则确定一个样本 函数x(t,ei),由全部元素{e}所确定的一族样本函 数X(t,e)称为随机过程，简记为X(t)。 定义2： 设有一个过程X(t) ，若对于每一个固定的 时刻tj(j=1,2,…) ，X(tj)是一个随机变量，则 X(t)称为随机过程。
对于随机序列
(2)二维概率分布 对于任意的两个时刻 是两个随机变量， 定义这两个随机变量的联合概率分布和联合概率密度为随 机过 程的二维概率分布和二维概率密度。
解: 本题的随机过程只有两个样本函数, 且两个样本函 数都具有确定的形式, 是一种可预测的随机过程。它的 两个样本函数为
这个过程在任意的时刻都只有 两个可能的取值，所以它是一 个离散型随机过程。 对于离散型随机过程，只要确 定了它的概率分布列就可 以 确定它的概率密度(一串冲激 函数)。
解：
所以，Z(t) 是广义平稳的。
Z(t) 不是 严格平稳 的。
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论（一、二阶 矩）的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。 而 相关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给 出有 关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果 随机过 程代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以 给出直流 分量、交流分量、平均功率及功率在频域上的分布 （我们将在后面讨论功率谱密度）等。另外，在电子系统中 经常遇到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言， 它的任意维分布 都只由它的一、二阶矩来确定，广义平稳的 正态随机过程必定是严格平稳的。
严格平稳最基本的特征是时间起点的平移不影响它的统计 特性，即X(t)与X(t+△t)具有相同的统计特性。
（2）广义平稳随机过程
当随机过程是高斯分布时，两者等价。
例1. 设随机过程Z(t)=Xcost +Ysint ，-∞< t <+∞，其 中X、Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、 1/3取值-1和2。试讨论随机过程Z(t)的平稳性。
随机过程X(t,e)四种不同情况下的意义： •当t固定，e固定时， X(t) 是一个确定值； •当t固定，e可变时， X(t) 是一个随机变量； •当t可变，e固定时， X(t) 是一个确定的时间函数；
•当t可变，e可变时， X(t) 是一个随机过程；
2、随机过程分类
（1）按状态及时间参数分类 状态
性质4 平稳正态噪声与确定性信号之和是非平稳的正态 随机过程。
性质5 若平稳正态过程具有均匀的功率谱密度，则称此 过程为平稳正态白噪声。满足
解：
第二章 随机过程的基本概念
§2.1 随机过程的基本概念及定义 §2.2 随机过程的统计描述 §2.3 平稳随机过程 §2.4 随机过程的联合分布和互相关函数 §2.5 随机过程的功率谱密度 §2.6 典型的随机过程 §2.7 基于MATLAB的随机过程分析方法 §2.8 信号处理实例
本章学习要点： （1）理解随机过程的概念、平稳随机过程的定义、 各态历经性； （2）掌握功率谱密度和相关函数的关系；
物理意义：功率谱密度是从频域描述随机过程的一个重要的 数字特征，表示单位频带内信号的 频率分量消耗在单位电阻上的平均功率的 统计平均值。
2. 功率谱密度与相关函数的关系 维纳—辛钦定理：
维纳—辛钦定理需要满足两个条件：
物理谱定义：
3 .功率谱的性质
(1) 若随机过程均值非零，则功率谱在原点有一函数； 若含有周期分量，则在相应的频率处有冲激函数； (2) 对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数； (3) 相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱 越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。
1
2
3
4
xi (n, i ) A cos(0 n i )
随机相位信号—许多样本函数的集合
样本函数
例2.2 分析接收机的噪声
5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 0 50 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
对于随机序列：
均值与方差的物理意义：
如果：X(t)-----单位电阻上的电压
总的平 均功率
交流平 均功率
直流平 均功率
3. 自相关函数
自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相关性越强。 一般说来，时间相隔越远，相关性越弱，自 相关函数的 绝对值也越弱；当两个时刻重合时，其 相关性应是最强 的，所以RX (t,t)最大。
4. 自协方差函数
常用的一些概念：
5. 离散型随机过程的数字特征
6. 计算举例
