量子力学——薛定谔方程

回顾： 回顾：叠加原理
Ψ = ∑ cnΨn .
n
与空间位置几率分 布对应的几率振幅。 布对应的几率振幅。
与某物理量（例如能量） 与某物理量（例如能量） 的几率分布对应的几率 振幅。 振幅。
Ψ n ——某 物理量（ 例如能量 ） 为确 定值的特 殊状态。
常数相位
• 绝对常数相位没有意义 绝对常数 常数相位没有意义 常数相位才是有意义的 • 相对常数相位才是有意义的 相对常数
r r r iϕ ( r ,t ) Ψ ( r , t ) =| Ψ ( r , t ) | e
r ϕ ( r , t )虽然在空间几率密度上无法反映，但 在动 量几率 分布 上能够 反映出 来。 理由如 下：
r r Ψ (r , t ) = ∫ c( p, t )
∞
r r 1 ip ⋅ r / h 3 r e d p, 3 ( 2π h )
波动性
注意的问题
• 我们学习的课程的量子部分作了一个 假设： 假设：粒子所处的状态可以由一个波 函数描述。 函数描述。 • 对更复杂的情况，状态不确定（不能 对更复杂的情况，状态不确定（ 由一个波函数描述）， ），需要借助于统 由一个波函数描述），需要借助于统 计方法（统计部分讲）。 计方法（统计部分讲）。
∂Ψ 有 ih = EΨ Ψ ∂ t r r2 2 2 − ih∇Ψ = pΨ ⇒ − h ∇ Ψ = p Ψ
r p → − i h∇
∂ E → ih ∂t
又因 所以
r2 E = p / 2µ
∂Ψ h2 ih = − ∇ 2Ψ . 2µ ∂ t
再推广到含有势能U的情况 再推广到含有势能 的情况
r r2 E = p / 2µ +U（r）
定态概念
• 完整的定态波函数（定态薛定谔方程的解 完整的定态波函数（ 乘以时间因子） 乘以时间因子）
r Ψ( r , t ) = e
i − Et h
r ψ ( r ),
•对比 Broglie波，我们发现常数 对比de 对比 波 我们发现常数E 的物理意义正是粒子的能量。 的物理意义正是粒子的能量。 •定态就是能量 确定的状态。 定态就是能量E确定的状态 定态就是能量 确定的状态。
2. 几率守恒定律与几率流密度
• 由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定 从而引入几率流密度概念 几率流密度概念。 律，从而引入几率流密度概念。
r r 2 几率密度 w( r , t ) = Ψ ( r , t )
根据薛定谔方程
r 几率流密度：J
几率流密度的推导（单粒子） 几率流密度的推导（单粒子）
可以计算原子内部电子的电流 可以计算超导体等量子系统的电流。 可以计算超导体等量子系统的电流。
几率流密度表达式的另一种形式
r ih J= ( Ψ∇Ψ ∗ − Ψ ∗∇Ψ ) 2µ ih ( −Ψ ∗∇Ψ ) + c.c = c.c.代表前面一项的复共轭。 2µ ˆ 1 * p = Ψ Ψ + c.c 2 µ
§2.2 薛定谔方程
1.薛定谔方程 薛定谔方程 量子力学的基本定律是波函数所满足 的偏微分方程。 的偏微分方程。这个基本定律在本质 上是一个假说。 上是一个假说。
推广 德布罗意物质波概念
2
r h ∂Ψ 2 ih = − ∇ Ψ + U (r )Ψ . 2µ ∂t
Ψ
薛定谔方程的“建立” 薛定谔方程的“建立”
i h df = E f ( t ) dt ( 时间部分 ) r 1 h2 2 ∇ ψ + U ( r )ψ = E r − ψ (r ) 2µ 空间部分） （空间部分）
时间部分
df ih df = E ⇒ ih dt = Ef (t ) ⇒ f ( t ) dt
f (t ) = e
记住
r r2 H = p / 2 µ +U（r） r ( p = − i h∇ )
• 量子力学 • 经典力学： 经典力学：
U （r ） 力 F
• 初始状态（依赖于实验制备）决定任意 T 时 初始状态（依赖于实验制备） 刻的状态， 态的演化过程”是确定的。 刻的状态，即“态的演化过程”是确定的。
t=0
