极值存在的必要条件

F ( x, y, z) ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2
现在要求曲面 G( x, y, z) 0 上的点 ( x, y, z) 使得 F 最小。
因此问题归结为求函数 F ( x, y, z) 在条件 G( x, y, z) 0
的限制下的最小值问题。 这类问题叫做条件极值问题。
中将 u, v 解出来：
u u ( x, y) v v( x, y)
代入目标函数，问题就化为求函数
f ( x, y, u( x, y), v( x, y))
的直接极值问题。
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于是可以用前面求极值的方法求函数
f ( x, y, u( x, y), v( x, y))
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下一页 v) 具有连续偏导数，求
f ( x, y, u, v)
在条件
g ( x, y, u, v) 0, h( x, y, u, v) 0
的限制下的极值。
过去遇到这类极值问题时，通常用消元法化为 无条件极值问题来求解。
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假如能从方程组 g ( x, y, u, v) 0, h( x, y, u, v) 0
0,
x x0
f ( x, y0 ) x
f ( x0 , y ) y
0
x x0
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上述条件不是充分的，例如 函数 z xy 在原点 （0，0）有
f x (0,0) y ( 0, 0 ) 0, f y (0,0) x ( 0,0 ) 0
但此函数的图形是一马鞍面，
因而在原点没有极值。
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作业：P169 1(1)(3) ,3
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前面讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标 函数的定义域。但是另外还有很多极值问题，其极
值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制。例如，
求一给定点
( x0 , y0到一曲面 , z0 )
G( x, y, z )的最短 0
距离的问题，就是这种情形。
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点 ( x, y, z) 到点 ( x0 , y0 , z0 ) 的距离的平方为
函数 L 的极值的必要条件为：
Lx 0, Ly 0, Lu 0, Lv 0
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极大值与极小值统称为极值；极大点与极小点
统称为极值点。 极值存在的必要条件： 设二元函数 f ( x, y) 在点 M 0 ( x0 , y0 ) 的偏导数存在， 若
f ( x, y)
在 M 0 取得极值，则
的极值。然而，在一般情况下，要从方程组
g ( x, y, u, v) 0, h( x, y, u, v) 0
中解出 u , v 并不总是容易的。下面我们介绍的拉
格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件
极值的有效方法。
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引入函数 L ，称它为拉格朗日函数：
L( x, y, u, v) f ( x, y, u, v) g ( x, y, u, v) h( x, y, u, v)