例2 离散型随机过程自相关函数计算举例
每一个样本函数 出现的概率相等
§2.3 平稳随机过程
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所有信号 都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易得多, 而且在 电子系统中, 如果产生一个随机过程的主要物理条件在时间 的进程 中不改变, 或变化极小, 可以忽略, 则此信号可以认 为是平稳 的。如接收机的噪声电压信号, 刚开机时由于元器 件上温度的变化, 使得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间后, 温度变化趋于稳定, 这时的噪声电压信号 可以认为是平稳的。
3. 相关系数及相关时间
（1）相关系数： 标准化相 关函数
（2）相关时间：
工程上我们常取
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依赖性越强， 变化越缓慢；相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间 的依赖性越弱，变化越快。
两个不同相关时间随机过程的样本函数
4. 随机过程的各态历经性
定义：对于平稳随机过程X(t)，若有时间平均以概率1 等于集合平均，时间相关函数以概率1等于集合相关函 数。即
生的时间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化
过程表现出随机序列的特征，我们把它称为伪随机序列， 伪随机序列可以用来模拟自然界实际的随机过程 。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
50
100
150
200
伪随机序列
伪随机序列应用举例
GPS系统中的码分多址（CDMA） GPS卫星
0
GPS接收机
例6 判断随机过程X(t)=Y的遍历性，其中Y是方差不为零 的随机变量。
解：
随机序列：
§ 2.4 随机过程的联合分布和互相关函数
1.联合分布函数和联合概率密度
N + M 维联合分布函数：
N + M 维联合概率密度：
2. 互相关函数及其性质 （1）互相关函数
（2）互协方差函数
如果
则称X(t)与Y(t) 严格联合平稳。 如果
一维分布
n维分布
(2)平稳正态过程 设X(t)是正态随机过程，若有
则X(t)称为广义平稳正态过程。 这时，其协方差矩阵为
(3)正态随机过程的性质
性质1 正态随机过程的统计特性完全由它的均值函数和 协方差函数决定。 性质2 广义平稳的正态随机过程也一定是严格平稳的。
性质3 正态随机过程状态的不相关等价于独立。 不相关即意味着。
则称X(t)与Y(t) 广义联合平稳。
解：
所以，X(t)与Y(t)是联合平稳的。
§ 2.5 随机过程的功率谱
1. 定义 能量型信号：能量有限的信号
功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号随机信 号的样本函数能量是无限的，但功率往往是有限的。
随机过程的样本函数及其截尾函数
定义随机过程的功率谱密度
相关函数 均值遍 的遍历性 历性 如果平稳随机过程的均值和相关函数都具有遍历性，则X(t) 为各态历经性。
解：
各态历经过程与非各态历经过程示意图
均值遍历性的充要条件：
相关函数遍历性的充要条件：
零均值平稳正态随机信号：
一般而言，不同的样本函数，时间平均的结果不同，所以， 一般说来时间平均是随机变量，但对于各态历经的随机过 程 而言，时间平均趋向于一个常数。这就表明，各态历经随机 过程的各个样本函数的时间平均可以认为是相同的，因此随 机 过程的均值可以用它的任意的一条样本函数的时间均值来 代 替。同样，相关函数亦可以用任意的一条样本函数的时间 相关 函数来代替。对于各态历经过程，可以通过对一条样本 函数的观测，就可以估计出随机过程的均值、方差和相关函 数。 连续随机过程：
解：由因式分解
解：
4. 随机序列的功率谱
收敛域是一个包含单位圆的环形区域。
其中C是收敛域内包含平面原点逆时针的闭合围线
由于GX(z)的收敛域包含单位圆，因此可以令z=ejw
随机序列功率谱的性质： 1）功率谱是实偶函数
2）功率谱密度是非负的
解：
5. 互功率谱 设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们的互功率谱定义为
1. 平稳随机过程的定义 （1）严格平稳随机过程 定义：如果随机过程的任意n维分布不随时间起点 变化， 即当时间平移时，其任意的n维概率密度不 变，则称是严格平稳的随机过程或称为狭义平稳的 随机过程。
对于严格平稳的随机过程，它的均值和方差是与时间无关 的常数，而自相关函数只与t1和t2的差值有关，而与本身 的取值是无关的。
时间不同，概率密度不同， 概率密度是时间的函数。
二维概率分布
(3) N维概率分布
2.随机过程的数字特征
随机过程的均值是时间t的函数，也称 为均值函数，统计均值是对随机过程 中所有样本函数在时间t的所有取值进 行概率加权平均，所以又称为集合平 均。随机过程的均值可以直观地 理解 为在t时刻所有样本函数取值的一个取 值中心，它反映了样本函数统计意义 下的平均变化规律。