相对论情况薛定谔方程不成立， 相对论情况薛定谔方程不成立，以上结果也不 成立（有粒子产生和消灭， 成立（有粒子产生和消灭，粒子数一般不守 恒！）
电流密度
r ih ∗ ∗ J= ( Ψ∇Ψ − Ψ ∇Ψ ), 2µ
r r ih ∗ ∗ 电流密度 J = eJ = e ( Ψ∇Ψ − Ψ ∇Ψ ), e 2µ
t=T
x
多粒子（N个粒子）情况
Ψ ( r1 , r2 ,....rj ...., t ) 非定域性： 非定域性：
∂Ψ ih = HΨ ∂t
r2 u u r r u r pi H =∑ + U ( r1 , r2 , ....rj ....) i 2µ i r pi → − ih∇ i
整个体系的 状态用3N个 状态用3N个 空间坐标和 空间坐标和 一个时间坐 标描述。 标描述。
r r Ψ ( r , t ) ↔ c( p, t ) 可 以 傅 里 叶 变 换 互 求 r r 2 2 但 |Ψ ( r , t ) | ↔ |c( p, t ) | ？
补充说明： 补充说明：波粒二像性的理解
保留经典概念的 不具有经典概念 的特征 特征 粒子性 有确定的质量、 有确定的质量、 没有确定的轨道 电荷、自旋等 电荷、 有干涉、 有干涉、衍射等 振幅不直接可测 现象
r h2 2 ∂Ψ 代入薛定谔方程 ih ∂ t = H Ψ; H = − 2µ ∇ + U ( r ).
r df ( t ) r ih ψ ( r ) = [ Hψ ( r )] f ( t ) dt
两边同时除以
r f ( t )ψ ( r )
s 1 h2 2 ih df = ∇ ψ + U ( r )ψ r − f ( t ) dt ψ ( r ) 2µ
r p → − i h∇
ˆ *p = Re Ψ Ψ = Re Ψ * vΨ ˆ µ ˆ p ˆ v= 称为速度算符
µ
例题
u r r r i(k •r -ω t) • 对平面波情况 ψ (r, t) = Ae
求几率流密度
u r r r i(k •r -ω t) 2 2 解： 对ψ (r, t) = Ae ， w =| ψ | =| A| r ih ∗ ∗ J= ( Ψ∇Ψ − Ψ ∇Ψ ) 2µ u r r r h k wp 2 =| A| = = wv m m
左边（ 左边（t）=右边（r） 右边（
任意t 任意t，r均成立，而左边与r无关，所以右边与r也应该 均成立，而左边与r无关，所以右边与r 无关；右边与t无关，所以左边也应该与t无关。 无关；右边与t无关，所以左边也应该与t无关。所以两 边都等于一个与t 都无关的常数E 边都等于一个与t，r都无关的常数E
理解（推导积分形式） 理解（推导积分形式）
• 对任何体积V，对上式积分 对任何体积V V
∫
V
r ∂w dτ = − ∫ ∇ ⋅ Jdτ , V ∂t
S
r r d WV = −∫ J ⋅ dS, S dt
V内部几率变化 内部几率变化
等式右方用Gauss定 等式右方用Gauss定 Gauss 理，得
由边界流入或流出的量。 由边界流入或流出的量。
rr 1 − ip⋅ r / h 3 r e d r 3 (2π h )
动量几率幅
r r c ( p, t ) = ∫ Ψ ( r , t )
∞
r r r iϕ ( r , t ) Ψ ( r , t ) =| Ψ ( r , t ) | e r ϕ ( r , t )是 有 物 理 意 义 的 ！ r r 2 ϕ ( r , t ) → |c ( p , t )|
c1 =| c1 | e
iφ1 iφ2
c2 =| c2 | e
Ψ = c1Ψ1 + c2 Ψ 2 iφ1 i （φ2 −φ1） = e （ | c1 | Ψ 1 + | c2 | e Ψ 2）
| Ψ | 依赖于φ2 − φ1
2
可观测。 可观测。
变化的相位是有意义的（ 变化的相位是有意义的（能够在测 量中反映出来） 量中反映出来）
∂Ψ ih 1 2 = ∇ Ψ + UΨ ih 2µ ∂t
∂t
定义流密度
• 记
r ih ∗ ∗ J= ( Ψ∇Ψ − Ψ ∇Ψ ), 2µ
则
r ∂w + ∇ ⋅ J = 0, ∂t
这是薛定谔方程造成的结果ห้องสมุดไป่ตู้代表一种 这是薛定谔方程造成的结果， 由于w是几率密度，所以J 守恒定律 。由于w是几率密度，所以J可 以理解为几率流密度。 以理解为几率流密度。
r Ψ( r , t ) = e
i − Et h
r ψ (r )
在可观测量中被约去
定态下可观测量（如几率密度、几率流密度、 定态下可观测量（如几率密度、几率流密度、 动量几率密度等） 不随t变化） 动量几率密度等）都是稳定的（不随t变化）
与玻尔原子模型中的定态概念类似，但是没 与玻尔原子模型中的定态概念类似， 有“轨道运动”假设 轨道运动”
寻找de Broglie波满足的方 寻找de Broglie波满足的方 程，并加以推广
这不是严格推导（ 这不是严格推导（薛定谔方程不 能由旧理论严格导出） 能由旧理论严格导出）
寻找de Broglie波满足的方程 寻找de Broglie波满足的方程
• 由de Broglie波 波
rr r − i ( Et − p⋅r ) / h Ψ( r , t ) = e
3.薛定谔方程的求解 3.薛定谔方程的求解——定态薛定 薛定谔方程的求解 定态薛定 谔方程
• 方程求解 分离变量法： 方程求解-分离变量法： 分离变量法 设
r r Ψ ( r , t ) = f ( t )ψ ( r ),
先找特解（ 先找特解（一系列基本 函数），再叠加成通解。 ），再叠加成通解 函数），再叠加成通解。
定态薛定谔方程就是能量本征方程
r r Hψ ( r ) = Eψ ( r ) r r 算符H作用于ψ ( r )=常数E乘以ψ ( r )。 E叫做H的本征值。
含时薛定谔方程的一般解
r r 定态方程：Hψ n ( r ) = Eψ n ( r )
∂Ψ 含时方程：i h = HΨ ∂t
r r 一般解：Ψ ( r , t ) = ∑ c nψ n ( r )e
n
i − En t h
常数（由初始条件定出） 常数（由初始条件定出）
思考题
两边作用于波函数 Ψ
∂ E → ih ∂ t
r p → − ih∇
r ∂Ψ h2 2 ih = − ∇ Ψ + U (r )Ψ . 2µ ∂t
便于记忆的形式
∂Ψ ih = H Ψ ∂ t
r r2 H = p / 2 µ +U（r） r ( p = − i h∇ )
r h2 2 H =− ∇ + U (r ) 2µ
• 几率密度的时间演化： 几率密度的时间演化：
r r 2 r ∗ r w( r , t ) = Ψ ( r , t ) = Ψ ( r , t )Ψ ( r , t ),
∂w ∂Ψ ∗ ∂Ψ = Ψ + ∂t ∂t ∂t
∗
Ψ.
薛定谔方程
ih 2 ∗ 1 ∂Ψ ∗ =− ∇ Ψ − U Ψ∗ 2µ ih ∂t ih ∂ w ih ∗ ∗ 2 ∗ 2 ∗ ∇ ⋅ ( Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ ). ( Ψ ∇ Ψ − Ψ∇ Ψ ) = = 2µ ∂ t 2µ r ih r ∂w ( Ψ∇Ψ∗ − Ψ∗∇Ψ ) J= +∇⋅J = 0 2µ
薛定谔方程能够满足全空间几率守恒
物 理 上 Ψ 应 该 满 足 随 r趋 向 无 穷 远 而 迅 速 趋 于 零 ， 于 是
r r d Wv = −∫ J ⋅ dS ∞ dt r ih =− （Ψ∇Ψ ∗ − Ψ ∗∇Ψ）dS = 0 ⋅ ∫∞ 2µ 代表全空间几率守恒， 代表全空间几率守恒，实际上也就是粒子数守 薛定谔方程的这一性质是独特的。 恒。薛定谔方程的这一性质是独特的。
i − Et h
.
空间部分（定态薛定谔方程） 空间部分（定态薛定谔方程）
s 1 h 2 ∇ ψ + U ( r )ψ = E ⇒ r − ψ ( r ) 2µ
2
r r h 2 − ∇ ψ + U ( r )ψ = Eψ ( r ). 2µ
定态薛定谔方程
2
r r Hψ ( r ) = Eψ ( r )